高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一上学期期末考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合 ，则 A ． B ． C ． D ． 2．下列结论，正确的个数为 （1）若 ，
都是单位向量，则
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （3）方向为南偏西
的向量与北偏东
的向量是共线向量 （4）直角坐标平面上的 轴、 轴都是向量 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 3．函数
的定义域为
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，点 是平行四边形 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知
，则角 的终边所在的象限为
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
6．等腰三角形一个底角的正切值为
，则这个三角形顶角的正弦值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若方程 的实根在区间 上，则 A ． B ． C ． 或 D ． 8．已知函数在
单调递减，则实数 的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若当 时,函数 始终满足 ,则函数
的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数
，点
和
是其相邻的两个对称中心，
且在区间
内单调递减，则
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知 是单位圆上（圆心在坐标原点 ）任意一点，将射线 绕点 逆时针旋转
到 交单位圆于点 ，则 的最大值为
A ． 1
B ． 2
C ．
D ．
12．记： .已知函数 满足 ，若 函数
与 图象的交点为 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知幂函数
的图象过点
，则 ____________．
14．已知
，
，则 ____________.
此卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
15．设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则时，___________________.
16．已知函数，若存在，，使成立，则实数的取值范围是______________.
三、解答题
17．设，.
求的值；
（2）求的值.
18．已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）设函数，若的图象关于轴对称，求实数的值.
19．某城市出租车的收费标准是：起步价5元（乘车不超过3千米）；行驶3千米后，每千米车费1.2元；行驶10千米后，每千米车费1.8元．
（1）写出车费与路程的关系式；
（2）一乘客计划行程30千米，为了节省支出，他设计了三种乘车方案：
①不换车：乘一辆出租车行30千米；
②分两段乘车：先乘一辆车行15千米，换乘另一辆车再行15千米；
③分三段乘车：每乘10千米换一次车．
问哪一种方案最省钱？
20．已知.
求函数的最小正周期，对称轴方程及单调递减区间；
若函数图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，当时，求函数的最小值，并求取得最小值时的的值.
21．已知函数对一切实数均有成立，且.
求函数的解析式；
设,若不等式（为常数）在时恒成立，求实数的取值范围．
22．如图，在半径为,圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形，并且与的平分线平行，设.
（1）试将长方形的面积表示为的函数；
（2）若将长方形弯曲，使和重合焊接制成圆柱的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面）；为了节省材料，想从△中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由.
（参考公式：圆柱体积公式.其中是圆柱底面面积，是圆柱的高；等边三角形内切圆半径.其中是边长）
23．已知函数，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
求的值；
若函数在区间上单调递增，求的取值范围
.
高一上学期期末考试数学试题
数学答案
参考答案
1．C
【解析】
，，
故选
2．B
【解析】
若，都是单位向量，则，故不正确；
物理学中的作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量，因而它们是一对共线向量，故正确；
方向为南偏西的向量与北偏东的向量在一条直线上，是共线向量，故正确；
直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故错误；
故选
3．B
【解析】
由题意得到：，解得
故
故选
4．C
【解析】
中，
中，
中，
故选
5．D 【解析】
由，可知：则，的终边所在的象限为第四象限
故选
6．D
【解析】
令底角为，则
顶角为，则
故选
7．C
【解析】
由题意知，，则原方程为
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，
如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间，上，一个在区间，上，所以或
故选
8．D
【解析】
令，
，
函数是关于的减函数，
结合题意，得是区间，上的增函数
又在，上总成立，
，解得
故实数的取值范围是，
故选
9．B
【解析】
当时,函数始终满足，
必有
先画出函数的图象，图中黑色的图象，
而函数，其图象为图中红色的图象，
故选
10．A
【解析】
由题意点和是其相邻的两个对称中心得,又因为在区间内单调递减，所以，则，当时，=0，只有当时符合题意，故选
点睛：本题考查正切函数的对称性及单调性，首先要明确正切函数的对称中心是，又因为存在单调递减区间，故可以计算出的值，结合函数自身特点代入点坐标，即可算出的值。

11．A
【解析】
设，，，
则
的最大值为
故选
12．C
【解析】
即，函数关于，中心对称
则与的交点应为偶数个，且关于，对称
则
故选
点睛：本题主要考查了函数图象的对称性及函数的奇偶性，考查函数的图象平移。

学生的易错点是不明确本题要考查的知识点是什么，不知道怎么正确利用两个函数的对称性（中心对称），确定两个函数的交点是关于，对称，最后正确求和得出结论。

13．0
【解析】
幂函数的图象过点，
，，解得，
14．
【解析】
，
15．
【解析】
当，时，
则当，时，，
是定义在上的偶函数，
，时，
点睛：本题是道函数性质综合题目，结合函数的周期性、奇偶性求解函数的解析式，当遇到的形式时，能够得到函数的周期为，在本题的求解过程中先求出当，
时的解析式，再依据偶函数图象关于轴对称即可求得结果。

16．
【解析】
当时，
当时，若，则恒成立，满足条件，
若，则，
若存在，，，使成立，则
即，
若，则，满足条件，
综上所述，，
点睛：本题考查了分段函数的单调性，依据题意进行分类讨论参量的取值范围，若，若，若三种情况，结合题意当满足时成立即可求出参数范围。

17．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：由题意，易求，，，利用两角差的正弦即可
求得的值；
，，又，从而求得的值。

解析：（1）因为,所以,又，，所以
，
所以.
（2）因为，所以，又所以，
因为，所以.
18．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：由题意得，然后解不等式即可(2) 图象关于轴对称即为偶函数，即：成立，从而求得结果解析：（1）因为，所以，即：，所以，由题意，，解得，所以解集为.
（2），由题意，是偶函数，所以，有，即：成立，所以
，即：，所以，所以，，所以.
19．（1）()
5,03
{1.2 1.4,310
1.8 4.6,10
x
f x x x
x x
<≤
=+<≤
->
；（2）方案③最省钱.
【解析】试题分析：（1）车费f（x）与路程x的关系式为f（x）=
()
5,03
{1.2 1.4,310
1.8 4.6,10
x
f x x x
x x
<≤
=+<≤
->
．
（2）30公里不换车的车费为1.8×30﹣4.6=49.4（元）；分别计算方案①：行驶两个15公里的车费为
（1.8×15﹣4.6）×2；方案②：行三个10公里的车费为（1.2×10+1.4）×3，半径即可得出．
试题解析：
（1）解：设出租车行驶x千米的车费为元，则
()()
()
5,03
{53 1.2,310
57 1.210 1.810
x
f x x x
x x
<≤
=+-⨯<≤
+⨯+-⨯>
，
即()
5,03
{1.2 1.4,310
1.8 4.6,10
x
f x x x
x x
<≤
=+<≤
->
（2）解：方案①30千米不换车的车费为：
()30 1.830 4.649.4
f=⨯-=（元）；
方案②：行驶两个15千米的车费为：
()()
2152 1.815 4.644.8
f=⨯⨯-=（元）；
方案③：行三个10千米的车费为：
()()
3103 1.210+1.440.2
f=⨯⨯=（元）．又40.244.849.4
<<
所以方案③最省钱.
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
20．(1)；；.（2），此时.
【解析】
试题分析：利用周期公式求出函数的最小正周期；利用正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，得出对称轴方程，再根据正弦函数的单调性可求得函数的单调递减区间；按照题意得平移先求出函数解析式，然后由单调区间算最小值解析：
.
(1) 最小正周期是；，对称轴方程为；因为
,所以,即：减区间为
.
（2）由题意，，因为，所以，所以
，所以，此时，所以.
21．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：令，又得到，令，求得即可得到函数
的解析式；
先求出，则，换元，令，然后分离参数，求得最值
解析：（1）令,所以,又,所以
.
令,所以,所以,即.
（2），所以
，所以，令，，所以，即时，恒成立，即
恒成立，因为，所以，所以，即.
点睛：本题是一道有关抽象函数及其应用，函数恒成立问题，函数解析式的求解及常用方法，属于中档题。

考查了学生处理此类抽象函数问题的方法，理解函数恒成立的条件，以及用特值法求函数关系式的能力，
22．（1）；（2），直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.
【解析】
试题分析：由题意得出，，则根据
，即可得到答案；
由（1）取最大值，由圆柱底面面积,计算得
，然后得,边长，内切圆半径，由圆柱底面半径,，做出判定
解析：（1）由题意，又
，所以
所以.
（2）由（1）取最大值时，，所以，
因为，设圆柱底面半径为,所以,,
所以圆柱底面面积,又,
所以
,因为,所以.
在等边△中,边长，内切圆半径,
由圆柱底面半径,因为,所以直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面可行.
23．（1）故；（2）.
【解析】
试题分析：化简），由题意，，得出，进而确定出，确定函数的解析式，最后将代入即可求得的值
先将代入到函数中，然后使得在区间，上单调递增必须要，进而可以确定的取值范围。

解析：（1），由题意，，
即，所以，.从而，
故.
（2）因为则当
时，.由题意，所以
，同时成立，解得的范围是.
点睛：本题考查了运用三角恒等变换或者是降幂公式等进行化简，先求出函数解析式，然后再求得函数值，而区间内的单调性，只有代入即可，从而算出参量的取值范围。