2015年高考文科数学浙江卷有答案

数学试卷 第1页（共15页） 数学试卷 第2页（共15页） 数学试卷 第3页（共15页）
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式:
球的表面积公式 锥体的体积公式
2
4S R π= 13
V Sh =
球的体积公式
其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 33
4
V R π=
台体的体积公式
其中R 表示球的半径
121
(S )3
V h S =+
柱体的体积公式
其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, V Sh =
h 表示台体的高
其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高
选择题部分（共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合2={|}23P x x x －≥,{}|24Q x x =<<,则P Q = ( )
A .[3,4)
B .(2,3]
C .(1,2)-
D .(1,3]-
2.某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积是( ) A .8 cm 3
B .12 cm 3
C .323 cm 3
D .403
cm 3
3.设a ,b 是实数,则“0a b +>”是“0ab >”的
( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
4.设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l α⊂,m β⊂.
( )
A .若l β⊥,则αβ⊥
B .若αβ⊥,则l m ⊥
C .若l β∥,则αβ∥
D .若αβ∥,则l m ∥
5.函数1
()()cos (ππf x x x x x
=--≤≤且0)x ≠的图象可能为
( )
A
B
C
D
6.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位:m 2
）分别为x ,y ,z ,且x y z <<,三种颜色涂料的粉刷费用（单位:元/m 2
）分别为a ,b ,c ,且a b c <<．在不同的方案中,最低的总费用（单位:元）是
( )
A .ax by cz ++
B .az by cx ++
C .ay bz cx ++
D .ay bx cz ++
7.如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60︒,B 为斜足,平面α上的 动点P 满足30PAB ∠=︒,则点P 的轨迹是
( )
A .直线
B .抛物线
C .椭圆
D .双曲线的一支 8.设实数a ,b ,t 满足|1||sin |a b t +==.
( )
A .若t 确定,则2
b 唯一确定 B .若t 确定,则22a a +唯一确定 C .若t 确定,则sin
2
b
唯一确定 D .若t 确定,则2a a +唯一确定
非选择题部分（共110分）
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在
题中的横线上.
9.计算
:2
log 2
= ,24log 3log 32+= . 10.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零.若2a ,3a ,7a 成等比数列,且1221a a +=,则
1a = ,d = .
11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ,最小值是 .
12.已知函数2,,()6
6,,x x f x x x x ⎧⎪
=⎨+-⎪
⎩
≤1＞1则((2))f f -= ,()f x 的最小值是 . 13.已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2＝1
2
.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则
|b |= .
14.已知实数x ,y 满足221x y +≤,则24|||6|3x y x y +-+--的最大值是 .
15.椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点(,0)F c 关于直线b y x c
=的对称点Q 在椭圆上,则
椭圆的离心率是 .
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
16.（本小题满分14分）
在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．已知πtan()24
A +=.
（Ⅰ）求
2
sin 2sin 2cos A
A A
+的值； （Ⅱ）若π
4
B =,3a =,求AB
C △的面积.
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
姓名________________ 准考证号_____________
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17.（本小题满分15分）
已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =,11b =,*12()n n a a n +=∈Ν,12311123n
b b b b n
+++⋅⋅⋅+*11()n b n +=-∈Ν.
（Ⅰ）求n a 与n b ；
（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .
18.（本小题满分15分）
如图,在三棱柱111ABC A B C －中,90BAC ∠=︒,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面
ABC 的射影为BC 的中点,D 是11B C 的中点.
（Ⅰ）证明:1A D ⊥平面1A BC ；
（Ⅱ）求直线1A B 和平面11BB C C 所成的角的正弦值.
19.（本小题满分15分）
如图,已知抛物线1C :2
14
y x =
,圆2C :22(1)1x y +-=,过点(,0)(0)P t t >作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切,A ,B 为切点.
（Ⅰ）求点A ,B 的坐标； （Ⅱ）求PAB △的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.
20.（本小题满分15分）
设函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈.
（Ⅰ）当2
14
a b =+时,求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；
（Ⅱ）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点,021b a -≤≤.求b 的取值范围.
[3,4)
=
P Q
60角的平面去截圆锥，所得图形为椭圆，故选
30
=
PAB为定值，可得点
的交线，则答案可求.
c
π3 s
⎫
-+
⎪
⎭
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【解析】由题可知，不妨可设1(1,0),e e ⎛== ，，设(,),b x y =则11,b e x ==21=2b e x +故31,3b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，所以13||=133b +. 【提示】根据数量积得出12e e ，夹角为60，130b e b e <>=<>=，
，，运用数量积的定义12
b
c c b m c c =-+，解得
上，即2n
n 23
22322n n ++
+，
34+12232(1)22n n n n ++
+-+，
23
+122222(1)2n n n n T n n =-=++++-=-1*
1)22()n n +-+∈N .
12n a =，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公2n
n ，然后利用错位相减法求数列【考点】根据数列的递推关系式求数列的通项公式，错位相减法求和（Ⅰ）设E 为BC 的中点，由题意得90AB ，所以1((0,0,0),(0,2,0)2,2,14)-，，O B B 即1=(0,2,14),=(0,2,),(2,0,=-0A B OB BB 设平面11BB C C 的法向量为(n x y =，，100
n OB n BB ⎧=⎪⎨
=⎪⎩即得出0
2140y x z =⎧⎪-+=⎪⎩得出(70)422n BA n ===，，1，，
所以114n BA =，1cos 4n BA <>=⨯，
可得出直线1A B 11BB C C 所成的角的正弦值为
8
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的法向量(7,0,=1n 根据与BA 数量积求
3
|2t d =. 0)k ≠，与抛物
的圆心(0,1)D AB d .。