福建省厦门市2021届高三3月质量检查文科数学试题

厦门市2021届三月高三质量检测
数学 (文科 )试题
本试卷分第|一卷 (选择题 )和第二卷 (非选择题 )两局部.总分值为150分,考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式 13
V Sh =,其中S 为底面面积 ,h 为高.
第|一卷 (选择题:共60分 )
一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符
合题目要求的.
1．全集U R = ,集合{}
2
|1A x x =≥ ,那么U C A 等于
A. (,1)-∞- B ．(1,1)-
C. []1,1-
D ．(1,)+∞
2．如图 ,在边长为2的正方形内随机取一个点 ,那么此点在正方形的内切圆内部的概率为
A ．
4π
B ．44π-
C ．14
π- D ．
4π
π
-
3．假设x R ∈ ,那么 "0x =〞是 "2
20x x -=〞的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．以下命题正确的选项是
A ．0.20.2log 3log 2>
B ．320.20.2>
C ．0.20.223>
D ．30.20.2log 3>
5．设n m ,是两条不同的直线 ,,αβ是两个不同的平面 ,给出以下条件 ,能得到m β⊥的是 A ．,m αβα⊥⊂ B ．,m ααβ⊥⊥ C ．,m n n β⊥⊂ D ．//,m n n β⊥ 6．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位 ,得到函数()y g x =的图象 ,那么它的一个对称中|心是
A ．(,0)2
π
-
B. (,0)6π-
C. (,0)6π
D. (,0)3
π
7．定义!12n n =⨯⨯
⨯．右图是求10!的程序框图 ,那么在判断框内
应填的条件是
A ．10i < B.10i ≤ C.11i ≤ D.10i >
8．F 是抛物线2
4y x =的焦点,准线与x 轴的交点为M ,点N 在抛物
(第2题图 )
线上,且1
2
NF MN =
,那么FMN ∠等于 A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
9．函数221,1,
()log (1),1
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．式子(,,)a b c σ满足(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b σσσ== ,那么称(,,)a b c σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①(,,)a b c abc σ=；②222(,,)a b c a b c σ=-+；
③2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--(,,A B C 是ABC ∆的内角 )．其中 ,为轮换对称式的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．如图,在边长为2的菱形ABCD 中 ,60ABC ∠= ,对角线相交于点O ,P 是线
段BD 的一个三等分点 ,那么 AP AC ⋅等于 A. 1 B ．2 C. 3 D ． 4
12．对于函数()x f ,假设存在区间[]n m , ,使[]n m x ,∈时 ,()[],(*)f x km kn k N ∈∈ ,那么称区间
[]n m ,为函数()x f 的 "k 倍区间〞．函数()x x x f sin 3+= ,那么()x f 的 "5倍区间〞的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第二卷(非选择题:共90分)
二、填空题：本大题共4小题 ,每题4分 ,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．设i 为虚数单位 ,那么复数
212i
i
+- = ． 14．焦点在x 轴上 ,渐近线方程为3y x =±的双曲线的离心率为 ．
15．△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,假设△ABC 的面积为33,3,43
a B π
==,那么b = ． 16．给出以下命题： ①23x y +=
的最||小值是2；
②11
,0a b ab a b
><>若则
成立的充要条件是； ③假设不等式2
40x ax +-<对任意(1,1)x ∈-恒成立 ,那么a 的取值范围为(3,3)-． 真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：本大题共６小题 ,共74分 ,解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 ,在答题卷上相
应题目的答题区域内作答． 17． (本小题总分值12分 )
为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩 (总分值100分 )进行统计 ,作出如下的茎叶图 ,其中,x y 处的数字模糊不清．甲同学成绩的中位数是83 ,乙同学成绩的平均分是86分.
(Ⅰ )求x 和y 的值；
(Ⅱ )现从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析 ,求恰抽到一份甲同学试卷的概
率．
18． (本小题总分值12分 )
函数()sin())33
f x x x ππ
=-
+-． (Ⅰ )求()f x 在[0,2]π上的单调递增区间；
(Ⅱ )设函数()(1sin )()g x x f x =+ ,求()g x 的值域.
甲 乙
6 3
7
8 7 x 1 8 3 3 y 2 3
9 0 1 6
(第17题图 )
19． (本小题总分值12分 )
如图 ,在三棱锥P ABC -中 ,PA ⊥底面ABC ,,D E 分别是线段,BC PD 的中点.
(Ⅰ )假设2AP AB AC === , 23BC = ,求三棱锥P ABC -的体积； (Ⅱ )假设点F 在线段AB 上 ,且1
4
AF AB = ,证明：直线EF ∥平面PAC ．
20． (本小题总分值12分 )
设直线:54l y x =+是曲线:C 3
21()23
f x x x x m =
-++的一条切线 ,2()223g x ax x =+-． (Ⅰ )求切点坐标及m 的值；
(Ⅱ )当m Z ∈时 ,存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,求实数a 的取值范围．
21． (本小题总分值12分 )
某校高一学生1000人 ,每周一次同时在两个可容纳600人的会议室 ,开设 "音乐欣赏〞与 "美术鉴赏〞的校本课程．要求每个学生都参加 ,要求第|一次听 "音乐欣赏〞课的人数为
m ()400600m << ,其余的人听 "美术鉴赏〞课；
从第二次起 ,学生可从两个课中自由选择．据往届经验 ,但凡这一次选择 "音乐欣赏〞的学生 ,下一次会有20﹪改选 "美术鉴赏〞 ,而选 "美
术鉴赏〞的学生 ,下次会有30﹪改选 "音乐欣赏〞 ,用n n b a ,分别表示在第n 次选 "音乐欣赏〞课的人数和选 "美术鉴赏〞课的人数．
(Ⅰ)假设500=m ,分别求出第二次,第三次选 "音乐欣赏〞课的人数23,a a ； (Ⅱ) (ⅰ )证明数列{}600-n a 是等比数列 ,并用n 表示n a ；
(ⅱ )假设要求前十次参加 "音乐欣赏〞课的学生的总人次不超过5800 ,求m 的取值范围．
22． (本小题总分值1４分 )
圆2
2
:34O x y += ,椭圆22
:
1259
x y C +=． (Ⅰ )假设点P 在圆O 上 ,线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点 ,求点P 的横坐标；
(Ⅱ )现有如下真命题：
"过圆2
2
2
2
53x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆22
22153
x y +=的两条切线 ,那么这两条切线互
相垂直〞；
"过圆2
2
2
2
47x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆22
22147
x y +=的两条切线 ,那么这两条切线互
相垂直〞．
据此,写出一般结论 ,并加以证明．
厦门市2021届高三质量检查
数学 (文科 )参考答案
一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分.
1 -6：BAADDC 7 -12： BCCCBD
12.提示：先证明函数()x x x f sin 3
+=在R 上是增函数 ,再确定方程x x x 5sin 3
=+有三个不
等根 ,得()f x 有三个 "5倍区间〞．
二、填空题：本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.
13．i 14. 2 15.
16. ②
三、解答题：本大题共6小题 ,共74分．
17. 此题主要考查茎叶图 ,样本的数字特征 ,古典概型 ,考查数据处理能力和运算求解能力 ,考查或
然与必然的数学思想．总分值12分. 解： (Ⅰ )甲同学成绩的中位数是83 ,
∴3x =, ……………………………………………… 3分 乙同学的平均分是86分 , ∴
1
(78838380909196)867
y +++++++=, ∴1y =. …………………………………………………… 6分
(Ⅱ )甲同学成绩在［90 ,100］之间的试卷有二份 ,分别记为1a ,2a ,
乙同学成绩在［90 ,100］之间的试卷有三份 ,分别记为1b ,2b ,3b , "从这五份试卷中随机抽取两份试卷〞的所有可能结果为：
()
12,a a ,
()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()()2122,,,a b a b ,()23,a b ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有
10种情况 , …………………………………………… 9分
记 "从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份 ,恰抽到一份甲同学试卷〞为事件M ,
()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()()2122,,,a b a b ,()23,a b ,共有6种情况……11分 那么63()105
P M =
= , 答：从成绩在［90 ,100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析 ,恰抽到一份甲同学试卷的概率为
3
5
. ……………………………………………………………………12分 18. 此题主要考查三角函数的恒等变换 ,三角函数的根本性质 ,考查运算求解的能力 ,化归与转化的思想．总分值12分.
解: (Ⅰ )()2sin()2sin 33
f x x x π
π
=+
-= ,………………………………………2分 sin 2,2]()22y x k k k Z ππ
ππ=∈函数的单调递增区间是[-
+ , ………………4分 3()[0,2][0,],[,2]22
f x ππ
ππ∴在上的单调递增区间为； ………………………6分
(Ⅱ )由 (Ⅰ )可得 ,2()2(1sin )sin 2sin 2sin g x x x x x =+=+ , ………7分 设sin t x = ,当x R ∈时 ,[1,1]t ∈- ,
那么2
2
11
()222()2
2
h t t t t =+=+-
, ……………………………………………………9分 由二次函数的单调性可知 ,min 1
()2
h t =- ,
又
(1)0,(1)4,h h -==max ()4h t ∴=, ………………………………………………11分
那么函数()g x 的值域为1
[,4]2
-
． ………………………………………………………12分 19. 此题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算 ,考查空间想象能力、推理论证能力及运算
求解能力 ,考查化归与转化思想、数形结合思想．总分值12分. 解： (Ⅰ )在ABC ∆中 ,2AB AC == ,23BC =
点D 是线段BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∴1AD =
∴ABC S ∆1
23132=⨯⨯= , …………………3分
PA ⊥底面ABC ,
∴1123
32333
P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯=
．……6分 (Ⅱ )法一:取CD 的中点H,连接FH,EH,
∵E 为线段PD 的中点,∴△PDC 中,E H ∥PC,
∵EH ⊄平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,
∴EH ∥平面PAC , ……………………8分
∵1
4
AF AB =
,∴△ABC 中,F H ∥AC, ∵FH ⊄平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,
∴FH ∥平面PAC , ……………………………10分
FH EH =H ,∴ 平面EHF ∥平面PAC ,………11分
ＥF ⊂平面EHF ,∴EF ∥平面PAC . ………12分
法二:分别取AD ,AB 的中点M ,N ,连结EM ,MF ,DN , 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点 ,∴EM ∥PA , EM ⊄平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,
∴EM ∥平面PAC ,…………………………………8分
1
2AN AB =
,1
4
AF AB = ,∴点F 是线段AN 的中点, 在ADN ∆中 ,AF =FN ,AM =MD ,∴ MF ∥DN,
在ABC ∆中 ,AN =NB ,CD =DB ,∴ DN ∥AC ,∴MF ∥AC ,
MF ⊄平面PAC ,AC ⊂平面PAC , ∴ MF ∥平面PAC , …………10分 EM MF =M ,∴平面EMF ∥平面PAC , …………………………11分
EF ⊂平面EMF ,∴EF ∥平面PAC . ………………………………12分
20.此题主要考查函数的单调性,最||值,切线,含参数的不等式成立问题 ,考查运算求解的能力,考
查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．总分值12分. (Ⅰ )解：设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ,
()22f x x x '=-+２,
∴0022x x -+２5=, 解得01x =-或03x =,…………………………………2分 当01x =-时 ,01y =- ,(1,1)P --在曲线C 上 ,∴73
m =
, 当03x =时 ,019y = ,(3,19)P 在曲线C 上 ,∴13m =,
切点(1,1)P -- ,7
3
m =
, ……………………………………………4分 切点(3,19)P , 13m =． ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一：∵m Z ∈ ,∴13m = ,
设3
21()()()(1)363
h x f x g x x a x =-=
-++ , 假设存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,那么只要min ()0h x ≤ , ……………8分
[]2()2(1)2(1)h x x a x x x a '=-+=-+ ,
(ⅰ)假设10a +≥即1a ≥- ,令()0h x '> ,得2(1)x 0x a >+<或 ,
[0,)x ∈+∞ ,∴()h x 在(2(1),)a ++∞上是增函数 ,
令()0h x '≤ ,解得02(1)x a ≤≤+ ,∴()h x 在[0,2(1)]a +上是减函数 ,
∴min ()(2(1))h x h a =+ ,(2(1))0h a +≤令,
解得2a ≥ ,…………………………………………………………………10分 (ⅱ)假设10a +<即1a <- ,令()0h x '> ,解得2(1)x 0x a <+>或 ,
[0,)x ∈+∞ , ∴()h x 在(0,)+∞上是增函数 ,
∴min ()(0),h x h = (0)0h ≤令 ,不等式无解 ,∴a 不存在 , …………11分
综合 (ⅰ ) (ⅱ )得 ,实数a 的取值范围为[2,)+∞．………………………12分 解法二：由()()f x g x ≤得2
3
21363
ax x x ≥-+, (ⅰ)当0x ≠时 ,213613a x x ≥
+- ,设2136()13h x x x
=+- 假设存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立 ,那么只要min ()h x a ≤ , ……8分
33
33
1726()33x h x x x -'=-= ,
令()0h x '≥ 解得6x ≥∴()h x 在[6)+∞上是增函数 , 令()0h x '< ,解得06x ∴<< ∴()h x 在(0,6)上是减函数 ,
∴min ()(6)2h x h == ,∴2a ≥ , ……………………………10分
(ⅱ )当0x =时 ,不等式2
3
21363
ax x x ≥
-+ 不成立 , ∴a 不存在 , ……………………………………………………………11分 综合 (ⅰ ) (ⅱ )得 ,实数a 的取值范围为[2,)+∞． ………………12分
21. 此题主要考查数列的概念 ,等比数列的定义 ,数列求和 ,考查运算求解的能力 ,应用意识 ,考查特殊与一般的思想 ,分类与整合的思想． 总分值12分. 解：(Ⅰ)由1000=+n n b a ,又5001=a ,5001=∴b , ……………………1分 ∴5503.08.0112=+=b a a ,…………………………………………………2分
∴2450b = ,
∴5751354403.08.0223=+=+=b a a ．……………………………………4分 (Ⅱ) (ⅰ )由题意得n n n b a a 3.08.01+=+ ,
()3005.010003.08.01+=-+=∴+n n n n a a a a ,……………………5分 ()6002
1
6001-=
-∴+n n a a , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分
()400,600m ∈ ,∴16000a -≠ ,
∴数列{}600-n a 是等比数列 , - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - -7分
∴()1
21600600-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=-n n m a ,
得()1
21600600-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-+=n n m a - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - -8分
(ⅱ )前十次听 "音乐欣赏〞课的学生总人次即为数列{}n a 的前10项和10S ,
()()109
111023
6000600160006002
2512
S m m ⎛⎫=+-⨯+
++
=+-⨯ ⎪⎝
⎭ ,…10分 由 ,580010≤S ,
得()()512010236002058051201023600600⨯-≤⇒≤⨯
-+m m , 1023
5120
20600⨯≥-∴m ,1.100600-≤∴m ,…………………11分
*N m ∈ ,∴m 的取值范围是400499m <≤,且*N m ∈．……12分
22. 此题考查直线 ,圆 ,椭圆等根底知识 ,考查运算求解能力 ,类比、探究归纳能力 ,考查数形结合思
想 ,化归与转化思想．总分值14分． 解法一： (Ⅰ )设点00(,)P x y ,那么220034x y += , (1 ) ……………………1分
设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ,那么M 00
(
,)22
x y ,……2分
椭圆22
:
1259
x y C +=的右焦点(4,0)F , ………………3分 MF OP ⊥,∴1OP MF
k k ⋅=- ,∴ 0
0000
2142
y y x x -⋅=-- , ∴2200080y x x +-= , (2 )…………………………4分
由 (1 ) , (2 ) ,解得0174x = ,∴点P 的横坐标为17
4
．…5分 (Ⅱ )一般结论为：
"过圆2
2
2
2
x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22
221x y a b
+=的两条切线 ,那么这两条
切线互相垂直．〞………………………………6分
证明如下：
(ⅰ )当过点Q 与椭圆22
221x y a b
+=相切的一条切线的斜率
不存在时 ,此时切线方程为x a =± ,
点Q 在圆2
2
2
2
x y a b +=+上 ,∴(,)Q a b ±± ,
∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22
221x y a b
+=相切的另一条切线 ,
∴两切线互相垂直．…………………………………………7分 (ⅱ )当过点(,)Q m n 与椭圆22
221x y a b
+=相切的切线的斜率存在时 ,
可设切线方程为()y n k x m -=- ,
由22
221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩
得 []222222
()0b x a k x m n a b +-+-= , 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--= ,…9分 直线与椭圆相切 ,
∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--= ,
整理得()()
22222
20m a k mnk n b --+-= ,………………………11分
∴22
122
2
n b k k m a
-=- , ……………………………………………… 12分 点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上 ,∴2222m n a b +=+ ,……13分
∴2222m a b n -=- ,∴121k k =- ,∴两切线互相垂直 ,
综上所述 ,命题成立．…………………………………………………14分
解法二：
(Ⅰ )设点00(,)P x y ,那么220034x y += , (1 )……………………………1分
椭圆22
:
1259
x y C +=的右焦点(4,0)F ,………………………………2分 点F 在线段OP 的垂直平分线上 , ∴PF OF = ,
∴22200(4)(0)4x y -+-= , ∴2200080x x y -+= , (2 )……4分
由 (1 ) , (2 ) ,解得0174x = , ∴点P 的横坐标为17
4
．……………5分 (Ⅱ )同解法一．。