八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，与AB ，CD 分别交于点E ，F ，下列描述： ①∠1和∠2互为同位角 ②∠3和∠4互为内错角
③∠1=∠4 ④∠4+∠5=180°
其中，正确的是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．③④
2．已知直线12l l //，一块含60°角的直角三角板如图所示放置，125∠=︒，则2∠等于（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．45°
3．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．如图，直线12//,,140l l αβ∠=∠∠=︒，则2∠等于（ ）
A ．140︒
B ．130︒
C ．120︒
D ．110︒
5．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠1和∠3是对顶角
C ．∠3和∠4是同位角
D ．∠1和∠4是内错角
6．将一副三角板按如图放置，则下列结论①13∠=∠；②如果230∠=，则有
//AC DE ；③如果245∠=，则有//BC AD ；④如果4C ∠=∠，必有230∠=，其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③④ 7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的
角度可能是是（ ） A ．第一次右拐60°，第二次左拐120°
B ．第一次左拐60°，第二次右拐60°
C ．第一次左拐60°，第二次左拐120°
D ．第一次右拐60°，第二次右拐60°
8．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；
（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．
其中真命题的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是( )
A ．∠1=∠3
B ．∠2=∠3
C ．∠1=∠4
D ．∠3=∠4 10．下列语句是命题的是（ ） A ．平分一条线段 B ．直角都相等
C ．在直线AB 上取一点
D ．你喜欢数学吗？ 11．如图，将ABC 沿BC 的方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为6cm ，则
四边形ABFD 的周长为（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm 12．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A ．垂直 B ．两条直线互相平行
C ．同一条直线
D ．两条直线垂直于同一条直线
二、填空题
13．如图，在平面内，两条直线1l ，2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p ，q 分别是点M 到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．
14．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．
15．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．
16．如图，有两个正方形夹在AB 与CD 中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)
17．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，
34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．
18．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．
19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．
20．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，老师把我们常用的一副三角板带进了课堂．
（1）嘉嘉将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点A 落在DE 上，且//BC DE ，则ACE ∠的度数为__________．
（2）如图2，淇淇将等腰直角三角板放在一组平行的直线与之间，并使直角顶点A 在直线a 上，顶点C 在直线b 上，现测得130∠=，则2∠的度数为__________．
三、解答题
21．如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．
小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按小明的思路，求APC ∠的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P
在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
22．如图，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点F 在BA 的延长线上，点E 在线段CD 上，EF 与AC 相交于点G ，∠BDA+∠CEG=180°．
（1）AD 与EF 平行吗？请说明理由；
（2）若点H 在FE 的延长线上，且∠EDH=∠C ，则∠F 与∠H 相等吗，请说明理由．
23．如图，//AB CD ，EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠．
（1）求证：90EFG GEF ∠+∠=︒；
（2）在（1）问的条件下，过点G 作GH AB ⊥，垂足为H ，FGH ∠的平分线GI 交AB 于点I ，EGH ∠的平分线GJ 交AB 于点J ，求IGJ ∠的度数．
24．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．
小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可得APC ∠=______． 问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，
BCP β∠=∠．
（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接
写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．
25．已知直线AB CD ∥，直线EF 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、F ．
（1）如图1，若160∠=︒，求2∠，3∠的度数；
（2）若点P 是平面内的一个动点，连接PE 、PF ，探索EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系；
①当点P 在图2的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ②当点P 在图3的位置时，请写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系并证明； ③当点P 在图4的位置时，请直接写出EPF ∠、PEB ∠、PFD ∠之间的数量关系．
26．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限． （1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）；
（2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；
（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．
27．如图，AB ∥CD ．
（1）如图1，∠A 、∠E 、∠C 的数量关系为 ．
（2）如图2，若∠A ＝50°，∠F ＝115°，求∠C ﹣∠E 的度数；
（3）如图3，∠E ＝90°，AG ，FG 分别平分∠BAE ，∠CFE ，若GD ∥FC ，试探究∠AGF 与∠GDC 的数量关系，并说明理由．
28． [问题解决]：如图1，已知AB∥CD，E是直线AB，CD内部一点，连接BE，DE，若
∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程：
解：过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
①∠1和∠2互为邻补角，故错误；
②∠3和∠4互为内错角，故正确；
③∠1=∠4，故正确；
④∵AB不平行于CD，
∴∠4+∠5≠180°故错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟记定义是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
过C作CM∥直线l1，求出CM∥直线l1∥直线l2，根据平行线的性质得出∠1＝∠MCB＝25°，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【详解】
过C作CM∥直线l1，
∵直线l1∥l2，
∴CM∥直线l1∥直线l2，
∵∠ACB＝60°，∠1＝25°，
∴∠1＝∠MCB＝25°，
∴∠2＝∠ACM＝∠ACB－∠MCB＝60°－25°＝35°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键．
3．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
4．A
解析：A
【分析】
作出如下图所示的辅助线，然后再利用平行线的性质即可求解．
【详解】
解：如图所示，作直线m∥n∥l1∥l2，
此时有∠3=∠1=40°，∠6=180°-∠2，∠4=∠5，
又∠α=∠3+∠4，∠β=∠5+∠6=∠5+(180°-∠2)，
且∠α=∠β，
∴∠3+∠4=∠5+(180°-∠2)，由于∠4=∠5，
∴∠3=180°-∠2，代入数据：
40°=180°-∠2，
∴∠2=140°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 6．D
【分析】
根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据230∠=求出∠1与∠E 的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B 的度数大小即可判断③；利用4C ∠=∠求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】
∵∠1+∠2=∠3+∠2=90︒，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵230∠=，
∴190260∠=-∠=
∠E=60︒，
∴∠1=∠E ，
∴AC ∥DE ，故②正确；
∵245∠=，
∴345∠=，
∵45B ∠=,
∴∠3=∠B,
∴//BC AD ,故③正确；
∵4C ∠=∠45=，
∴∠CFE=∠C 45=，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=60,
∴∠2=90︒-∠1=30，故④正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
7．C
解析：C
【解析】
试题分析：两次拐弯以后方向相反，那么2次同方向拐弯之和是180°.
故选：C .
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
同位角不一定相等，只有在两直线平行时，同位角相等，故（2）不正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，故（4）不正确；
过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条，故（5）不正确.
故选B.
9．C
解析：C
【解析】
根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由
∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
10．B
解析：B
【分析】
根据命题的定义分别进行判断．
【详解】
A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；
B.直角都相等，是命题；
C.在直线AB上取一点，为描述性语言，不是命题；
D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
11．B
解析：B
【分析】
先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，再根据四边形ABFD的周长
=AD+AB+BF+DF即可得出结论．
【详解】
∵将周长为6的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=6，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．
【详解】
“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．
故选：D．
【点睛】
本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．二、填空题
13．4
【分析】
到的距离是2的点，在与平行且与的距离是2的两条直线上；同理，点在与的距离是1的点，在与平行，且到的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：
解析：4
【分析】
到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；同理，点M在与2l的距离是1的点，在与2l平行，且到2l的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个．
【详解】
解：到1l的距离是2的点，在与1l平行且与1l的距离是2的两条直线上；
到2l的距离是1的点，在与2l平行且与2l的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．
14．6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45
（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详
解析：6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】
解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：30或120︒或165︒
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
16．【解析】
【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠
解析：【解析】
【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠KGF=∠GFI=80°
所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°
所以，∠JHG=∠HGK=70°
同理，∠2=90°-∠JHG=20°
所以，∠1=90°-∠2=70°
故答案为70
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
17．互相垂直．
【解析】
【分析】
依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：，，，
，
按此规律，，
又，，
，
以此类推，
，
，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要
解析：互相垂直．
【解析】
【分析】
依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．
【详解】
解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，
14a a ∴⊥，
按此规律，58a a ⊥，
又45a a ⊥，⋯，
18a a ∴⊥，
以此类推，14n a a ⊥
100425=⨯，
1100a a ∴⊥，
故答案为：互相垂直．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 18．46
【分析】
过点C 作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的传递性得到CF ∥DE ，根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE +∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝76°，由等式性质得到∠DCF ＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴AB ∥DE ∥CF ，
∴∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE +∠DCF ＝180°，
∵∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，
∴∠BCF ＝76°，∠DCF ＝30°，
∴∠BCD ＝46°，
故答案为：46．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系． 19．60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AO C=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80
解析：60°
【分析】
设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.
【详解】
解：设∠OCA=a,∠AOC=x,
已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，
即a+x=80°，
又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.
当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,
解得∠OCA=60°.
【点睛】
本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.
20．15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=
解析：15° 15°
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠D+∠BCD=180°，从而得到∠BCD，再利用角的和差得到
∠ACE；
（2）根据平行线的性质得出∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，再由等腰直角三角形的性质得到∠BAC=90°，∠ACB=45°，结合∠1的度数可得结果．
【详解】
解：（1）由三角板的性质可知：∠D=60°，∠ACB=45°，∠DCE=90°，
∵BC∥DE，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=15°，
故答案为：15°；
（2）∵a∥b，
∴∠2+∠BAC+∠ACB+∠1=180°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC-∠ACB=45°，
∵∠1=30°，
∴∠2=15°，
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了三角板的性质，平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．三、解答题
21．（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α
【分析】
（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入
∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）∠APC=∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA=∠α-∠β；
如图所示，当P 在DB 延长线上时，
∠CPA=∠β-∠α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
22．见解析
【解析】
分析：（1）求出∠ADE +∠FEB =180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD =∠CAD ，推出HD ∥AC ，根据平行线的性质得出∠H =∠CGH ，∠CAD =∠CGH ，推出∠BAD =∠F 即可．
详解：（1）AD ∥EF ．
理由如下：∵∠BDA +∠CEG =180°，∠ADB +∠ADE =180°，∠FEB +∠CEF =180°
∴∠ADE +∠FEB =180°，∴AD ∥EF ；
（2）∠F =∠H ，理由是：
∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ．
∵∠EDH =∠C ，∴HD ∥AC ，∴∠H =∠CGH ．
∵AD ∥EF ，∴∠CAD =∠CGH ，∴∠BAD =∠F ，∴∠H =∠F ．
点睛：本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
23．（1）证明见解析；（2）45IGJ ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得180DEF BFE ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义即可得证； （2）过点G 作//GK AB ，则////AB GK CD ，根据平行线的性质可得DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠，再结合（1）的结论易得90EGK KGF ∠+∠=︒，利用角平分线的定义及垂线的定义即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AB CD ，
∴180DEF BFE ∠+∠=︒．
∵EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠，
∴22DEF GEF DEG ∠=∠=∠，22BFE EFG GFB ∠=∠=∠，
∴22180GEF EFG ∠+∠=︒，
∴90EFG GEF ∠+∠=︒．
（2）解：过点G 作//GK AB ．
∵//AB CD ，
∴////AB GK CD ，
∴DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠．
由（1）得90DEG GFB ∠+∠=︒，∴90EGK KGF ∠+∠=︒．
∵GH AB ⊥，
∴GH KG ⊥，即90KGH KGF HGF ∠=∠+∠=︒，
∴EGK HGF ∠=∠．
∵GJ 平分EGH ∠，
∴EGJ HGJ ∠=∠．
又KGJ EGJ EGK ∠=∠-∠，FGJ HGJ HGF ∠=∠-∠，
∴KGJ FGJ ∠=∠，
∴2KGF FGJ ∠=∠．
∵GI 平分HGF ∠，
∴2HGF FGI ∠=∠，
∴2290FGJ FGI ∠+∠=︒，即45FGJ FGI ∠+∠=︒，
∴45IGJ FGJ FGI ∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等内容，掌握平行线的性质是解题的关键．
24．110︒；（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠．
【分析】
问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ．
（1）过点P 作PQ AD ，得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到
ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠，即可得到
CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．
【详解】
解：问题情境：
∵AB ∥CD ，PE AB
∴PE ∥AB ∥CD ， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；
（1）CPD αβ∠=∠+∠
过点P 作PQ AD .
又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC
则ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠
所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
（2）情况1:如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时
过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴AD ∥BC ∥PE ，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
情况2：如图所示，当点P 在射线AM 上时，
过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，
∵AD ∥BC ，
∴AD ∥BC ∥PE ，
∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α
【点睛】
本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．
25．（1）360∠=︒；（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠，证明见解析；
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，证明见解析；③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠．
【分析】
（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；
（2）①过点P 作MN ∥AB ，根据平行线的性质得∠EPM =∠PEB ，且有MN ∥CD ，所以∠MPF =∠PFD ，然后利用等式性质易得∠EPF =∠PEB +∠PFD ．
②③的解题方法与①一样，分别过点P 作MN ∥AB ，然后利用平行线的性质得到三个角之间的关系．
【详解】
（1）解：∵12∠=∠，160∠=︒，
∴260∠=︒；
∵AB CD ∥，
∴3160∠=∠=︒ .
（2）①EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
过点P 作MN AB ，则EPM PEB ∠=∠.
∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，
∴MPF PFD ∠=∠，
∴EPM MPF PEB PFD ∠+∠=∠+∠，
即EPF PEB PFD ∠=∠+∠.
②360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=，
过点P 作MN AB ，则180PEB EPN ∠+∠=︒，
∵AB CD ∥，MN AB ， ∴MN CD ∥，
∴180NPF PFD ∠+∠=︒，
∴360PEB EPN NPF PFD ∠+∠+∠+∠=︒.
即360EPF PEB PFD ︒∠+∠+∠=.
③EPF PEB PFD ∠=∠-∠或EPF PFD PEB ∠+∠=∠.写对一种即可．
理由：如图4，过点P 作PM ∥AB ，
∵AB ∥CD ，MP ∥AB ，
∴MP ∥CD ，
∴∠PEB =∠MPE ，∠PFD =∠MPF ，
∵∠EPF +∠FPM =∠MPE ，
∴∠EPF +∠PFD =∠PEB ．
【点睛】
本题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，结合图形作出辅助线构造出三线八角是解决此题的关键.
26．（1）D （k +2，2）；（2）k ＝2；（3）∠BPD ＝
12∠BCD +12
∠A ，理由详见解析 【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出
∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD＝1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC＝
1
2
∠BCD+
1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．
27．（1）∠AEC＝∠C+∠A；（2）∠C﹣∠E＝15°；（3）2∠AGF+∠GDC＝90°．理由见解析．
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，知AB∥CD∥EF，据此得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，根据
∠AEC=∠AEF+∠CEF可得答案；
（2）分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF=x=∠EFM，知∠AEF=x+50°，
∠MFC=115°-x，据此得∠C=180°-（115°-x）=x+65°，进一步计算可得答案；
（3）分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE=x=∠GAB，∠GFM=y，∠MPC=z，知∠GPE=y+z，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z，根据GD∥FC得∠D=z，由GH∥AB，AB∥CD知∠AGF=x+y，继而代入可得答案．
【详解】
（1）∠AEC＝∠C+∠A，
如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，
故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；
（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，
设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，
∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，
∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；
（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，
设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，
则∠GPE＝y+z，
∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，
∵GD∥FC，
∴∠D＝z，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴∠AGF＝x+y，
∴2∠AGF+∠GDC＝90°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质．28．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，
∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【分析】
问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；
问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【详解】
问题解决：
如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；
（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；
如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．。