北京东城55中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

北京市第五十五中学2017-2018学年度第一学期
期中考试试卷 高一数学
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则U A =ð（ ）．
A ．{}4
B ．{}3,4
C ．{}3
D ．{}1,3,4
【答案】B
【解析】{}1,2A =，{}1,2,3,4U =， {}3,4U A =ð，
故选B
2．函数()lg(3)f x x =-的定义域为（ ）．
A ．(0,3)
B ．(1,)+∞
C ．(1,3)
D ．[1,3)
【答案】D
【解析】∵()1lg(3)f x x x =--， 定义域1030x x -⎧⎨->⎩
≥，
解出13x <≤． 故选D ．
3．函数()22()x x f x x -=+∈R 的图象关于（ ）． A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称
【答案】C
【解析】()22x x f x -=+， ()22()x x f x f x --=+=，
∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，
故选C ．
4．若偶函数()f x 在(,0]-∞上是单调递减的，则下列关系式中成立的是（ ）．
A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫
-<-< ⎪⎝⎭
C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫
<-<- ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】∵()f x 是偶函数， ∴(2)(2)f f -=，
∵()f x 在(,0]-∞单调递减，
3
212
-<-<-，
∴3(2)(1)2f f f ⎛⎫
->-> ⎪⎝⎭，
∴3(2)(1)2f f f ⎛⎫
>->- ⎪⎝⎭
，
故选D ．
5．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数m ，n ，p 的大小关系为（ ）．
A ．m n p <<
B ．m p n <<
C ．n m p <<
D ．n p m <<
【答案】A
【解析】∵0.50.5log 5log 10m =<=， 30.30 5.1 5.1n p -<=<=，
∴m n p <<， 故选A ．
6．已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：
()f x 5.00- 1.63- 0.46- 0.18 0.86 4.00
则方程3280x x +-=
A ．1.50
B ．1.66
C ．1.70
D ．1.75
【答案】B
【解析】∵
(1.625)0.460f =-<， (1.6875)0.180f =>，
∴()f x 在(1.625,1.6875)上有零点， 只有
B 项1.66(1.625,1.6875)∈．
7．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为1的正方形运动一周，记O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 为函数()f x ，则()y f x =的图像大致是（ ）．
A ．
B ．
C
．
D
．
【答案】C
【解析】如图，当01x <≤时，()f x x =为正比例函数， 当12x <≤
时，()f x =不是正比例函数， 且()f x 图象关于2x =对称， 只有C 项符合要求．
8．已知函数2
|ln |,0()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++⎩
≤，()()g x f x a =-，若函数()g x 有四个零点，则a 的取值范围（ ）． A ．(0,1) B ．(0,2] C ．[0,1] D ．(0,1]
【答案】D
【解析】()f x 图象如图， 当01a <≤时，符合要求， 故选D ．
第二部分（非选择题 共80分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9
．已知幂函数的图象经过点，则这个函数的解析式为__________． 【答案】1
2(0)y x x =≥
【解析】设幂函数为a y x =
，代入， ∴12
a =
． ∴幂函数为1
2(0)y x x =≥．
10．化简2
3
231(log 9)(log 4)8⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．
【答案】
174
【解析】原式233
2lg32lg2
(2)lg2lg3
-=+
⨯ 224-=+
174=．
11．函数()log (32)2(0,1)a f x x a a =-+>≠恒过定点__________． 【答案】(1,2)
【解析】()log (32)2a f x x =-+， ∵(1)log 122a f =+=， ∴()f x 恒过(1,2)点．
12．若,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+ ⎪⎪⎝
⎭⎩≤是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[4,8)
【解析】(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+ ⎪⎪⎝
⎭⎩≤在R 上单调递增， ∴1402422a a a a
⎧
⎪>⎪
⎪
->⎨⎪⎪⎛⎫
-+ ⎪⎪⎝
⎭⎩≤，
解出：48a <≤．
13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数31log π2100x v ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，单位是m/s ，其中x 表示鱼的耗氧量的单位数，则一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是__________．
【答案】
100
π
【解析】当0v =时， 31log π02100x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
， π1100
x
=， ∴100π
x =．
即鲑鱼静止时，耗氧单位数为
100
π
．
14．设函数()||f x x x b =+，给出四个命题：
①()y f x =是偶函数；②()f x 是实数集R 上的增函数；
③0b =，函数()f x 的图像关于原点对称；④函数()f x 有两个零点．
上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上） 【答案】②③
【解析】①错，∵()||f x x x b =+， ()||()f x x x b f x -=-+≠，
∴()y f x =不是偶函数．
②∵2
2(0)
()(0)
x b x f x x b x ⎧+>⎪=⎨-+⎪⎩≤，
由图象知()f x 在R 上单调递增，正确．
③0b =时，2
2(0)
()(0)x x f x x x ⎧>⎪=⎨-⎪⎩
≤，
()f x 关于原点对称，正确．
④若0b =时，
()f x 只有一个零点，错误．
综上，正确命题为②③．
三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知集合{}
2
|30A x x x =+<，集合1|222x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭
．
（1）求A B ．
（2）若集合{}|21C x a x a =+≤≤，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,0)- （2）3,1(1,)2a ⎡⎤
∈--+∞⎢⎥
⎣⎦
【解析】（1）∵230x x +<， (3)0x x +<，
∴30x <<， {}|30A x x =-<<，
∵1228
x
<<， 3222x -<<，
31x -<<， {}|31B x x =-<<，
∴{}|30A B x x =-<<． （2）()C A B ⊆， {}|21C x a x a =+≤≤，
∴231021a a a a -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≤≤或21a a +>+，
解出3,1(1,)2a ⎡⎤
∈--+∞⎢⎥
⎣⎦
．
16.（本小题满分13分）
已知函数2()x a
f x x
+=，且(1)2f =．
（1）判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性． （2）证明函数()f x 为(1,)+∞上是增函数．
（3）求函数()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值． 【答案】（1）()f x 在定义域上为奇函数 （2）见解析
（3）在[2,5]上最大值为265，最小值为5
2 【解析】（1）∵()(0)a
f x x x x
=+≠，
(1)12f a =+=， ∴1a =，
∴1()f x x x =+
， 1
()()f x x f x x
-=--=-，
∴()f x 在定义域上为奇函数． （2）证明：设121x x <<， 21212111()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
122121()x x x x x x ⎛⎫
-=-+ ⎪⎝⎭
21121()1x x x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∵210x x ->， 121x x >，
12
1
1x x <， 12
1
10x x -
>⋅， ∴21()()0f x f x ->， 21()()f x f x >，
∴()f x 在(1,)+∞为增函数．
（3）∵()f x 在(1,)+∞单调递增在[2,5]上， min 15()(2)222f x f ==+=， max
126
()(5)555
f x f ==+=．
一种药在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到0.1h ）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈，lg50.70≈） 【答案】见解析
【解析】解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得5002500(120%)?1500x ⨯-≤≤， 整理，得143
555
x
⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，
∴4341
log log 5555
x ⋅⋅≤≤，
∴43lg61lg2lg31
log 2.255lg813lg21
-+-⋅=
=≈--， 同理得41
log 7.055
⋅≈，
解得：2.27.0x ≤≤，
答：应在用药2.2小时后及7.0小时前再向病人的血液补充药． 17．（本小题满分12分）
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(mg/L)P 与时间(h)t 之间的关系为kt 0e P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求： （1）10h 后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）． 【答案】见解析
【解析】（1）由kt 0e P P -=，可知0t =时，0P P =， 当5t =时，5k 5k 00(110%)e e 0.9P P P --=-=⇒=， 所以1
ln0.95
k =-，
当10t =时，1ln 0.910ln 0.8150
00e
e 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
===，
所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =时，有1
ln0.9t 50
50%e P =，
解得1
ln
ln 2
2559ln9ln10ln 10
t -=⋅=⋅
- ln 2
5ln 2ln52ln3
=⋅
+-
0.7
50.7 1.52 1.1=⋅+-⨯
35=，
所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．
已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式．
（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．
，求实数a 的取值范围． （3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 【答案】见解析
【解析】（1）∵()f x 为二次函数且(0)(2)f f =， ∴对称轴为1x =， 又∵()f x 最小值为1，
∴可设2()(1)1(0)f x a x a =-+>， ∵(0)3f =， ∴2a =，
∴2()2(1)1f x x =-+， 即2()243f x x x =-+． （2）∵2()243f x x x =-+ 22(1)1x =-+，
()f x 的对称轴为1x =．
∴()f x 在(,1)-∞单调递减， 在(1,)+∞单调递增，
∵()f x 在[2,21]a a +上不单调， 则1[2,1]a a ∈+， ∴211a a <<+，
解出102
a <<
． （3）令()()221g x f x x m =--- 22622x x m =-+-
由题意()0g x >在[1,1]-上恒成立，
又∵2()2(31)g x x x m =-+- 29923144x x m ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
2
35
224x m ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()g x 对称轴为3
2
x =
， 在[1,1]-上单调递减， ∴(1)26220g m =-+->，
1m <-． 18．（本小题满分12分）
定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．
（1）判断函数2
()22f x x x =-+，[0,2]x ∈是否是有界函数，请写出详细判断过程．
（2）试证明：设0M >，0N >，若()f x ，()g x 在D 上分别以M ，N 为上界，求证：函数()()f x g x +在D 上以M N +为上界．
（3）若函数11()124x
x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()f x 是有界函数 （2）见解析 （3）[5,1]a ∈-
【解析】（1）∵2()22f x x x =-+，
2(21)1x x =-++ 2(1)1x =-+
()f x 对称轴为1x =，
且()f x 在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增， min (1)()1f f x ==，
max (0)(2)()2f f f x ===
当[0,2]x ∈，1()2f x ≤≤， 即|()|2f x ≤，
∴()f x 在[0,2]是有界函数．
（2）证明：∵()g x ，()f x 在D 上分别以M ，N 为上界， ∴()N g x N -≤≤， ()M f x M -≤≤，
∴()()()M N g x f x M N -+++≤≤， ∴|()()|g x f x M N ++≤，
∴函数()()f x g x +在D 上以M N +为上界．
（3）∵11()124x x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，
∴1131324x
x
a ⎛⎫⎛⎫
-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤≤在[0,)+∞恒成立，
令1((0.1])2x
t t ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
， ∴2313at t -++≤≤在(0,1]t ∈恒成立， ∴24a t t a t t ⎧-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+ ⎪
⎪⎝⎭⎩
≤≥在(0,1]t ∈恒成立，
又∵函数2
y t t
=-在(0,1]单调递减， ∴1a ≤，
函数4y t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭在(0,1]单调递增，
∴5a -≥．
a∈-．综上[5,1]。