广东省遂溪县第一中学2010年12月份月考数学(理科)

广东省遂溪县第一中学2010年12月份月考
数 学（理科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟，答案全
部写在答题卷里面。

（ 第Ⅰ卷 ）
一、选择题：（本大题共8小题。

每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请把答案填在答题卡里。

） 1．命题“0x R ∃∈，32
10x x -+>”的否定是
A ．x R ∀∈，3
2
10x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+< C ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3
2
10x x -+> 2．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0， 则方程0)(=x f 在区间[－a,a ]内根的个数是 (A). 3 (B). 2 (C). 1 (D). 0 3．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则
15
5
a a = A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或1
3
-
4．ABC ∆中，3A π
∠=，3BC =
，AB =，则C ∠= A ．
6
π
B ．4π
C ．34π
D ．4
π或34π
5．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个
焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：19
162
2=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短
路程是
A ．20
B ．18
C ．16
D ．以上均有可能
6．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，m
β，n β，则α
β．
③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交．
④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．
其中正确命题的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56
，则判断框中应填入的条件是:
侧视图
正视图
俯视图
A.4
i< B.5
i< C. 5
i≥ D. 6
i<
8
．已知：
{(,)|
y
x y
y
≥
⎧⎪
Ω=⎨
≤
⎪⎩
，直线2
y mx m
=+
和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()
P M，若
2
()[,1]
2
P M
π
π
-
∈，则实数m的取值范围为
A．
1
[,1]
2
B
．[0,
3
C
．[
3
D．[0,1]
（第Ⅱ卷）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分；请把答案填在答卷相应题号后面的横线上）9．化简：
2
(1)i
i
+
=．
10．直角坐标系xOy中，i j
，分别是与x y
，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若AB i k j
=+，2
AC i j
=+，且∠C=90°则k的值是;
11．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
12．已知ABC
∆的三边长为c
b
a,
,，内切圆半径为r（用的面积
表示ABC
S
ABC
∆
∆
），则ABC
S
∆
)
(
2
1
c
b
a
r+
+
=；类比这一结论有：若三棱锥BCD
A-的内切球半径为R，则三棱锥体积
=
-BCD
A
V
▲选做题：（在下面三道小题中选做两题，三道小题都选的只计算第13、14小题的得分）
13．极坐标系中，圆22cos30
ρρθ
+-=上的动点到直线cos sin70
ρθρθ
+-=的距离的最大值是．
14．若()5
f x x t x
=-+-的最小值为3, 则实数t的值是________.
15．如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB
延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，
若CPA
∠=30°，PC = 。

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16、（本题满分13分）
已知 ()cos 2cos , ()f x x x x x R =+∈ ⑴ 求 ()f x 的最大值 M 和最小正周期 T ； ⑵ 求 ()f x 的单调减区间 ；
⑶ 20个互不相等的正数 (), 20 ( 1, 2, , 20 )n n n a f a M a n π=<=满足且，
试求：1220a a a ++
+ 的值 .
17、（本题满分13分）
有编号为 1，2，3，…… ，n 的n 个学生，入坐编号为 1，2，3，…… ，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 , 2ξξ=已知 时，共有 6 种坐法 .
⑴ 求 n 的值 ；
⑵ 求随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望 .
18、（本题满分13分）
如图所示, 四棱锥 //, S ABCD AB CD CD SAD -⊥中,
面. 且 1 1.2
CD SA AD SD AB =====
⑴ 当 H SD 为中点时, 求证：// AH SBC 平面； SBC SCD ⊥平面平面. ⑵ 求点 D SBC 到平面的距离.
19、（本题满分13分）
设数列{}n a 前n 项和2(1)
, * ,2
n n n a S n N a a +=
∈=且 （1）求数列{}n a 的通项公式n a .
（2）若1
1
223344511003, (1), n n n
n a T a a a a a a a a a a T -+
==-+-++-求 的值.
20、（本题满分14分）
双曲线C 与椭圆14
82
2=+y x 有相同的焦点，直线 x y 3=为C 的一条渐近线 . ⑴ 求双曲线C 的方程；
⑵ 过点P （0, 4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），
当 12128
, 3
PQ QA QB λλλλ==+=-且时，求Q 点的坐标 .
21、（本题满分14分）
设 0x =是函数2()() ()x
f x x ax b e x R =++∈
的一个极值点 . ⑴ 求 a b 与的关系式（用 a b 表示），并求)(x f 的单调区间；
⑵ 设 22120, ()(1), , [2, 2]x a g x a a e ξξ+>=--+∈-问是否存在，使得
1|)()(|21≤-ξξg f 成立？ 若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由 .
广东省遂溪县第一中学2010年12月份月考数学（理科）参考答案
一、选择题： 1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．D 8．D
二、填空题：9．2 10．3 11．①③④⑤ 12．)1(
ABC ABD ACD BCD
R S S S S ∆∆
∆∆+++
13．2 14．2或8 15．三、解答题：
16、解：()cos22cos cos22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+
=+
=+
………… 2分
⑴ 22, 2
M T π
π==
=； …………………… …………………… 4分 ⑵ ∵ 3sin 2, 2 ] ()22
y x k k k Z ππ
ππ=++∈的单调减区间为[ ……… 5分 由 32222, , 26263
k x k k Z k x k k Z πππππ
ππππ+≤+≤+∈+≤≤+∈得 … 7分
∴ 函数()f x 的单调减区间为 2[ , ] ( )63
k k k Z ππ
ππ++
∈ ………… 8分 ⑶ ∵ ()2, 22, ( )626
n n n
f a M a k a k k Z πππ
ππ==∴+=+⇒=+∈ ………… 10分 又 ∵ 020 , 0, 1, 2, , 19n a k π<<∴=
∴ 1220192010
580
(1219)
206233
a a a ππ
πππ⨯++
+=++
++⨯=+= . …… 13分
17、解：⑴ ∵ 当 22 n C ξ=时, 有 种坐法 …………………… 2分
∴ 2
2(1)
6,
6120 4 3 ()2
n n n C n n n n -==⇔--=⇔==-即或舍去 ∴ n = 4 …………………… …………………… 5分 ⑵ ∵ ξ 的可能取值是 0，2，3，4 …………………… …………………… 6分
又 ∵ 2444
44111
61(0), (2),24244
C P P A A ξξ⨯=======……………… 8分 11
333444441181
93(3), P(4),243248
C C C P A A ξξ⨯⨯⨯========………………… 10分
∴ ξ 的概率分布列为：
∴ 1113
023*******
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= …………………… 13分
18、① 证明：取SC 中点G , 连结HG 、BG .
∵ H 为S D 的中点, ∴ 11
// , // 22
HG CD AB CD 又. …………………… 1分
∴ // AB HG . 故知四边形ABGH 为 . ∴ AH ∥BG , ∴ AH ∥ 面SBC . …… 2分 ∵ CD ⊥面SAD , 且CD ⊂面SCD .
∴ 面SCD ⊥面SAD ,且交线为SD . …………………… 4分 ∵ SA ＝AD ＝SD 且SH ＝HD , ∴ AH ⊥SD .
∴ AH ⊥ 面SCD , 又 AH ∥BG , ∴ BG ⊥ 面SCD , …………………… 6分 又BG ⊂面SBC . ∴ 面SBC ⊥面SCD . …………………… 7分
② 连结BD
, 设D 到平面SB C 的距离为h , 则 1
,3
D SBC SBC V S h -∆=…………………… 9分 又 ,D SBC B SDC V V --= ∴
11
.33
SBC SCD S h S BG ∆∆
= ∴115 224
SBC BG AH S SC BG ∆==
== …………………… 11分 ∵ 1
1,2
SCD S CD SD ∆=
= ∴ 5h = …………………… 13分 19、解（１）11(1)2(1)(1)2
n n n n n a s n a s +++⎧
=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩ ②－①得112(1)1n n n a n a na ++=+-+ ………2分 111n n n a na +-=-即() ③ 21(1)1n n na n a ++∴=+- ④ ………4分
④－③ 得211(1)(1)n n n n na n a n a na +++--=+-21()2n n n n a a na ++⇒+=
211121n n n n n n a a a a a a a a +++-∴-=-=-==-…………………………6分
而1n = 时 1111
2
a S a +=
=, 11,a ∴= 又 2a a = {}n a ∴为等差数列，公式 1d a =-
故 1(1)(1)(1)1n a a n d n a =+-=--+ …………………………8分 （２）
32(1)121n a a n n =∴=-+=- …………………………10分
故 1001223100101T a a a a a a =-+
＝21343510099101()()()a a a a a a a a a -+-++-
＝241004()a a a -+++
＝2100()50
4
2
a a +⨯- ＝100(3199)20200-+=-…………………13分
20、解：⑴ 设双曲线方程为 .122
22=-b y a x …………………………1分
由椭圆 14
82
2=+y x 求得两焦点为（－2，0），（2，0）. …………………………2分 ∴ 对于双曲线C ：c = 2. 又 x y 3=为 双曲线C 的一条渐近线.
∴
b
a
= 解得 221, 3a b ==， …………………………5分 ∴ 双曲线C 的方程为：13
2
2
=-y x ， …………………………8分 ⑵ 解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程：112
24, (, ), (, )y kx A x y B x y =+ ……9分 则 4(,0)Q k
-
∵ 1111
4
4, (, 4)(, ).PQ QA x y k k
λλ=∴--=+
11
11111
14444() .44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨
⎪⎪-==-⎩⎪⎩
…………………………10分 ),(11y x A 在双曲线C 上，01216)1(1621
2112=--+∴
λλλk 03
16163216222
2
11=--
++∴λλλk k ， .03
161632)16(212
12=-++-∴k k λλ …………………………22分
同理有，.03
161632)16(222
22=-++-k k λλ
若 0162
=-k ，则直线l 过顶点，不合题意. 0162≠-∴k ，
1λ∴、2λ是二次方程 03
161632)16(22
2=-++-k x x k 的两根.
1λ∴+2λ=.38
16
322-=-k
2
4, , 0, 2.k k ∴=∆>∴=±此时
∴ 所求Q 的坐标为（2±，0）. ………………………………………………14分
解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在 且 不等于零 . 设 l 的方程：11
224, (, ), (, )y kx A x y B x y =+， 则 4
(,0),
Q PQ QA k
λ-=
111111
1111
11
,
44(1)1 44
01Q PA x x k k y y λλλλλλλλ∴⎧⎧
-==-+⎪⎪+⎪⎪⇒⎨⎨
+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩分的比为由定比分点坐标公式得 下同解法一
解法三：由题意知直线 l 的斜率k 存在且不等于零 .
设 l 的方程：11224, (,), (,)y kx A x y B x y =+
则 124
(,0),
Q PQ QA QB k
λλ-==
11112211221212
444(,4)(,)(,)
444 ,.
x y x y k k k
y y y y λλλλλλ∴--=+=+∴-==⇒=-=-
12121212112
,
3()23
3
y y y y y y πλλ+=-
∴+=⇒+=又 把 2
2
4 1 3
y y kx x =+-=代入得222(3)244830k y y k --+-= ∵ 2
2
121222
2448330, , , .33k k l y y y y k k --≠∴+=
=--否则与渐近线平行 ∴ 2
22
2448332 2. ( 2, 0).33k k Q k k -⨯
=⨯⇒=±∴±-- 解法四：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 . 设l 的方程：1122
4
4, (,), (,), (,0)
y kx A x y B x y Q k
=+-则
∵ 1111111444
4
, (,4)(,) 44
k PQ QA x y k k
kx x k
λλλ=--=+⇒=-
=-
++
即 224 4
kx λ=-
+同理 由 212121212448
25()80 (*)443
k x x k x x kx kx λλ+=-
-=-⇒+++=++ 2
24
13y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
又 消去 y 得 .0198)3(2
2=---kx x k 当 2
3k -=0 时，则直线l 与双曲线的渐近线平行，不合题意，2
3k -≠0.
由韦达定理有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=-=+.31938221221k x x k k x x 代入（*）式得 24, 2k k ==± ∴ 所求Q 点的坐标为（±2，0）.
21、解：⑴ x
e b a x a x x
f ])2([)(2
++++=' …………2分
由(0)0, f b a '==-得
…………4分
2()() x f x x ax a e ∴=+-
2()[(2)] (2) x x f x x a x e x x a e '=++=++
12 ()0, 0, 2f x x x a '===--令得
12 0 () , , 2x f x x x a =≠≠-由于是极值点故即
当122 , , ()a x x f x <-<时故的单调增区间是(, 0] [2, )a -∞--+∞和，单调减区间是 [0, 2]a --
…………6分
当122 , , ()a x x f x >->时故的单调增区间是 (, 2] [0, )a -∞--+∞和，单调减区
间是 [2, 0]a --
…………8分
⑵ 当]2,0[,]0,2[)(,22,0在上单调递减在时--<-->x f a a 上单调递增，因此 2() [2, 2] [(0), max{2},(2)}][,(4)]f x f f f a a e --=-+在上的值域为 … 10分
222213
()(1) [()] [2,2]24
x x g x a a e a e ++=--+=--+-而在上单调递减，
所以值域是)]1(,)]1([2
4
2
+--+--a a e a a
…………12分
因为在 22
min max [2, 2] , ()()(1)(1)0f x g x a a a a --=-+-+=-≥上 …………13分
所以，a 只须满足 ⎩⎨
⎧≤+-+->1
)1(0
2
a a a a ,解得 20≤<a
即当1(0, 2] , a ξ∈时
存在、2[2, 2]ξ∈- 使得1|)()(|21≤-ξξg f 成立. …14分。