25、2020年新教材素养突破人教A版数学必修第一册讲义：第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 Word版含答案

∴f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)．
答案：B
3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
答案：D
4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
题型二 确定函数零点的个数[教材P143例1]
例2求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．
【解析】设函数f(x)＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f(x)的对应值表(表)，并画出图象(图)．
表
x
y
1
－4
2
－1.306 9
3
1.098 6
4
3.386 3
5
5.609 4
6
7.791 8
7
9.945 9
8
12.079 4
914.197 2图 Nhomakorabea由表和图可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)f(3)＜0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内至少有一个零点．
(2)①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.
【答案】(1)A(2)见解析
1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．
定理要求具备两条：
①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
[
1．教材P142思考
能．先构造函数f(x)＝lnx＋2x－6，再判断函数f(x)是增函数，又f(2)＜0，f(3)＞0，∴方程lnx＋2x－6＝0的根在2,3之间．
[
1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()
最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
4．5.1函数的零点与方程的解
知识点一 函数的零点
1．零点的定义
对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
知识点二 函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
容易证明，函数f(x)＝lnx＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．
可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．
教材反思
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
A. ； B. ；
C．－ ；－ D. ；－
解析：令3x－2＝0，则x＝ ，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为 ，函数零点为 .
答案：B
2．函数f(x)＝ln (x＋1)－ 的零点所在的一个区间是()
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0，
解析：由 得
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－ ，－ .
答案：－ ，－
题型一 函数零点的概念及求法
例1(1)下列图象表示的函数中没有零点的是()
(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
①f(x)＝－x2－4x－4.
②f(x)＝4x＋5.
③f(x)＝log3(x＋1)．
【解析】(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．
跟踪训练2(1)函数f(x)＝x－ －2的零点个数为()
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．
解析：(1)令f(x)＝0得x－ －2＝0，设t＝ (t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．
故 ＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．
思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．
题型三 判断函数的零点所在的大致区间
2．求函数对应方程的根即为函数的零点．
方法归纳
函数零点的求法
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
(2)令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
答案：(1)B(2)一个
思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；