奥数拓展第一讲：长方体和正方体-数学六年级上册人教版

奥数拓展第一讲：长方体和正方体-数学六班级上册人教版
一、选择题
1．一个立方体的六个面上分别标上了数1点、2点、3点、4点、5点、6点，下图是从三个不同角度观看到的状况．“3点”这一面相对的面是（）
A．2点B．4点C．6点或4点
2．一个长方体的长、宽、高分别是4m、3m、2m，假如它们各增加1m，体积比原来增加（）A．12立方米B．24立方米C．36立方米
3．一个长方体的底面是5平方米的正方形，它的侧面开放图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（）平方米．
A．100B．400C．80D．60
4．一个长方体的高削减2厘米后成为一个正方体，那么表面积就削减48平方厘米，这个正方体的体积是（）立方厘米。

A．216B．96C．288D．72
5．下面各图是由棱长为1厘米的正方体拼成的，依据前三个图形表面积的排列规律，第五个图形的表面积是（）平方厘米．
A．20cm2B．22cm2C．24cm2
6．把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色。

那么红色部分的面积为（）
A．21B．24C．33D．37
二、填空题
7．有两个完全相同的长方体，长是10厘米，宽是7厘米，高是4厘米。

若将它们拼成一个表面积最大的长方体，表面积是( )平方厘米。

8．至少要( )个小正方体才能拼成一个大正方体，假如一个小正方体的棱长是4厘米，那么大正方体的表面积是( )平方厘米。

9．有一个长方体，从上面截下一个高是2cm的长方体后正好得到一个正方体。

正方体的表面积比原来长方体的表面积削减了48平方厘米。

求原来长方体的体积是( )。

10．把一个长16厘米，宽6厘米，高8厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大是( )平方厘米。

11．将1个棱长是5厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必需是整厘米数。

假如这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可以分割成( )个小正方体。

12．一个3阶魔方的棱长是9cm，将魔方截去一层后，剩余几何体的表面积是( )，截去的体积是( )。

13．一个长方体火柴盒，长4厘米，宽2厘米，高1厘米，它的内盒的表面积是( )，外盒表面积是( )平方厘米。

（不算粘贴处）
14．一个长方体，若将它的长增加4cm，则体积增加80c3m；若将它的宽增加4cm，则体积增加128c3m；若将它的高增加3cm，则体积增加120c3
m．原长方体的体积是( )c3m，表面积是( )c2m．
三、解答题
15．把四个大小、外形相同的盒子包装在一起，假如每个盒子的长、宽、高分别是8cm、6cm、5cm，那么最少需要多大的包装纸？
16．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高5dm，水深4.5dm，假如投入一块棱长为4dm的正方体铁块（完全沉没），这个正方体铁块的体积是多少？缸里会溢出多少L水？
17．一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。

这个铁块的体积是多少？
18．一个长方体外形的玻璃杯内盛有水，水面高1.6cm，玻璃杯内侧的底面积是772
cm。

在这个杯中放进棱长是7cm的正方体铁块后，水面没有沉没铁块，这时水面高多少厘米？
19．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。

洞口是边长为1cm的正方形（如图）。

挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？
20．小明的爸爸被称为“制作小能手”。

爱心福利院要改善孩子们的居住环境，想请小明的爸爸制作一个长0.6米，宽0.5米，高0.4米的无盖鱼缸。

现在他家里有好多块下面四种型号的长方形与正方形玻璃。

请你依据上面的信息解决下面的问题：
（1）请你挂念小明的爸爸想一想，需要选哪种型号的玻璃，各选多少块？
（2）请你算一算，小明的爸爸做这个鱼缸，一共需要多少平方米的玻璃？
（3）要使这个鱼缸里的水深0.35米，需要倒入多少升水？
参考答案：
1．C
【详解】由第一个图知：5点和1点、3点相邻，由其次个图知：5点和4点、6点相邻，可以得出：5点和2点相对；由其次个图可知：6点和4点、5点相邻，由第三个图可知：6点和2点、4点相邻，可以得出：6点只能和1点或3点相对；由其次个图可知：4点和5点、6点相邻，由第三个图可知：4点和2点、6点相邻，可以得出：4点只能和1点或3点相对；进而得出结论．
2．C
【详解】解：长方体的体积=长×宽×高，现在长方体的体积=4×3×2=24立方米，长、宽、高各增加1米，则长、宽、高分别为5米、4米、3米，所以体积为5×4×3=60立方米，增加了60-24=36立方米，答案为C．3．C
【分析】由“一个长方体的底是面积是5平方米的正方形，，它的侧面开放图正好是一个正方形”可知：底面正方形的周长正好是侧面开放图正方形的边长，也就是说侧面开放图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，那么侧面正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，据此即可解答．
【详解】由分析知：侧面开放正方形的面积就是底面正方形面积的16倍，即：
5×16=80（平方米）
答：这个长方体的侧面积是80平方米；
故选C．
4．A
【分析】依据题干分析可得，表面积比原来削减了48平方厘米是指削减了高为2厘米的长方体的4个侧面的面积．首先求出削减部分的1个侧面的面积，48÷4＝12平方厘米；由已知假如高削减2厘米，就成为一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；用12÷2＝6厘米，即可求出原来长方体的底面边长．再依据正方体的体积公式：v＝a3，把数据代入公式解答。

【详解】原来长方体的底面边长是：
48÷4÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
正方体的体积是：
6×6×6＝216（立方厘米）
故答案为：A
【点睛】此题考查了长方体和正方体的公式的运用，关键是由削减部分的面积求出长和宽，即正方体的棱长。

5．B
【详解】1个小正方体，表面积是：6平方厘米可以写成2+1×4；
2个小正方体，表面积是10平方厘米，可以写成2+2×4；
3个小正方体，表面积是14平方厘米，可以写成2+3×4；…；
所以a个小正方体，表面积就是2+4a平方厘米；
当n=5时，表面积是：2+4×5=22（平方厘米）．
6．C
【分析】此题可依据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加。

【详解】依据题意得：
第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1＝6－1＝5
其次层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13＝24－13＝11
第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37＝＝54－37＝17
所以红色部分的面积为：5＋11＋17＝33
故答案为：C。

【点睛】此题考查的学问点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积。

7．496
【分析】长方体有上、下、前、后、左、右六个面，其中相对的面的面积相等。

若要使拼接后表面积最大，就要在拼接时使接触的面的面积最小，这样可以使削减的面积最小，从而保证表面积最大。

【详解】上面的面积：10×7＝70（平方厘米）
前面的面积：10×4＝40（平方厘米）
侧面的面积：4×7＝28（平方厘米）
由于28＜40＜70，所以拼接时相互重合的面是侧面。

10＋10＝20（厘米）
（20×7＋7×4＋4×20）×2
＝248×2
＝496（平方厘米）
【点睛】立体图形拼接后，会削减接触面的面积，所以我们就从这里入手思考。

本题考验了同学的空间想象力量。

若有困难，可以画示意图来挂念分析。

8．8 384
【分析】第一问，肯定要认真思考后作答，其次问，有两种方法一种是把大正方体每一个面上的4个小正方形乘6，可得出大正方体表面共有24个小正方形，由于小正方体棱长为4厘米，所以一个面的面积为16平方厘米，用24×16可得大正方体的表面积；还有一种方法，套用正方体表面积公式计算。

【详解】假如你认真观看由小正方体拼成的大正方体，会发觉，上面一层有4个小正方体，下面一层也有4个小正方体，故一共有8个；
6×4×（4×4）
＝24×16
＝384（平方厘米）
【点睛】第一问是至关重要的，不要忽视。

认为4个小正方体能够拼成一个大正方体，那是受了正方形的影响。

正方体12条棱长都是一样的，长4、宽4，则高也是4才对。

9．288立方厘米
【分析】题目条件相当于供应应我们2个信息：①截下的长方体高为2厘米，②所截的长方体的侧面积为48平方厘米，因此可以这样理解：一个高为2厘米的长方体的侧面积为48平方厘米，求它的长与宽，由于侧面积不包括上面的面和底下的面，只是前、后、左、右4个面的面积。

故我们可列式为48÷4÷2＝6（厘米），先求每个面的面积再求其每个面的长，由于后来长方体变成了正方体，正方体中棱特长处相等，即每个面的宽＝长＝6（厘米）。

又由于截下小长方体后，只有高削减了2厘米，长与宽均为转变，故原长方体的体积可列式为6×6×（6＋2），计算即可。

【详解】48÷4÷2
＝12÷2
＝6（厘米）
6×6×（6＋2）
＝36×8
＝288（立方厘米）
【点睛】本题较简单，简单在先截下一个小长方体，剩下一个正方体。

原长方体的长与宽与这个正方体及
截下的小长方体都存在联系，需要较强的空间思维，来解答。

10．800
【分析】这道题有关立体图形的切拼，我们可以画一个示意图来帮助分析。

如图，假如平行于底面去切，则与原长方体相比，增加了两个长×宽的面积；假如平行于侧面去切，则增加了两个宽×高的面积；假如平行于前面去切，则增加了两个长×高的面积。

相比较之下，第三种方法增加的面积最多。

故这两个小长方体的表面积的和最大是原长方体的表面积加上增加最多的面积。

【详解】（16×8＋8×6＋6×16）×2
＝（128＋48＋96）×2
＝544（平方厘米）
544＋16×8×2
＝544＋128×2
＝800（平方厘米）
【点睛】肯定要看准题意，不要误以为是求表面积和最小，而平行于侧面去切。

11．50
【分析】要想分割的小正方体个数最少，就要使分割的小正方体的棱长尽可能大；
方案一：假如小正方体的棱长是4厘米，只能分割出1个，剩下部分的体积是33
-=立方厘米，只能分
5461
割成棱长为1厘米的小正方体，共3
÷=个，按这种方法分割分成62个小正方体；
61161
方案二：若在已知正方体的一角分割一个棱长是3厘米的小正方体，剩下7个角可以分割出7个棱长为2厘米的小正方体，这时剩下部分的体积是333
--⨯=（立方厘米）
537242
这部分可以分割棱长是1厘米的小正方体42个，所以总共分割出小正方体个数是：
174250
++=（个）
比较上面两种方案，最少可以分割成50个小正方体。

【详解】1个棱长是3厘米的小正方体，7个棱长为2厘米的小正方体，42个棱长为1厘米的小正方体；174250
++=（个）
故答案为：50
【点睛】此题应结合题意进行分析，分析过程中最好通过实践操作得出问题答案，并进行验证。

12．378cm2243cm3
【分析】3阶魔方就是每条棱长上为3个小正方体的一个大立方体，从上往下数是3层，从左往右数是3层，从前往后数是3层。

截去一层后，还剩2层，是一个长方体，长、宽、高分别为6厘米、9厘米、9厘米；截去的也是一个长方体，长、宽、高分别为9厘米、9厘米、3厘米。

【详解】
9÷3＝3厘米3×2＝6厘米
（6×9＋9×9＋6×9）×2
＝（54＋81＋54）×2
＝189×2
＝378cm2
9×9×3
＝81×3
＝243cm3
【点睛】要求出剩下的长方体的表面积、截去长方体的体积，就要先确定相应的长、宽、高，结合图示解答计算比较直观、简洁。

13．20平方厘米24
【分析】由题意可知：内盒由下面，前、后、左、右共5个面组成；外盒由上、下、前、后4个面组成，据此利用长方体的表面积公式即可求解。

【详解】（1）4×2＋（4×1＋2×1）×2
＝8＋（4＋2）×2
＝8＋12
＝20（平方厘米）
（2）（4×2＋4×1）×2
＝（8＋4）×2
＝12×2
＝24（平方厘米）
【点睛】此题要留意的地方是：不要以为“内盒”是长方体里面6个面的面积，“外盒”是长方体外面6个面的
面积，那样基本没什么区分，得数是一样的。

认真联想火柴盒，能够想象得到，它的里面是一个能盛装火柴的小盒，所以肯定要有底面，而外盒只是一个“套子”，从套上去的方向观看，没有左右两个面。

分析至此，算式基本可以列出了。

14．160 184
【详解】80÷4＝20（平方厘米）
128÷4＝32（平方厘米）
120÷3＝40（平方厘米）
表面积：（20＋32＋40）×2
＝92×2
＝184（平方厘米）
体积：（abh）2＝20×32×40
（abh）2＝25600
所以：abh＝160（立方厘米）
答：原来长方体的体积是160立方厘米，表面积是184平方厘米．
故答案为160、184．
15．592cm2
【分析】依据题意，要使需要的包装纸最少，就要把四个盒子的最大面重合在一起；由于8×6＞8×5＞6×5，所以要把8×6的面、8×5的面分别重合起来，拼成一个长为8cm，宽为（6×2）cm，高为（5×2）cm的长方体，这样包装纸用的最少；依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。

【详解】如图：
6×2＝12（cm）
5×2＝10（cm）
（8×12＋8×10＋12×10）×2
＝（96＋80＋120）×2
＝296×2
＝592（cm2）
答：最少需要592 cm2的包装纸。

【点睛】本题考查立体图形的拼组，先找出盒子的哪些面的面积大，把它们重合起来，这样拼成的长方体用的包装纸最少；把握长方体的表面积公式并机敏运用。

16．3
64dm；40L
【分析】依据正方体体积＝边长×边长×边长，求出正方体的体积；溢出的水的体积等于放入的正方体木块的体积减去高为5−4.5＝0.5分米的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，计算即可。

【详解】4×4×4
＝16×4
＝64（dm3）
64－8×6×（5－4.5）
＝64－48×0.5
＝64－24
＝40（dm3）
40 dm3＝40L
答：这个正方体铁块的体积是64dm3，缸里的水会溢出40L。

【点睛】本题考查正方体体积公式、长方体体积公式的应用，关键数熟记公式。

17．400cm3
【分析】依据长方体的体积＝长×宽×高，先求出水深7cm时的水的体积；当放入一个铁块水满时的体积是正方体容器的体积，依据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出此时的体积包含浸没在水中6cm高的铁块的体积与原来水的体积两部分，所以减去原来水的体积，就是浸没在水中6cm高的铁块的体积；再依据长方体的底面积＝体积÷高，其中高是6cm，得到铁块的底面积；最终用铁块的底面积乘高8cm，求出这个铁块的体积。

【详解】10×10×10－10×10×7
＝1000－700
＝300（cm3）
300÷6＝50（cm2）
50×8＝400（cm3）
答：这个铁块的体积是400cm3。

【点睛】明确铁块没有完全浸没时，造成水上升部分的体积就是铁块浸没在水中部分的体积，把握长方体、正方体的体积公式并机敏运用是解题的关键。

18．4.4厘米
【分析】依据长方体体积＝底面积×高，求出水的体积，放入正方体铁块后，相当于玻璃杯底面积变小，用水的体积÷（玻璃杯底面积－铁块底面积）＝水的高度。

【详解】77×1.6÷（77－7×7）
＝123.2÷（77－49）
＝123.2÷28
＝4.4（cm）
答：这时水面高4.4厘米。

【点睛】关键是把握并机敏运用长方体体积公式。

19．20立方厘米
【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。

三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。

【详解】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2
＝27－9＋2
＝20（立方厘米）
答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。

【点睛】在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会削减，外表面削减，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的状况。

20．（1）2块②号、2块③号、1块④号；
（2）1.18平方米；
（3）105升
【分析】（1）无盖玻璃鱼缸长0.6米，宽0.5米，高0.4米，需要长0.6米，宽0.5米的玻璃1块；长0.5米，宽0.4米的玻璃2块；长0.6米，宽0.4米的玻璃2块；
（2）依据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出长方体的表面积，需要玻璃的面积＝长方体的表面积－长方体的底面积；
（3）倒入水的体积＝玻璃鱼缸的底面积×鱼缸里水的深度，最终把单位转化为升即可。

【详解】（1）②号玻璃和③号玻璃各需要2块，④号玻璃需要1块；
（2）（0.6×0.5＋0.6×0.4＋0.5×0.4）×2－0.6×0.5
＝（0.3＋0.24＋0.2）×2－0.6×0.5
＝0.74×2－0.6×0.5
＝1.48－0.3
＝1.18（平方米）
答：一共需要1.18平方米的玻璃。

（3）0.6×0.5×0.35×1000
＝0.3×0.35×1000
＝0.105×1000
＝105（升）
答：需要倒入105升水。

【点睛】本题主要考查长方体的特征以及长方体表面积和体积公式的应用，解题过程中要留意单位换算。