三年高考(2016_2018)高考数学试题分项版解析专题20圆锥曲线的综合问题文(含解析)

专题20 圆锥曲线的综合问题 文
1.定值与最值
及
范围问题
掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、
参数范围问题
掌握
解答题 ★★★
2.存在性问题
了解并掌握与圆锥曲线有关的存在
性问题
掌握
解答题 ★★☆
分析解读　1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,
研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.
2018年高考全景展示
1．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB 为直
径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若，则点A 的横坐标为________．
【答案】3
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B 满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线
方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.
3．【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O
的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为
（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为
【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组
可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.
（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，
即．由，消去y，得
．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．
点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交
点的情况.
4．【2018年全国卷Ⅲ文】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。

（2）先求出点P的坐标，解出m，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。

（2）由题意得F（1，0）．设，则．
由（1）及题设得，．又点P在C上，所以，从而，．于是．同理．
所以．故．
点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出m，得到,再有两点间距离公式表示出，考查了学生的计算能力，难度较大。

2017年高考全景展示
1.【2017山东，文21】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
22
22
1
x y
a b
+=(a>b>0)的
,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
【答案】(Ⅰ)22142x y +=;(Ⅱ)EDF ∠的最小值为π2
. 【解析】
试题分析：(Ⅰ)
c a =
a =,由椭圆C 截直线y =1
所得线段的长度为得
, =,求得椭圆的方程为22142x y +
=；(Ⅱ)（2由2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩
,解得222(21)4240k x kx m +++-=,确定22
2(,)2121
km m
D k k -
++
,DN =
所以sin ON FDN DN ∠==≥由此可得FDN ∠的最小值为π,4EDF ∠的最小值为π
2
.
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程22
24y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩
得222
(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*）
且122
421
km
x x k +=+ ， 因此122
221m
y y k +=+ ， 所以222(,)2121
km m
D k k -++ ，
又(0,)N m - ， 所以2
2222
2(()2121
km m
ND m k k =-
++++ 整理得：2242
22
4(13)
(21)m k k ND k ++=+ ，
因为NF m =
所以
24222
2222
4(31)83
1(21)(21)
ND k k k k k NF
+++==+++ 令2
83,3t k t =+≥ 故21214
t k ++=
所以
22
2
1616
111(1)2ND t t NF
t t
=+
=++++
.
故
1
2
ND NF ≥， 设2EDF θ∠=， 则1
sin 2
NF ND θ=
≥ ， 所以θ得最小值为
6
π
.
从而EDF ∠的最小值为
3
π
，此时直线l 的斜率时0.
综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3
π
.
【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、
【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
2.【2017天津，文20】已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标
为(0,)c ，EFA △的面积为2
2
b .
（I ）求椭圆的离心率；
（II ）设点Q 在线段AE 上，3
||2
FQ c =
，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.
【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）（ⅰ）3
4
（ⅱ）
2211612x y += 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据图象分析出2
1()22
b c a c +=， 再结合222b a c =-，求得离心率；（Ⅱ）（ⅰ）首先
设直线FP 的方程是x my c =-，再写出直线AE 的方程，方程联立得到点Q 的坐标，根据3
2
FQ c =
得到m 的值，求得直线的斜率；（ⅱ）直线FP 的方程和椭圆方程联立，求得点P 的坐标，再求,FP FQ c =，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，求c ，解椭圆方程.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1
m
. 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为
12x y
c c
+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22
m c c m m -++.
由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以4
3m =，即直线FP
的斜率为3
4
.
【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大
3.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2
x y =，点A 11
()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点2
3
21)(,(<<-
x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）27
16
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为21-
x ，由13
22
x -<<，得AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数
3)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)1(2342
2+++-=k k k x Q ，因为|PA
1)2
x +=)1(12++k k |PQ |= 1
)1)(1()(122
2
++--
=-+k k k x x k Q ，所以|PA ||PQ |=3
)1)(1(+--k k
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2
)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)
1,2
1(上单调递减，因此当k =
12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3
)1)(1()(+--=k k k f 求解||||PQ PA ⋅的最大值．
2016年高考全景展示
1. 【2016高考山东文数】(本小题满分14分)
已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.
（I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) 2214
2x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB
【解析】
试题分析：(Ⅰ)分别计算,a b 即得. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 利用对称点可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 得到直线PM 的斜率，直线QM 的斜率，即可证得.
(ii)设()()1122,,,A x y B x y ，分别将直线PA 的方程y kx m =+，直线QB 的方程3y kx m =-+与椭圆方程
22
142
x y +=联立， 应用一元二次方程根与系数的关系得到21x x -、21y y -及AB k 用k 表示的式子，进一步应用基本不等式即得.
(Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率00
2m m m
k x x -=
= ， 直线QM 的斜率00
23'm m m
k x x --=
=-
. 此时
'3k k =-，所以'
k k
为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ， 直线PA 的方程为y kx m =+， 直线QB 的方程为3y kx m =-+.
联立 22142
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ ，
整理得()
222214240k x mkx m +++-=.
由20122421m x x k -=+可得()()212
2221m x k x -=+ ， 所以()
()2112
2221k m y kx m m k
x -=+=
++，
由00,0m x >>，可知0k >，
所以1
6k k
+
≥ ，等号当且仅当k =时取得.
=
，即m =，符号题意.
所以直线AB 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.
2.【2016高考天津文数】（设椭圆132
22=+
y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e
OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=
（Ⅱ） 【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由
113||||||c OF OA FA +=，得113()c
c a a a c +=-，
再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M
再OA 中垂线上，1
M x =，
再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根
据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率
.
（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，
设(,)B B B x y ，由方程组22
1,43
(2),x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去y ， 整理得2
2
2
2
(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或2286
43
k x k -=+，
由题意得228643B k x k -=+，从而21243
B
k
y k -=+， 由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =- ，22
29412(,4343
k k
BF k k -=++ ， 由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅= ，所以22
2124904343H
ky k k k -+=++， 解得29412H k y k -=，因此直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+，
设(,)M M M x y ，由方程组2
194,12(2),
k y x k k y k x ⎧-=-+
⎪⎨⎪=-⎩
消去y ，得22
20912(1)M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，
即2
222(2)M M
M
M
x y x y -+=+，化简得1M x =，即22
209
112(1)
k k +=+，
解得k =
k =， 所以直线l
的斜率为k =
k =考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
3.【2016高考四川文科】（本小题满分13分）
已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>
的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1
)2
P 在
椭圆E 上.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆
1
2E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得2a b =，椭圆的标准方程
中可减少一个参数，再利用1)2
P 在椭圆上，可解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设
出直线l 方程为1
2
y x m =
+，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，由MA MB ⋅2
14
AB =求得MA MB ⋅（用m 表示），由OM
方程1
2
y x =-具体地得出,C D 坐标，也可计算出MC MD ⋅，从而证得相等．
试题解析：（I ）由已知，a =2b .
又椭圆2
2
221(0)x y a b a b +=>
>过点1
)2
P ，故22
1
3414b b +=，解得21b =. 所以椭圆E 的方程是2
21
4
x y +=.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的
思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的
1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．
4.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：2
2(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H .
（I ）求OH ON
；
（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有 【解答】
试题分析：先确定),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得022
2=-x t px ,解得01=x ,
p t x 222=,得)2,2(
2t p t H ,由此可得N 为OH 的中点,即2|
||
|=ON OH . （II ）把直线MH 的方程x t
p
t y 2=
-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
（Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x t p t y 2=
-,即)(2t y p
t
x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.
考点：直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.。