新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修一

【基础小测】 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( ) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平 行．( ) (3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( ) 提示：(1)×.向量a必须为非零向量． (2)√. (3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．
答案：P→A －P→B ＋P→C －P→D
求平面 ABC 的一个法向量的方法 1．平面垂线的方向向量法：证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一 个方向向量即为所求．
2．待定系数法：步骤如下：
类型二 三垂线定理及其逆定理的应用(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图所示，三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，若 O，Q 分别是△ABC 和△PBC 的垂心，求证：OQ⊥平面 PBC.
【解析】1.选 A.两个向量A→B ＝(1，2，3)，A→C ＝(3，2，1)， 设平面 ABC 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
n·→AB＝x＋2y＋3z＝0 则n·A→C＝3x＋2y＋z＝0 ，取 x＝－1，得平面 ABC 的一个法向量为(－1，2，－
1).
2．选 B.设 P(x，y，z)，则A→P ＝(x－2，y＋1，z－2)； 由题意知，A→P ⊥n，则 n·A→P ＝0； 所以 3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，化简得 3x＋y＋2z＝9. 验证得在 A 中，3×1－1＋2×1＝4，不满足条件；
3 在 B 中，3×1＋3＋2×2 ＝9，满足条件； 同理验证 C、D 不满足条件．
3．连接 AC，BD，交于点 O，连接 OP，则O→P 是底面 ABCD 的一个法向量，P→A －P→B ＋P→C －P→D ＝B→A ＋D→C ＝0，不能作为底面 ABCD 的法向量；P→A ＋P→C ＝－2O→P ， 能作为底面 ABCD 的法向量；P→B ＋P→D ＝－2O→P ，能作为底面 ABCD 的法向量；P→A ＋P→B ＋P→C ＋P→D ＝－4O→P ，能作为底面 ABCD 的法向量．
1.2.2 空间中的平面与空间向量
必备知识·自主学习
1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个__非__零_向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α__垂__直_，则称n为平面α的一个法向量．此时也 称n与平面α垂直，记作__n_⊥__α_．
(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量， 则：
1 _n_1∥__v_⇔l⊥α1 2 n1⊥v ⇔l∥α1或__l_⊂_α__1 3 n1⊥n2⇔__α_1⊥__α__2 _ 4 n1∥n2⇔α1∥α2或α1，α2____重_ 合
【思考】 已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l 一定与平面α平行吗？ 提示：不一定，也可能l⊂α.
【思路导引】利用三垂线定理及其逆定理证明 【证明】如图，连接 AO 并延长交 BC 于点 E，连接 PE.
则下列点 P 中，在平面 α 内的是( )
A．P(1，－1，1) C．P1，－3，32
B．P1，3，32 D．P－1，3，－43
3．正四棱锥如图所示，在向量P→A －P→B ＋P→C －P→D ，P→A ＋P→C ，P→B ＋P→D ，P→A ＋ P→B ＋P→C ＋P→D 中，不能作为底面 ABCD 的法向量的是________．
3．三垂线定理及其逆定理
射影
三垂线定 理
已知平面α和一点A，过点A作α的___垂__线l，设l与α 相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影， 也称为投影．
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内 的_射__影__垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定 理的逆定
理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在该平面内的_射__影__垂直．
B．(1，2，1)
C．(1，2，－1)
D．(－1，2，1)
2．已知点 A(2，－1，2)在平面 α 内，n＝(3，1，2)是平面 α 的一个法向量，
则下列点 P 中，在平面 α 内的是( )
A．P(1，－1，1) C．P1，－3，32
B．P1，3，32 D．P－1，3，－43
2．已知点 A(2，－1，2)在平面 α 内，n＝(3，1，2)是平面 α 的一个法向量，
1
若直线_l_⊥__α_，则l的任意一个方向向量都是平面α的一个 法向量
2 对任意实数λ≠0，λn是平面α的一个法向量
3 向量一定与n_垂__直__，即·n＝0
【思考】 平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？ 提示：不唯一，都平行．
2．空间线面的位置关系与空间向量
若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：
【基础小测】 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( ) (2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平 行．( ) (3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( ) 提示：(1)×.向量a必须为非零向量． (2)√. (3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．
【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB. 又因为OC为PC在平面ABC内的射影， 所以由三垂线定理知AB⊥PC. 答案：垂直
关键能力·合作学习 类型一 平面的法向量(数学运ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
1．若两个向量A→B ＝(1，2，3)，A→C ＝(3，2，1)，则平面 ABC 的一个法向量为( )
A．(－1，2，－1)
2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量
的是( )
A．(0，1，2)
B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3)
D．(3，6，8)
【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．
3．(教材例题改编)已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关 系是________．