辽宁省大连市旅顺口区新高考数学的多选题含解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在
()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（
）
A ．01()12
f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202
个 【答案】AC 【分析】
由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23
π
ω=
，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】
由()01
()12
f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，
∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12
f x +=-，
002(1)()3
x x πωϕωϕω++-+==
， ∴()f x 的最小正周期为23T π
ω
=
=，故A 、C 正确，B 错误；
在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点； ∴()0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：由条件推出()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，可确定01()2
f x +及最小正周期，再由正弦函数的性质判断()0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.
2．已知函数222,0
()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩
，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列
结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1
【答案】BCD 【分析】
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，
341
122
x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】
由()f x 函数解析式可得图象如下：
∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即1
2
x =或2， ∴341
122
x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴
341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.
故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定
1234,,,x x x x 的范围及关系.
3．已知函数()22,1
,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩
，若存在实数a ，使得()()f a f f a ⎡⎤=⎣⎦，则a 的个数不是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】ABD 【分析】
令()f a t =，即满足()f t t =，对t 进行分类讨论，结合已知函数解析式代入即可求得满足题意的t ，进而求得a.
【详解】
令()f a t =，即满足()f t t =，转化为函数()1y f t =与2y t =有交点，结合图像
由图可知，()f t t =有两个根0t =或1t =
（1）当1t =，即()1f a =，由()22,1
,1a a f a a a -≥⎧=⎨<⎩
，得1a =±时，经检验均满足题意；
（2）当0t =，即()0f a =，当1a ≥时，()20f a a =-=，解得：2a =；当1a <时，()2
0f a a ==，解得：0a =；
综上所述：共有4个a ． 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
4．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<< B ．3412a b ==2a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
5．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，
()()2f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[-1，1]
D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A ；
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．
根据题意，
对于A ，()f x 为R 上的奇函数，
()1f x +为偶函数，
所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．
对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，
又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．
故C 正确． 对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，
[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，
[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，
设()()cos g x f x x =-，
当2
[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，
()22sin g x x x '=-++，
设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，
()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，
且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，
0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，
0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，
所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，
当[]24x ∈，
时，，()()2
cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--， 则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，
则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，
上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，
所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，
，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，
()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，
又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，
所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，
上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，
时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]
46x ∈，
时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，
()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，
所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.
7．对于函数()()13cos ,,22132,,2
2x x f x f x x π⎧⎡⎤
∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=⎨⎛⎫
⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）
A ．任取121,,2x x ⎡⎫
∈-
+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫
∈-
+∞⎪⎢⎣⎭
，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛
⎫
=--
⎪⎝
⎭
有3个零点
D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】ABC 【分析】
先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画
出1
ln()2y x =-与k y x
=的图象,数形结合可判断C,D 选项.
【详解】
在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:
由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)2222
1
f x f x x f x f x x =
-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*
1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;
作出1ln()2
y x =-的图象，因为11
ln(2)ln 2232-=<，
由图象可知()y f x =与1
ln()2
y x =-有3个交点,故选项C 正确;
结合图象可知,若对任意0x >,不等式()k
f x x
恒成立, 即2x n =时,不等式(2)
2k
f n n
恒成立, 又11(2)()(0)()2
2
n
n
f n f ==, 所以
1()22n k n ,即22
n n
k 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =
,则
2ln 4()2x
x
g x -⋅'=, 故[
)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[
)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,
又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.
故选:ABC. 【点睛】
本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.
8．已知21,1,()ln ,
1,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当5
8k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12
t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0， 此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
9．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数
B ．对于任意实数a b ，
，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是
34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】
取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】
解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；
对于B 选项，令[]
a a r =+，[]
(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错
误；
对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]
f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：
函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，
∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的
点，
由图可知，实数a 的取值范围是][34
43,,45
32⎛⎫⋃
⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，
01q ≤<，
[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；
当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]
0y =，此时不满足
()()f x f y =，
故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
10．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数
()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩
（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，
从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()f x 是偶函数
B ．函数()f x 是周期函数
C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=
D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取
20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.
【详解】
对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.
所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.
所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；
对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.
二、导数及其应用多选题
11．关于函数()e cos x
f x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =
B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =
C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立
D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】
解：对于A ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
所以()0
0e cos00f =-=，故切点为（0，0），
则()e sin x f x x '=+，所以()0
0e sin01f '=+=，故切线斜率为1，
所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos x
f x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin x
f x a x '=+，
若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin x
x
a e
-=
在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin x
x
g x e
-=
的图象在()π,π-上恰有一个交点，
()sin cos x
x x
g x e -'=
，()π,πx ∈
-，
令()0g x '=，解得：134x π
=-，24
x π=， 当3,,44x ππππ⎛
⎫⎛⎫∈--
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4
2
204g e π
π-
⎛⎫=
< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sin
x g x e
-=
，()π,πx ∈-的大致图象，如下：
由图可知，当0a =时，y a =与()sin
x g x e
-=
的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，cos x x
a e ≥恒成立，即max
cos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
设()cos x x h x e =
，()π,πx ∈-，则()sin cos x
x x
h x e
--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14
x π
=-
，234
x π
=
， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，
()h x ∴在,4ππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，在3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为4
204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11
,h h e e ππππ--==，
所以(
)cos x x
h x e =在()π,πx ∈-上的最大值为4
204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
， 所以42a e π-≥时，在()π,π
x ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即当4
2a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，
所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
令()0f x =，则()e cos 0x
f x x =-=，即e cos x x =，
作出函数x
y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，
则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
12．已知函数()21
x
x x f x e
+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值
C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根
D ．若[),x t ∈+∞时，()2
max 5
f x e =，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】
对于A ．2
()010f x x x =⇒+-=，解得15
2
x -±=
，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)
()x x
x x x x f x e e --+-=-=-
'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，
所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．
对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；
对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】
易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是
(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，
如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
13．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1
ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
14．设函数cos 2()2sin cos x
f x x x
=
+，则（ ）
A ．()()f x f x π=+
B ．()f x 的最大值为12
C ．()f x 在,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 【答案】AD 【分析】
先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】
()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos x
f x x x
=
+，
()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x x
f x f x x x x x
ππππ++=
==++++，故A 正确．
又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x =
=++，令2cos 24sin 2x
y x
=+，
则()242cos 2sin 242y x y x y x ϕ=-=++，
其中2
2
cos 44y
y
ϕϕ=
=
++
1≤即2415y ≤
，故1515
y -≤≤，
当y =
时，有1
cos 4
ϕϕ==
，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，
故max 15
y =
，故B 错误． ()()()
()
()
2
2
2
22sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦
'=
=
++，
当0,4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0f x '<，故()f x 在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，而14sin y t =+在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭为增函数，
所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】
方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．
15．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞
上是增函数，则213
x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选
项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴21x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
16．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为
该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x
m x e x x =+-，
()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
17．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：
()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直
线”．已知函数()2
2
x f x =（x ∈R ），()12g x x =（0x <），()ln h x e x =，（e 为自
然对数的底数），则（ ）
A ．()()()m x f x g x =-在
0x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递减 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为2- C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]
2,1-
D ．()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”，方程为2
e
y =-
【答案】BD 【分析】
对于A ：令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，进而作出判断； 对于B 和C ：利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b 、k 的范围，进而作出判断；
对于选项D ：根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为
2e y kx =-；可得到222
x e
kx ≥-，再利用恒成立得出k 的值，最后尝试利用
导数证明()2
e
h x ≤-
，进而作出判断. 【详解】
对于A ，()()()21
22x m x f x g x x =-=-
， ()322
121
022x m x x x x +'∴=+=>，
当
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，()m x ∴单调递增，故A 错误； 对于B ，C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，
2
2
x kx b ≥+对任意x ∈R 恒成立，即2220x kx b --≥对任意x ∈R 恒成立， 所以2
1480k b ∆=+≤，所以0b ≤，
又
1
2kx b x ≤+对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立，
因为0b ≤，所以0k ≤且2
1480b k ∆=+≤，
所以22k b ≤-且22b k ≤-，4248k b b ≤≤-，解得20k -≤≤，同理20b -≤≤， 所以b 的最小值为2-，k 的取值范围是[]
2,0-， 故B 正确，C 错误； 对于D ，
函数()f x 和()h x
的图象在x =
∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线方程为(2
e y k x -
=
，即2e y kx =-，
则222
x e
kx ≥-（x ∈R
），得2220x kx e -+≥对x ∈R 恒成立，
则()
2
4420k e ∆=-≤
，解得k =，
此时隔离直线方程为：2
e
y =-，
下面证明(
)2
e h x ≤-
， 令(
)(
)ln 22e e G x h x e x =--=--（0x >），则(
)x G x x
'=，
当x =
()0G x '=
；当0x <<()0G x '<
；当x >()0G x '
>；
∴
当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即(
)0min G x G
==，
(
)()02e G x h x ∴=--≥在()0,∞+上恒成立，即(
)2
e
h x ≤-，
∴函数()f x 和()h x
存在唯一的隔离直线2
e
y =-
，D 正确. 故选：BD . 【点睛】
关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解“隔离直线”的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题.
18．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下
列结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
19．已知函数()e sin x
f x a x =+，则下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =-时，()f x 在0,
单调递增
B ．当1a =-时，()f x 在()()
0,0f 处的切线为x 轴
C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<
D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于A ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos x
f x x '=-， 因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x
x >≤，即0f
x
，所以()f x 在0,
上单调递
增，故A 正确；
对于B ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，则
()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线
方程为1y =，故B 错误；
对于C ，当1a =时，()e sin x
f x x =+，()e cos x
f x x '+=，()e sin x
f x x '=-'，
当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0x
x f x -'=>'恒成立，即
()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，
又ππ2
2ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+>，
3π3π4
4
3π3πe cos e
442f -
-
⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝-
⎭
+，因为1
2
3π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭
< ⎝，所以
3π43πe 04f -⎛⎫'-= ⎪⎭
<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '
=成立，
所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，
由()000e cos 0x
f x x +'==，可得
()
000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛
⎫=+=-+=- ⎪⎝
⎭，
因为03ππ,4
2x ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则。