宁夏回族自治区银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学2024届高三第四次模拟考试联考数学(文)试题

银川九中、平罗中学、贺兰二高、西吉中学
2024届高三年级第四次模拟考试联考数学（文）试卷
一、选择题（每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合
，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解即可.
【详解】由，得，而，
所以.
故选：A
2. 已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限【答案】D
【解析】
【分析】利用复数乘法、除法运算即可求解．
【详解】因为，所以，所以z 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D ．3. 已知向量，若，则（ ）A. B. 1 C. D. 2
【答案】
B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积与模的坐标表示求解即得.{
}{}{}0,1,2,3,0,1,1,2U A B ===()U B A ⋂=ð{}
2{}4{}1,3{}5,6{}{}0,1,2,3,0,1U A =={}2,3U A =ð{}1,2B =(){}2U A B = ð()()()12i 3i 1i z +=-+()()3i 1i 42i -+=+()()()()42i 12i 42i 86i 12i 12i 12i 5
z +-+-===++-86,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
(1,1),(0,)a b t =-= ()
2a a b ⊥+ b = a b ⋅
【详解】由题意知，，
由，得，解得，
因此，解得，即，
所以.
故选：B
4. 函数的部分图象大致为（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.【详解】因为，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A ，D 选项；又，，所以排除C 选项.故选：B.
5. 函数（，且）的图象恒过定点，且点在角
的终边上，则a b t ⋅=- (2)a a b ⊥+ 2(2)2220a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= 1a b ⋅=- 1t -=-1t =(0,1)b =r ||1b = ()3
221x f x x x
=-+()1,22f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()333322222111x x x x x x f x x x x x
---=-==+++()f x R ()()()()
()3
33222111x x x x x x f x f x x x x ----+--===-=-+++-()f x 321112202112f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
()32222012f -=>+()log 42a y x =++0a >1a ≠A A θsin 2θ=
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．
【详解】对于函数且，令，求得，，
可得函数的图象恒过点，且点A 在角的终边上，，则，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．
6. 已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则
（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D
【解析】
【分析】求出直线与抛物线交点的横坐标，利用抛物线定义求出，即可得解.【详解】联立方程组，消元得，设，，解得，
易知过直线，根据抛物线的定义，
可得，，
所以.故选：D.
7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：
血液中酒精含
5
13-5
1312
13-12
13
tan θsin2θ()a y log x 42(a 0=++>a 1)≠x 41+=x 3=-y 2=()A 3,2-θy 2tan θx 3∴=
=-2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113
===-++1y x =-2:4C y x =A B A B F C ||||||
AB AF BF =-||AF |BF |214y x y x
=-⎧⎨=⎩2610x x -+=()11,A x y ()22,B x y 13x =+23x =-(1,0)F AB 1||42p AF x =+
=+||BF =242p x +=-||||||||||||||
AB AF BF AF BF AF BF +==--100mL
量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】利用题中给出的信息，设他至少要经过小时后才可以驾驶机动车，则，然后利用指数与对数的互化以及对数的运算性质进行求解，即可得到答案．
【详解】某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，
他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车．则，，．他至少经过个小时才能驾驶．
故选：D .
8. 已知在正四面体中，M 为AB 的中点，则直线CM 与AD 所成角的余弦值为（ ）
A.
B. C. D. 【答案】
C
【解析】
【分析】根据给定条件，作出异面直线CM 与AD 所成角，再在三角形中求解即得.
【详解】设正四面体的棱长为2，取BD 的中点N ，连接MN ，CN ，如图，
20mg 80mg 0.8mg /mL 20%lg 20.30≈3
456t 80(120%)20t -<0.8mg /mL 100mL 80ml 80(120%)20t -<10.84
t ∴<0.845
1lg 42lg 20.6log log 464lg 4lg 513lg 2130.3t ∴>=-=-=≈=---⨯6A BCD -1
223
A BCD -
由M 是AB 的中点，得，则是CM 与AD 所成的角或其补角，
显然
MN 的中点E ，连接CE ，则，
在中，，因此
所以直线CM 与AD
.故选：C 9. 已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（ ）A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】【分析】由事件从圆上任取一点，使的概率小于等于，求的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.
【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为，在轴上的截距为，
当
上不存在点，使，
所以事件圆上任取一点，使的概率为，
当
上有且仅有一个点，使，
所以事件圆上任取一点，使的概率为，
//MN AD CMN ∠MC NC ==CE MN ⊥CME △1122ME MN =
=c s o ME CME CM ∠==22:1C x y +=:0l x y c -+=0c ≥C (),x y 0x y c -+≤12
C (),x y 0x y c -+≤12c 0x y c -+=1x c -y c c >C (),x y 0x y c -+≤C (),x y 0x y c -+≤0c =C (),x y 0x y c -+≤C (),x y 0x y c -+≤0
若，如图，圆上满足条件点为劣弧（含）上的点，
设劣弧的长度为，则，
所以事件圆上任取一点，使的概率，若，如图，圆上满足条件点为直线上方的半圆上的点，
所以事件圆上任取一点，使概率
，若，如图，圆上满足条件点为优弧（含）上的点，
设优弧的长度为，则，
所以事件圆
上任取一点，使的概率，若
上所有点满足条件，
的0c <<C 0x y c -+≤AB ,A B AB t 0πt <<C (),x y 0x y c -+≤12π2
t P =<0c =C 0x y c -+≤l C (),x y 0x y c -+≤π12π2
P ==0c <<C 0x y c -+≤CD ,C D CD s π2πs <<C (),x y 0x y c -+≤12π2
t P =>c ≤C 0x y c -+≤
所以事件圆上任取一点，使的概率，所以“圆上任取一点，使
的概率小于等于”等价于“”，所以“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的充要条件，故选：C.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 图象关于点中心对称C. 若在区间上存在最大值，则实数a 的取值范围为D. 的图象关于直线对称【答案】C
【解析】
【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数的对称性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题图知，的最小正周期，则．所以．的C (),x y 0x y c -+≤2π12π
P ==C (),x y 0x y c -+≤1
20c ≥0c ≥C (),x y 0x y c -+≤1
2()()πsin 0|2|f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭，π
8
ϕ=()f x 2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f x 7π,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭π,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()f x π6x =
()f x ()f x 4π7ππ3612T ⎛⎫=
⨯+= ⎪⎝⎭
2π2πω==()()sin 2f x A x ϕ=+
将代入得，则，即．因为，所以，将代入得，则，所以，A 选项错误；当时，，所以点不是的图象的一个对称中心，B 选项错误；当
时，，所以直线
不是的图象的一个对称轴，D 选项错误；易得在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数a 的取值范围为，C 正确．故选：C
11. 已知，为奇函数，且，则（ ）A. 4047 B. 2 C. D. 3【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，推得，得到是周期为的周期函数，再由，，求得，，结合，即可求解.
【详解】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭
πsin 03A ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()ππZ 3k k ϕ-+=∈()ππZ 3
k k ϕ=+∈π2ϕ<
π3ϕ=7π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭7ππsin 263A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2A =()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭2π3x =22ππ2sin 2033π3f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f x π6x =πππ2sin 22663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭π6x =
()f x ()f x 7,2412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππππ2sin 22sin 2121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()f x π12x =π12
a >π,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
(4)()f x f x +=-(1)f x +(2)2f =(2023)(2024)f f +=2-()(4)f x f x =+()y f x =4(2)2f =()10f =(0)2f =-(3)0f =(2023)(2024)(3)(0)f f f f +=+(1)f x +()f x (1,0)()10f =
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，所以函数是周期为的周期函数，
因为，，可得，，所以.故选：C.
12. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为双曲线上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线
C. 若，则的面积为
D. 以
为半径的圆与渐近线相切
【答案】D
【解析】
【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A ；进而可求得双曲线的离心率判断B ；求得三角形的面积判断C ；求得到渐近线的距离可判断D.
【详解】对于A ，设点，则，因为，所以，又，得，所以
，故A 错误；对于B
，因为，所以双曲线C 的离心率为，故B
错误；()(2)f x f x =--()(2)f x f x -=-+(4)()f x f x +=-(4)(2)x x f f -++=()(2)f x f x =-+()2(4)f x f x +=-+()(4)f x f x =+()y f x =4(2)2f =()10f =(0)(2)2f f =-=-(3)(1)0f f =-=(2023)(2024)(50543)(5064)(3)(0)022f f f f f f +=⨯++⨯=+=-=-C 22
221x y a b
-=0a >0b >1F 2F 1A 2A P 1PA 2PA y x =C 12PF PF ⊥12PF F △2
a 1F 123PA PA k k =22
b a 1F (,)P x y 2
22
2)1(x y b a -=12(,0),(,0)A a A a -1222222PA PA y y y b k k x a x a x a a
===+-- 123PA PA k k =223b a =b a
=y =2c a ==2
对于C ，因为，所以，又，所以，所以，所以，所以=，故C 错误；对于D ，由B 选项可得，
以到渐近线方程为的距离为：，又
，所以以
为半径的圆与渐近线相切，故D 正确.故选：D.
二、填空题（每小题5分，总分20分）
13. 已知x ，y 的取值如表：若x ，y 具有线性相关关系，且回归方程为，则________.01
344.3 4.8 6.7【答案】2.2
【解析】
【分析】利用回归直线过样本中心点求解.
【详解】，，将样本中心点代入回归方程，得，解得.故答案为：2.2
14. 曲线在点处的切线的方程为_______.【答案】.
【解析】
【分析】求得函数的导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以，即所求切线的斜率为，
又由，所以所求切线的方程为，12PF PF ⊥2221212||||||PF PF F F +=12||||||2PF PF a -=22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=212||||2PF PF b =12121||||2PF F S PF PF =
2b 2c a =1F y =d ====1F 1F 0.95 2.6y x =+$=a x y a
(),x y 013424x +++=
= 4.3 4.8 6.715.844
a a y ++++==∴()x y 0.95 2.6y x =+$15.80.952 2.64a +=⨯+ 2.2a =()1x f x e x
=-()()1,1f 20ex x y +--=()21'x
f x e x
=+()'11f e =+()1x f x e x =-()21'x f x e x =+()'11f e =+1k e =+()11f e =-()()1'1y f k x f -=-⎡⎤⎣⎦
可得，即.
所以所求切线的方程为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
15. 海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm ）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m 到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为__________m.（计算结果精确到0.1）
【答案】【解析】
【分析】如图，由三角形的外角和可得，进而求出BD ，设m ，利用勾股定理求出DG ，即可求出DC .
【详解】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，则，
由题意知，m ，m ，
所以，则
，
()()()111y e e x --=+-()()()111y e e x e --=+-+20ex x y +--=20ex x y +--=A D 45︒A B D 75︒53.6
30ADB ︒∠=DG AG x ==C AB CD G B BH AD ⊥H 90,90AGD AHB DHB ︒︒∠=∠=∠=1.73AE BF CG ===45,75,38DAG DBG AB ︒︒∠=∠==9045ADG DAG DAG ︒∠=-∠==∠DG AG =
在中，
，又是的外角，即有，
所以，
在中，
，设m ，则m ，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得
（舍），
所以m ，所以m ，
即海宝塔的高度为m.
故答案为：
16.
的正四面体的体积，通常采用如下的解法：构造一个棱长为1的正方体，此正方体称为该四面体的“生成正方体”（如图（1）），则四面体的体积.仿照此解题思路，对一个已知四面体，可构造
它的“生成长方体”.“生成长方体”由该四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于“生成长方体”的底面积的一半，且高相等.一对棱长都相等的四面体称为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别为
5（如图（2）
），则该四面体的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题可得四面体的体积等于“生成长方体”的体积为
，再由题意求出长方体的长宽高，求得长方体的体积，进而得到四面体的体积.
【详解】由题意得，四面体的体积为，所以四面体的体积等于“生成长方体”的体积，Rt ABH sin 38BH AB DAG =∠==DBG ∠ABD △DBG DAG ADB ∠=∠+∠30ADB DBG DAG ︒∠=∠-∠=Rt BDH 2BD BH ==DG AG x ==(38)BG x =-Rt BDG 222BG DG BD +=222(38)x x -+=2387220x x --=19x =+19-51.908DG x =≈51.908 1.7353.6CD DG CG =+≈+≈53.653.6
11BDA C 1111111111A ABD C BCD B A B C D A C D BDA C V V V V V V ----=----四面体正方体8
131111143233V Sh Sh Sh V =-⨯⨯
==13
设长方体的长、宽、高分别为，可得，
解得，即，
可得长方体的体积为，所以该四面体的体积为.
故答案为：.三、解答题（总分70分.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）
17. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2=4，S 5=30．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）求数列的前n 项和．【答案】（1）a n =2n ；（2）
【解析】【分析】（1）设出等差数列的基本量，首项和公差，将条件用基本量表示出来，得到和，写出的通项公式.
（2）根据（1）写出的前项和，然后得到 的通项，通过裂项求和法，得到的前项和.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
依题意可知，解得，故，（2）因为，所以，所以．【点睛】本题考查等差数列中，通过基本量的求数列通项和求和，裂项法求和，属于基础题.
18. 2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身 实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从
,,a b c 222222132025a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
2229,4,16a b c ===3,2,4a b c ===32424V abc ==⨯⨯=183
V =8n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n
n 1+{}n a 1a d 1a d {}n a {}n a n n S 1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n {}n a 1a d 21515445302
a a d S a d ⨯=+==+=，122a d ==，()()()*112122n a a n d n n n =+-=+-⨯=∈N
，()()2212n n n S n n +==+()n
1111S n n 1n n 1==-++1211111111111111n 11S S S S 22334n n 1n 1n 1
+++⋯+=-+-+-+⋯+-=-=+++
小抓起．“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手
段”……习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中．某学校为了了解学生体育锻炼的情况，随机抽取了n 名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示．其中体育锻炼时间在内的人数为50人．
（1）求及的值（的取值保留三位小数）；
（2）估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的名学生的性别进行了统计，得到如下列联表：非运动达人运动达人总计
男生30
女生70
总计
补全列联表，并判断能否有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关？
附：0.1000.050
0.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1），
(]4,6n a a n 22⨯22⨯2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k
≥200n =0.200a =
（2）
（3）列联表见解析，没有
【解析】
【分析】（1）根据条件得到，即可求出值，再利用小矩形面积之和为，即可求出值；（2）利用频率分布图中平均值的计算方法，即可求出结果；（3）根据频率分布直方图，得出运动达人的总人数，即可得出列联表，再根据列联表计算出值，即可求出结果.
【小问1详解】
因为体育锻炼时间在内的人数为50人，所以，解得，又由，得到.
【小问2详解】
根据频率分布直方图，知该校学生每周体育锻炼时间的平均值为：
.
【小问3详解】
由（1）知，运动达人共有，所以女生运动达人有人，
得到列联表如图：
非运动达人
运动达人总计男生
女生
总计
又，所以没有90%的把握认为成为“运动达人”与性别有关.
19. 如图，四棱锥中，菱形所在的平面，，是中点，是的中点.
6.8x =500.25n
=n 1a 2K (]4,6500.12520.25n
=⨯=200n =(0.0500.1250.0750.050)21a ++++⨯=0.200a =(30.05050.12570.20090.075110.050)2 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=200n =200(0.150.1)50⨯+=20803011070209015050200222()200(80207030)2000.673 2.706()()()()1505011090297
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯P ABCD -PA ⊥ABCD 60ABC ∠= E BC M PD
（1）求证：平面平面；
（2）若是上的中点，且，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2
.【解析】
【分析】（1）连接AC ，证得，，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）由是上的中点，是的中点，得，计算出三棱锥的体积即可得到三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：连接AC ，
∵底面为菱形，，∴是正三角形，
∵是中点，∴，又，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
又平面，∴平面平面.（2）∵是上的中点，且，
∴，
AEM ⊥PAD F PC 2AB AP ==P AMF -AE AD ⊥PA AE ⊥F PC M PD 12P AMF M APF F PAD V V V ---==
14
P ACD V -=P ACD -P AMF -ABCD 60ABC ∠= ABC E BC AE BC ⊥//AD BC AE AD ⊥PA ⊥ABCD AE ⊂ABCD PA AE ⊥PA AD A ⋂=⊥AE PAD AE ⊂AEM AEM ⊥PAD F PC 2AB AP ==2AD =AE =
又是的中点，∴三棱锥的体积：
.【点睛】本题主要考查线面垂直和面面垂直的判定定理和性质，三棱锥的体积公式，考查学生数形结合能力和计算能力，属于基础题.
20. 给定椭圆C
： (a >b >0)，称圆心在原点O
的圆为椭圆C 的“准圆”．若椭圆
C 的一个焦点为F ，0)，其短轴上的一个端点到
F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；
（2
）若点P 是椭圆C 的“
准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线l 1，l 2交“准圆”于点M ，N .证明：
l 1⊥l 2，且线段MN
的长为定值．【答案】（1）椭圆方程为，
“准圆”方程为x
2＋y 2＝4；（2）证明见解析.【解析】
【分析】（1）由已知C 方程和其“准圆”方程；
（2）①当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，分别求出l 1和l 2，验证命题成立；②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中，联立过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线方程与椭圆方程，由Δ＝0化简整理，可证得l 1⊥l 2；进而得出线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，即线段MN 的长为定值．
【详解】（1）∵椭圆C 的一个焦点为 其短轴上的一个端点到F ∴，∴，
的M PD P AMF -111222
P AMF M APF F PAD C PAD V V V V ----===⨯111443
P ACD ACD V S PA -==⨯⨯⨯ 11122
AD AE PA =⨯⨯⨯⨯12224=⨯=22
221x y a b
+=2
213
x y +=c a ==22004x y +=)F
c a =
=1b ==
∴椭圆方程为，∴“准圆”方程为x 2＋y 2
＝4.
（2）证明：①
当直线l 1，l 2中有一条斜率不存在时，不妨设直线
l 1斜率不存在，则l 1：
x ＝，当
l 1：x l 1与“准圆”交于点1)，，－1)，
此时l 2为y ＝1(或y ＝－1)，显然直线l 1，l 2垂直；
同理可证当l 1：x 时，直线l 1，l 2垂直．
②当l 1，l 2斜率存在时，
设点P (x 0，y 0)，其中.
设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为
y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理，得(3－)t 2＋2x 0y 0t ＋1－＝0，
∵，∴有(3－)t 2＋2x 0y 0t ＋(－3)＝0.
设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，
∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－)t 2＋2x 0y 0t ＋(－3)＝0，
∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．
综合①②知，l 1⊥l 2.
∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆”于点M ，N ，且l 1，l 2垂直．
∴线段MN 为“准圆”x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4，
∴线段MN 的长为定值．
【点睛】思路点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查新定义，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，有关平面解析问题一些基本解题思想总结如下：
1.常规求值问题：需要找等式，范围问题需要找不等式；
2.是否存在问题：当作存在去求，不存在时会无解；
3.证明定值问题：把变动的元素用参数表示出来，然后证明结果与参数无关，也可先猜再证；2
213
x y +=22
004x y +=()002
213y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩
20x 2
0y 22004x y +=20x 20x 20x 20x
4.处理定点问题：把方程中参数的同次项集在一起，并令各项系数为，也可先猜再证；
5.最值问题：将对象表示为变量的函数求解．
21. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）当时，记最小值为，求证：．
【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
【解析】
分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）函数定义域是，求得导函数，这里是正数，引入，利用它的单调性，得其有唯一零点，是的唯一极小值点，
即，由把转化为关于的函数，再由导数得
新函数的最大值不大于1，证得结论成立．
【小问1详解】
当时，，的定义域是，
，当时，；当时，．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）得的定义域是，，令，则，在上单调递增，
因为，所以，，
故存在，使得．
当时，，，单调递减；的【0()()e ln x f x x a x x =++a e =-()f x a<0()f x m 1m £()f x ()0,1()1,+∞()f x '()0f x '>()0f x '<(0,)+∞()()1e x x f x x a x +'=+1x x
+()e x g x x a =+0x ()f x ()()00000e ln x m f x x a x x ==++0()g x =00e 0x x a +=0()m f x =a a e =-()()e e ln x f x x x x =-+()f x ()0,∞+()()()111e e 1e e x x x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>()f x ()0,1()1,+∞()f x ()0,∞+()()1e x x f x x a x +'=
+()e x g x x a =+()()10x g x x e '=+>()g x ()0,∞+a<0()00g a =<()e 0a g a a a a a --=-+>-+=()00,x a ∈-()000e 0x g x x a =+=()00,x x ∈()0g x <()()1e 0x x f x x a x
+'=+<()f x
当时，，，单调递增；故时，取得最小值，即，
由，得，令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，即时，取最大值1，．
【点睛】本题考查用导数求函数的单调性，求最值，证明不等式．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得最值．只是对含有参数的最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．本题考查了学生的逻辑思维能力，运算求解能力，属于难题．
请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极
点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点
且倾斜角为的直线与曲线交于两点，若中点为，求.
【答案】（1），.
（
2
）【解析】
【分析】（1）利用同角的平方关系式消去参数，可得普通方程，利用平面直角坐标和极坐标的变换公式可得极坐标方程.()0,x x ∈+∞()0g x >()()1e 0x x f x x a x
+'=+>()f x 0x x =()f x ()()00000e ln x m f x x a x x ==++00e 0x x a +=()
()0000e n ln e l x x m x a x a a a =+=-+-0x a =->()ln h x x x x =-()()11ln ln h x x x '=-+=-()0,1x ∈()ln 0h x x '=->()ln h x x x x =-()1,x ∈+∞()ln 0h x x '=-<()ln h x x x x =-1x =1a =-()ln h x x x x =-1m £xOy C )
1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩αO x C xOy ()3,0P -π6
l C ,A B AB M ||PM PA PB +220x y +-=ρθ=12
α
（2）把直线的参数方程代入曲线的一般方程，消元后利用参数的几何意义及弦长公式即可得到答案.
【小问1详解】
由，
得到，
即，
所以曲线的普通方程为.
又因为，
则，
整理得，
即曲线的极坐标方程为.
【小问2详解】
由题意可得直线的参数方程为（为参数），
代入，整理得，，
设所对应的参数分别为，且，
所以.
因为中点为
，则，
，所以.23. 已知函数（1）求不等式的解集；
（2）已知
的最小值为，且正实数满足，证明：.
)1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩2222())3x y αα+=+
=22(
3x y +
=C 220x y +-=222,sin x y y ρρθ=+=2sin 0ρθ-=ρθ=C ρθ=l 312x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
t 220x y +-=290t -+=0∆>,,A B M ,,A B M t t t ,0A B t t >Δ4836120,9A B A B t t t t =-=>+==AB M A B A B PA PB t t t t +=+=+=2
A B t t PM +==12PM PA PB ==+()()7,22
f x x
g x x =+=+()()f x g x ≤()()()
h x f x g x =+m ,a b a b c m ++=9≤
【答案】（1）或. （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式左右两边同时平方,即可求解;
（2）根据已知条件,先求出,再结合柯西不等式,即可求解.
【小问1详解】
，，则，即，解得或，
故所求解集为或.【小问2详解】
当时，由，
当时，由， 当时，由.
则，
当时，；当时，；当时，.
所以当时，，.
因为，所以.
由柯西不等式可得.所以，
，当且仅当时等号成立.{
5x
x ≥
∣3}x ≤-m ()|7|,()|22|f x x g x x =+=+()()f x g x ≤722x x +≤+22150x x --≥5x ≥3x ≤-{5x
x ≥∣3}x ≤-7<-x ()()()72239h x x x x =-+-+=--71x -≤<-()()7227225h x x x x x x =+++=+-+=-+1x ≥-()72239h x x x x =+++=+()39,75,7139,1x x h x x x x x --<-⎧⎪=--≤<-⎨⎪+≥-⎩
7<-x ()3912h x x =-->71x -≤<-()(]56,12h x x =-∈1x ≥-()396h x x =+≥=1x -()min 6m h x ==6a b c ++=6a b c ++=41414127a b c +++++=()()()()2222414141111a b c ⎡⎤+++++⋅++≥⎣⎦2273+≤⨯9≤a b c ==。