湖南省长沙市2024届雅礼中学高三下学期4月综合测试数学试题+答案

雅礼中学2024届高三综合自主测试（4月）
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1、D【解析】因为0.5{|log (1)0}{|12}A x x x x =->=<<，{}
24={|2}x B x x x =<<，所以A B ⊆且A B ≠，所以A 错，B 错，
{|12}A B x x A =<<= ，C 错，
{|2}A B x x B =<= ，D 对，
故选：D.
2、C【解析】由(1i)12i 0z +-+=，得12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -----====--++-，则复平面内z 对应的点位于第三象限.
故选：C
3、B
【解析】因为椭圆x 25＋y 2m
＝1的长轴长为6，所以椭圆的焦点在y 轴上，且m ＝32＝9，所以该椭圆的离心率为9－53＝23
.故选B.4、C
【解析】64个格子放满麦粒共需64
64112212-=--，1kg 麦子大约20000粒，1吨麦子大约7210⨯粒，
64646363
637777721222,lg lg2lg1063lg27630.3711.92102101010
-≈==-=-=⨯-=⨯⨯，63
127210,10
≈故选：C.
5、D
【解析】令()12x
f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其在R 上单调递减，又()()11010,11022
f f =>=-=-<，由零点存在性定理得()0,1a ∈，
则log a y x =在()0,∞+上单调递减，
画出112x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的函数图象，
可以得到()0,1b ∈，
又2x y a =在R 上单调递减，画出2x y a =与312
log y x =的函数图象，
可以看出()0,1c ∈，因为0
11122b ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故log 1log a a a b <=，故b a >，因为(),0,1a c ∈，故1c a a a >=，由12log c a c =得，1122c a a
c a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上，c<a<b ．
故选：D．
6、D
【解析】2222＝(485－1)11＝C 011×48511＋C 111×48510×(－1)＋C 211×4859×(－1)2＋…＋C 1011×
4851×(－1)10＋C 1111×(－1)11，
由此可知2222除以5的余数即为C 1111×(－1)11＝－1除以5的余数，
故所求余数为4．故选D．
7、B
【解析】由465160a a a -=可得255160a a -=，
故516a =，设{}n a 的公比为q ，则352
8a q a ==，即2q =，故2122n n n a a q --==，则121441416422143
n n
n n S n n --=++++-⨯=-=-- 123n -．由于2n ≥时，10n n b b ++>，
故2n S 随着n 的增大而增大，而510412533136033S =-⨯-=<，6124126135336033
S =-⨯-=>，故满足2360n S >的最小正整数n 的值为6．
故选：B.
8、B
【解析】()f x 的定义域为R ，且()()31313131
x x x x f x f x -----==-=-++，故()f x 为R 上的奇函数.
而()2131
x f x =-+，因31x t =+在R 上为增函数，21y t
=-
在()1,+∞为增函数，故()f x 为R 上的增函数.又()()1230f a f a a ++=即为()()123f a f a a =--，故1230a a a ++=，
因为()
*3N n n a a n +=∈，故{}n a 为周期数列且周期为3.因为20232022136741=+=⨯+，
所以()2023
12320231167401i i a a a a a a ==+++=+=∑.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9、BC
【解析】由函数解析式可知，a 是不变号零点，b 是变号零点，
对于A，变号零点是0，则b ＝0，则f (x )＝0，不成立，故A 不符合题意；
对于B，变号零点小于0，不变号零点为0，则b <0，a ＝0，
此时f (x )＝b (x －b )x 2，当x <b ，f (x )>0，当b <x <0，f (x )<0，
当x >0时，f (x )<0，满足图象，故B 符合题意；
对于C，b >a >0，f (x )＝b (x －b )(x －a )2，当x <a 时，f (x )<0，
当a <x <b 时，f (x )<0，当x >b 时，f (x )>0，满足图象，故C 符合题意；
对于D，a <b <0，f (x )＝b (x －b )(x －a )2，当x <a 时，f (x )>0，与图象不符，故D 不符合
题意．故选BC.
10、BD
【解析】g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e
x ，当x >－1时，f ′(x )－f (x )>0，故g (x )在(－1，＋∞)上为增函数；
当x <－1时，f ′(x )－f (x )<0，故g (x )在(－∞，－1)上为减函数，
故－1是函数g (x )的极小值点，A 错误，B 正确．
若g (－1)＝0，则y ＝g (x )有1个零点，若g (－1)>0，则y ＝g (x )没有零点，C 错误．
g (x )在(－1，＋∞)上为增函数，则g (2)<g (e)，即f （2）e 2<f （e）e e
，化简得e 2f (e)>e e f (2)，D 正确．故选BD．
11、AD
【解析】对于A，球的体积为V ＝43πr 3＝32π3
，圆柱的体积为V ′＝πr 2×(2r )＝16π，则球与圆柱的体积之比为2∶3，A 正确；对于B，设d 为点E 到平面BCD 的距离，0<d ≤r ，
而平面BCD 经过线段EF 的中点O 1，
四面体CDEF 的体积V C －DEF ＝2V E －O 1DC ＝23S △O 1DC ·d ＝23×12×4×4×d ＝16d 3≤323
，B 错误；对于C，过O 作OH ⊥DO 1于H ，如图，
而O 1O 2⊥DO 2，则sin∠DO 1O 2＝OH OO 1＝DO 2DO 1
，又DO 1＝r 2＋（2r ）2＝25，于是OH ＝25
，设截面圆的半径为r 1，球心O 到平面DEF 的距离为d 1，则d 1≤25，又r 1＝r 2－d 21＝4－d 21≥4－45＝45
，则平面DEF 截球的截面圆的面积S ＝πr 21≥16π5
，C 错误；对于D，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接QE ，QF ，当Q 与E ，F 都不重合时，设∠QFE ＝θ，则QF ＝4cos θ，QE ＝4sin θ，当Q 与E ，F 之一重合时，上式也成立，
因此QF ＝4cos θ，QE ＝4sin θ，θ则PE ＋PF ＝PQ 2＋QE 2＋PQ 2＋QF 2令t ＝1＋4sin 2θ＋1＋4cos 2θ而0≤2θ<π，即0≤sin2θ≤1，
因此6＋25≤t 2≤12，解得1＋5≤t ≤23，所以PE ＋PF 的取值范围为[2＋25，43]，D 正确．故选AD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12、1
【解析】由tan α＝cos α，得sin αcos α
＝cos α，即sin α＝cos 2α，则sin α＝(1－sin α)(1＋sin α)，
即11－sin α＝1＋sin αsin α
，所以11－sin α－1sin α＝1＋sin αsin α－1sin α
＝1.
13、
371801537
【解析】由题意设事件A 表示“自驾”，事件B 表示“坐公交车”，事件C 表示“骑共享单车”，事件D 表示“迟到”，
则P (A )＝P (B )＝P (C )＝13，P (D |A )＝14，P (D |B )＝15，P (D |C )＝1
6
.
P (D )＝P (A )P (D |A )＋P (B )P (D |B )＋P (C )P (D |C )＝13×＋15＋＝37
180
.
解法一：小明迟到了，由贝叶斯公式得
他自驾去上班的概率是P (A |D )＝P （AD ）P （D ）＝P （A ）P （D |A ）P （D ）＝13×
1437
180＝15
37.
解法二：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率P ＝1
4
14＋15＋16
＝
1537.
－74，－
【解析】
由题意可知，函数f (x )的图象如图所示，根据函数图象，
函数f (x )在(－∞，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)，(1，＋∞)上单调递减，故当x ＝±1时取得最大值2，当x ＝0时取得最小值0，
直线y ＝3
2
是该图象的渐近线．令f (x )＝t ，
则关于x 的方程[f (x )]2＋2af (x )＋b ＝0(a ，b ∈R )可写成t 2＋2at ＋b ＝0，此时关于t 的方程应该有两个不相等的实数根，设t 1，t 2为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当t 10，32，
t 2
a ＝t 1＋t
2
a －7
4
，－
②当t 1＝2，t
2
a ＝t 1＋
t 2
a
综上可知，实数a
－7
4，－
四、解答题（本题共6小题，共70分）
15、（1）由题设21(1)(21)2()n n n n S S n S ++++-=，则22
1(1)2n n n S n S +-+=，
又12
113S a ⨯==，故2
{}n n S 是首项为3，公差为2的等差数列，所以232(1)21n n S n n =+-=+，则2
21
n n S n +=
.
（2）由（1）得1111
()(21)(21)22121
n b n n n n ==--+-+，
所以11111111(1)(1)2335212122121
n n T n n n n =
-+-++-=-=-+++ .16、（1） PBC 为等边三角形，D 为PC 中点，
∴BD PC ⊥，
又 BD PA ⊥，PA PC P = ，PA ，PC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，∴AC ⊂平面PAC ，∴AC BD ⊥，
取BC 中点G ，连接PG ， PBC 为等边三角形，∴PG BC ⊥，
平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC
平面ABC BC =，PG ⊂平面PBC .
AC ⊂平面ABC ，∴PG AC ⊥，
BD 与PG 相交，BD ，PG ⊂平面PBC ，
∴AC ⊥平面PBC
；
（2）以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴，过C 且与GP 平行的直线为z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
()0,0,0C ，()0,2,0B
，(P
，10,2D ⎛ ⎝⎭
，30,,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，设(),0,0F a ()01a ≤≤，则
()0,1,0DE =
，1,,2DF a ⎛=- ⎝⎭
，设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =r
，则00n DE n DF ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
，所以0102y ax y =⎧⎪⎨--=⎪⎩
，
取x 0
2y z a =⎧⎨=⎩，
∴)
2n a =
为平面DEF 的一个法向量，
取平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =
，
则1cos ,2
m n m n m n ⋅===
，
解得12a =
，此时12
CF =，∴在线段AC 上存在点F 使得平面DEF 与平面ABC 的夹角为π3，且1
2
CF =
.
17、（1）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(]7,10厘米,
所以()P A 估计为
201
402
=；（2）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”，设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为(]7,10厘米”，根据题中数据，()P B 估计为
162
405=，()P C 估计为
1234010
=，根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.3，且
()()()()()1232101112510100
P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫====-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；
()()()()()()()()()()()11125
P X P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ==++=++=
；()()()()()()()()()()()292100
P X P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ==++=++=
；()()()()()3350
P X P ABC P A P B P C ====
，则X 的分布列为：
X
01
23P
21100
1125
29100
350
所以21112936012310025100505
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=.（3）132D D D ξξξ<<理由如下：()()112911
1,04040
P P ξξ==
==，所以2
2
11291129
2929
2911319
10,104040404040
40401600
E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==
-⨯+-⨯
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()2220111,04022
P P ξξ==
===，所以22
22
111
1111140010,10222222241600E D ξξ⎛
⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+-⨯==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；()()332553
1,04088
P P ξξ==
===，所以2
2
3353555
5315375
10,108588888641600E D ξξ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯==-⨯+
-⨯=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；所以132D D D ξξξ<<.
18、（1）因为虚轴长22b =，所以1b =.
又因为点()4,1A --在双曲线上，所以22
1611a b -=，
解得28a =.
故双曲线C 的方程为2218
x y -=.（2）证明：如下图所示：
设()000,,4S x y x ≠-，则()
00,T x y --
所以20002
0001114416AS AT
y y y k k x x x +-+-⋅=⋅=
+-+-因为()00,S x y 在双曲线C 上，所以2
20018
x y -=，可得2200128x y -=-；于是2
02
02200211816168
AS AT
x y k k x x --⋅===--，所以直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值，定值是18
.
（3）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为1y kx =+
，如下图所示：
联立22
118
y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 整理可得()
221816160k x kx ---=①则()()222Δ(16)41816642560,k k k =---⨯-=->所以()()()1212122
211218y y kx kx k x x k +=+++=++=
-②()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=③
直线AP 的方程为()111414y y x x +=+-+，令0y =，得点M 的横坐标为11441M x x y +=-+；
同理可得点N 的横坐标为22441
N x x y +=-+；
所以121244811M N x x x x y y +++=+-++()()()
122112121248
8
11x y x y x x y y y y ++++++=-++()()()1221121212121148
8
1
x kx x kx x x y y y y y y ++++++++=
-+++()()12121212122248
8.
1
kx x x x y y y y y y +++++=
-+++将①②③式代入上式，并化简得到
()()
2
2
88188484,2218M N k x x k +-+=
-=-=-+-所以MN 的中点的横坐标为22
M N
x x x +==-，故MN 的中点是定点()2,0-.
19、（1）若12a =-，可得()4
12ln f x x x x =-，则()3
412ln 12f x x x =-'-，
即()()3
412ln 12g x f x x x ==--'，
可得()22
12(1)(1)
1212x x x g x x x x
-++=-=⨯
'，
当x ⎡∈⎣时，()0g x '>，所以()y g x =
在⎡⎣上单调递增，
又由4e 160g -=<，所以()0g x <，即()0f x '<，
所以函数()y f x =
在⎡⎣上单调递减，
所以()()max 11f x f ==，即函数()f x 的最大值为1.（2）解：由()()()(
)
1122,,,P x g x Q x g x ，可得1212
()()
g x g x k x x -=
-，
因为()()
122
g x g x k +''<
，
所以对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，
都有()()121212()()2
g x g x g x g x x x +-<-''，
因为()4
ln f x x ax x =+，可得()()3
4ln g x f x x a x a =+'=+，
则()2
12a
g x x x
='+
，对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，令
1
2
(1)x t t x =>，则()()()()
()()1212122x x g x g x g x g x ⎡⎤-+-⋅-'⎣'⎦
()()
223312121122
12121224ln 4ln a a x x x x x a x x a x x x ⎛⎫=-+++-+-- ⎪⎝
⎭
3322
121121212212
441212(
)2ln x x x
x x x x x x a a x x x =--++--33
2214(331)(2ln )0x t t t a t t t
=-+-+-->对于2[1,),(1,)x t ∀∈+∞∀∈+∞恒成立，
由3
3
2
3
3
2
224(331)(1)(1)
x t t t x t t -+-=-≥-则31
4(1)(2ln )0t a t t t
-+-->对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()3
14(1)(2ln )t t a t t t
ϕ=-+--，
可得()22
2
222
(1)1212(1)(1)t t a t t a t t t
ϕ-+=-+⋅'⋅=-，①若12a ≥-，则()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，符合题意；
②若12a <-，则
(
)212(1)t t ϕ'=-，
当t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在(1,)+∞单调递减；
当)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，
所以，当t ∈时，()()10t ϕϕ<=，不符合题意（舍去），综上可得，12a ≥-，即实数a 的取值范围为[12,)-+∞.。