八数培优提高第10讲 分式方程

例2：k为何值时，方程 k 3 1 x 产生增根？ x2 2x
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得 k+3（x-2)=x-1，
解这个整式方程，得k=5-2x，
当x=2时，原分式方程产生增根，即k=5-2×2
解这个方程，得 k=1 ．
所以当k=1时，方程 k 3 1 x 产生增根．
解：方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5)，得：
x+5=10，
解这个方程得：
x=5 ．
为什么会产生增 根？增根产生的
原因？
检验：当x=5时，最简公分母（x-5）（x+5） =0，所以x=5是增根．
原分式方程无解．
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的 最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可 能为零，对于整式方程来说，求出的根成立， 而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这 个根是原分式方程的增根.
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 20 v

60 20 v
分母中含未知数的 方程叫做分式方程．
100 60 20 v 20 v
像这样： 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
及时练习
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程．
(1(1)) x 2 x 整式方程 (2) 4 3 7 分式方程
“增根”是方式方程中使方程的分母为0无意义， 原方程无解．
“无解”包括增根和这个分式方程化成整式方程后 没有可解的根．
及时练习
解方程：1、 x
1
2

3 x
解：方程两边都乘以x(x–2)，得
x 3(x 2)
解这个方程，得 x=3
检验：将x=3代入原方程，得
∴x=3是原方程的根。
解方程：2、
6、当
x=(
B
)时,
x x5

2与
x
1 x
互为相反数.
6 A. 5 ;
5
3
2
B. 6 ;
C. 2 ;
D. 3
二、选择题
7
x
1、分式 与 的和为 4，则 x 的值为
3
．
x－2 2－x
3－x 1 2、方程 ＋ ＝1 的解是
x=3
．
x－4 4－x
3. 3、已知关于 x 的分式方程 x a 1的根大于零， x2
x2
2x
例3：
k为何值时，分式方程
x
x
1

x
k
1

x
x
1

0
有增根？
解：
方程两边都乘以(x-1)(x+1)，得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0，
解得 (k+2)x=-k
，
当x=1时，原方程有增根，则k=-1； 当x=-1时，k值不存在； ∴当k=-1，原方程有增根．
k为何值时，分式方程 x k x 0 x1 x1 x1
解得 x=5
经检验x=5是所列方程的根。
∴ 1.5x=1.5×5=7.5
答:文学书的价格是每本5元，科普书每本7.5元.
1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙 多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙骑60千米所用 时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？
解：设甲每小时骑x千米，则乙每小时骑（x－6）千米。
①第一年每间房屋的租金=第二年每间房屋的租金－500元 ②第一年出租房屋间数=第二年出租的房屋间数
总租金 ③出租房屋间数= 每间房屋的租金
问题1、求出租的房屋总间数； 问题2、分别求这两年每间房屋的租金。
问题1、求出租的房屋总间数；
第一年每间房屋的租金=第二年每间房屋的租金－500元
解:设出租的房屋总间数为x间，依题意，得
时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度 的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求 自行车和汽车的速度． 解：设自行车的速度为xkm/h，汽车的速度为2.5x km/h，由题意，
50 50 0.5 2 x 2.5x
解方程得：125=50+6.25x X=12
经检验，x=12是原方程的根， 2.5x=30.所以自行车的速度为12km/h，汽车的 速度是30km/h. 答：自行车的速度为12km/h，汽车的速度是 30km/h.
(1
30 1)x

15 x

5
3
解得 x=1.5
得到结果记 住要检验。
经检验x=1.5是所列方程的根.
1.5×(1+
1 3
)=2(元)
答:该市今年居民用水的价格为2元/m3
练习
1. 小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种 科普书,又用15元买了一种文学书.科普书的价格比文 学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书 少1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
依题意得：
90 60 x x6
解得 x=18 经检验x=18是所列方程的根。
X-6=12（千米） 答：甲每小时骑18千米，乙每小时骑12千米。
回顾与思考
• 什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫分式方程
• 什么叫增根？ 使原分式方程的分母为零的根是原分式方程的增根
• 产生增根的原因是什么？ 去分母时，在分式方程的两边同时乘以了一个可 能使分式方程的分母为零的整式
x＋1 x－1 x2－1
D
A．方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1) B．方程两边都乘以(x－1)(x＋1)，得整式方程 2(x－1)＋3(x＋1)＝6 C．解这个整式方程，得 x＝1 D．原方程的解为 x＝1
2x －1
33．．分分式式方方程程x2－ x －21＝＝11的的解解为为((
A
) )
• 列方程解应用题的一般步骤分哪几步？ 审题 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 答题
一、选择题
达标检测
1．下列属于分式方程的是( D )
2 x＋4 A. －
x＋1 3
x x－5 B. ＋ ＝0
32
1
1
C. (x －1)＝ x
2
3
1 D. －x＝1
x －1
23 6 2．解分式方程 ＋ ＝ ，分以下四步，其中错误的一步是( )
解分式方程的
解分式方程和解整式方程有什么区别？ 步骤是什么？
（1）3（x-3）=2x 解： 去括号，得3x-9=2x，
(2) 3 x

2 x 3
方程两边同乘以x（x-3）得：
3x-9=2x，
移项，得3x-2x=9，
解得 x=9 ．
解得x=9 ．
检验：x=9时，x （x-3）≠0 所以x=9是原方程的解．
主要等量关系： ①今年用水价格=去年用水价格×（1 1）
3
②今年7月份用水量－去年12月份用水量=5立方米
③用水价格=
水费总金额 用水总量
今年7月份用水量－去年12月份用水量=5立方米
解:设该市去年用水的价格为x元/m3.
则今年水的价格为 ( 1 1 ) x元/m3. 3
根据题意,得
设元时单位 一定要准确
无解？ 解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1)，得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0， 解得 (k+2)x=-k，
• 当x=1时，原方程无解，则k=-1；
• 当x=-1时，k值不存在； • 当k=-2时，k+2=0， 原方程无解； ∴ 当k=-1或k=-2时，原方程无解．
思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？
解这个方程，得
x 1
检验：将x=-1代入(x+)(x–1)，得
(x 1)(x 1) (1 1)(1 1) 0
∴x=-1是原方程的增根
∴原方程无解.
m 2x 1、如果解关于 x 的分式方程 － ＝1 时出现增根，
x－2 2－x
那么 m 的值为( D )
A．－2
B．2
那么 a 的取值范围是 a＜2
4、某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水
排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天
比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求
原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设
xm管道，那么根据题意，可列方程
.
120 480
＋
＝11
x x＋20
二、分式方程应用 1、甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同
解分式方程的思路是：
分式 方程
去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程．（转化思想）
2、解这个整式方程．
3、检验 4、写出原方程的根．
为什么要检验？
一化二解三检验
知识点3、增根的概念
1
10
例1： 解分式方程： x 5 x2 25
23
xy
((23)) 1 3 分式方程 ((44)) x(x 1) 1 分式方程
x2 x
x
(53)) 3 x


x 2
整式方程 （(56)）2x
x 1 10 5
整式方程
（(57）) x 1 2 分式方程 (8) 2x 1 3x 1 分式方程
x
x
知识点2、解分式方程；
C．4
D．－4
2、
3x －2
m
关于 x 的方程
＝2＋ 无解，则 m 的值为( A )
x ＋1
x＋1
A．－5 B．－8
C．－2 D．5
知识点4、分式方程的应用.
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二 年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为 9.6万元,第二年为10.2万元. 132..你.你根能能据找利这出用一这方情一程境情求你境出能中上提的面出等提哪量出些关的问系问题吗题? ?吗?
96000

102000
500
x
x
解得 x=12 经检验x=12是所列方程的根。 所以出租的房屋总间数为12间。
得到结果记 住要检验。
问题2、分别求这两年每间房屋的租金。
解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年 每间房屋的租金为（x+500）元，依题意，得
96000 102000 x x 500
第10讲 分式方程
一、知识要点
1、分式方程的概念； 2、解分式方程； 3、增根的概念； 4、分式方程的应用.
知识点1、分式方程的概念 1 ．什么是整式方程？
分母里不含有未知数的方程叫做整式方程． 2 ．什么是分式方程？
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江 以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速 逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
x －2
1
A．x ＝－1 A．x ＝－1
BB．．xx＝＝21
C．x ＝1 C．x ＝1
D．x ＝2 D．x ＝2
m 1－2x
4.若关于 x 的方程 ＝ 有增根，则 m 的值为( C )
x －2 x －2
A ．0
B．1 C．－1 D．2
5、下列关于分式方程增根的说法正确的是( D )
A.使所有的分母的值都为零的解是增根; B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增根; D.使最简公分母的值为零的解是增根
等量关系：
1、科普书价格=文学书价格×1.5
2、所买文学书本数－所买的科普书本数=1
3、书本数=总金额/价格
1、等量关系：（1）科普书价格=文学书价格×1.5 （2）所买文学书本数－所买的科普书本数=1 （3）书本数=总金额/价格
解:设文学书的价格是每本x元，则科普书每本1.5x元.
依题意得： 15 15 1 x 1.5x
480 x

600 2x
45
解： 原方程化简，得
32 x

20 x

3
方程两边都乘以x，得
32 20 3x

解这个方程，得 x 4
检验：将x=4代入原方程，得
左边=45=右边
∴x=4是原方程的根。
x 解方程：3、 x

1 1

4 x2
1

1
解： 方程两边都乘以(x+)(x–1)，得 (x 1)2 4 (x 1)(x 1)
解得 x=8000 经检验x=8000是所列方程的根。
x+500=8500 所以，第一年每间房屋的租金为8000元，第二 年每间房屋的租金为8500元。
某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每 立方米水费上涨1/3.
小丽家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费 是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月 份的用水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.