新人教版初中数学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．都是乘法运算
C ．①是因式分解，②是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解 2．已知3x y +=，1xy
=，则23x xy y -+的值是（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．12 3．如表，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m +n ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．5
D ．7 4．计算()
201920180.52-⨯的值（ ） A ．2 B ．2-
C ．12
D ．12- 5．若3a b +=，1ab =，则()2a b -的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 6．下列运算中，正确的个数是（ ） ①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+=
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．下列运算正确的是（ ）． A ．()2326ab a b = B ．()325a a = C ．236a a a ⋅= D ．347a a a +=
8．下列计算正确的是（ ）
A ．（a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣2b 2
B ．（a ﹣12）2＝a 2﹣14
C ．﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+a
D ．（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2 9．下列运算正确是（ ）
A ．b 5÷b 3＝b 2
B ．（b 5）3＝b 8
C ．b 3b 4＝b 12
D ．a （a ﹣2b ）＝a 2+2ab
10．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2
14
m m ++ B ．222x xy y -+-
C ．221449x xy y -++
D ．22193x x -+ 11．数151025N =⨯是（ ）
A ．10位数
B ．11位数
C ．12位数
D ．13位数 12．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ）
A ．21
B ．23
C ．25
D ．29 二、填空题
13．分解因式：32m n m -=________．
14．计算：248(21)(21)(21)(21)1+++++=___________．
15．已知10的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．
16．如图是一块长方形ABCD 的场地，长AB a 米，宽AD b 米，从A 、B 两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处的路宽是2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为________2m ．
17．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．
18．下列说法：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；
②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；
③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；
④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．
其中正确的说法有________（填号即可）．
19．因式分解：24a b b -=______．
20．分解因式：2a 2﹣8＝______．
三、解答题
21．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2请你写出()2a b +、()2
a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）拓展应用：若()()22202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值． 22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 281156415497-⨯=-==
2241731576527497-⨯=-==
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．
23．如果关于x 的多项式2x a +与22x bx --的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求2+a b 的值．
24．如果2()()41x m x n x x ++=+-．
①填空：m n +=______，mn =______．
②根据①的结果，求下列代数式的值：
（1）225m mn n ++；
（2）2()m n -．
25．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若95,4
x y x y ⋅+==，则x y -=________； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．
26．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x 2y +6xy ﹣9y ；
（2）9（x +2y ）2﹣4（x ﹣y ）2；
（3）1﹣x 2﹣y 2+2xy ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】
解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；
②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
2．A
解析：A
【分析】
先把3x y +=代入原式，可得23x xy y -+=22x y +，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】
∵3x y +=，
∴23x xy y -+=2()x xy x y y -++=22x xy xy y -++=22x
y +， ∵1xy =，
∴23x xy y -+=22x
y +=22()23217x y xy +-=-⨯=，
故选A ．
【点睛】 本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），即可解出n ＝5，从而求出m 值即可．
【详解】
解：由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有m ﹣3+4﹣（m +3）＝﹣3+1+n ﹣（4+1），
整理得n ＝5，
则有m ﹣3+4＝﹣3+1+5，解得m ＝2，
∴m +n ＝5+2＝7，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查列一元一次方程解决实际问题，理解题意，找出等量关系是解题关键． 4．D
解析：D
【分析】 将原式变形为201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再利用同底数幂的乘法逆运算变为2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】 解：原式=201920181-22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
=2018201811--222⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ =2018201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=201811-2-22⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ =()20181-1-2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
=1×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭
=12
- 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
由3a b +=结合完全平方式即可求出22a b +的值，再由222()2a b a b ab -=+-，即可求出结果．
【详解】
∵3a b +=，
∴22()3a b +=，即2229a ab b ++=，
将1ab =代入上式得：229217a b +=-⨯=．
∵222()2a b a b ab -=+-，
∴2()725a b -=-=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查代数式求值以及因式分解．熟练利用完全平方式求解是解答本题的关键． 6．A
解析：A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵()3
26x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.
7．A
解析：A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．
【详解】
A 选项：()2326ab a b =，正确，符合题意；
B 选项：()326
a a =，错误，不符合题意； C 选项：235a a a ⋅=，错误，不符合题意；
D 选项：347a a a +≠，错误，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据整式的乘法逐项判断即可求解．
【详解】
解：A. （a +b ）（a ﹣2b ）＝a 2﹣4b 2，原题计算错误，不合题意；
B. （a ﹣12）2＝a 2﹣a +14
，原题计算错误，不合题意； C. ﹣2a （3a ﹣1）＝﹣6a 2+2a ，原题计算错误，不合题意；
D. （a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可．
【详解】
A 、b 5÷b 3＝b 2，故这个选项正确；
B 、（b 5）3＝b 15，故这个选项错误；
C 、b 3•b 4＝b 7，故这个选项错误；
D 、a （a ﹣2b ）＝a 2﹣2ab ，故这个选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．
10．C
解析：C
【分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
A 、222111(44)(2)444
m m m m m ++=++=+能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B 、222222(2)()x xy y x xy y x y -+-=--+=--能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
C 、221449x xy y -++不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
D 、2222111(69)(3)9399
x x x x x -+=-+=-能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 11．C
解析：C
【分析】
利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．
【详解】
()10
15105101051011252252253210 3.210N =⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯，
∴N 是12位数，
故选：C ．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键． 12．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式得()2222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．
【详解】
解：∵()2
222a b a b ab +=++，
∴()2222a b a b ab +=+-，
∵5a b +=，2ab =-，
∴原式()2
52225429=-⨯-=+=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．
二、填空题
13．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
解析：(1)(1)m mn mn -+
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式=3222(1)m n m m m n -=-，
=(1)(1)m mn mn -+
故答案为：(1)(1)m mn mn -+.
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14．216【分析】在原来的算式前面乘上(2-1)根据平方差公式进行计算即可求解
【详解】原式======216故答案是：216【点睛】本题主要考查有理数的运算掌握平方差公式是解题的关键
解析：216
【分析】
在原来的算式前面乘上(2-1)，根据平方差公式，进行计算，即可求解．
【详解】
原式=248(21)(21)(21)(21)(21)1-+++++
=2248(21)(21)(21)(21)1-++++
=448(21)(21)(21)1-+++
=88(21)(21)1-++
=16(21)1-+
=216．
故答案是：216．
【点睛】
本题主要考查有理数的运算，掌握平方差公式，是解题的关键．
15．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4
又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-
解析：-16
【分析】
，确定a ，b 的值，进而即可求解．
【详解】 ∵
∴3＜4，
又∵a b 的小数部分，
∴a ＝3，b
−3，
∴
2a b -=−3)2-16．
故答案是：-16．
【点睛】
本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键． 16．【分析】可以将草坪拼成一块完整的长方形分别表示出它的长和宽即可求出面积【详解】解：可以将草坪拼成一块完整的长方形这个长方形的长是：米宽是：米∴草坪的面积是：（平方米）故答案是：【点睛】本题考查多项式 解析：22ab a b --+
【分析】
可以将草坪拼成一块完整的长方形，分别表示出它的长和宽即可求出面积．
【详解】
解：可以将草坪拼成一块完整的长方形，
这个长方形的长是：112a a --=-米，宽是：1b -米，
∴草坪的面积是：()()2122a b ab a b --=--+（平方米）．
故答案是：22ab a b --+．
【点睛】
本题考查多项式的乘法和图形的平移，解题的关键是通过平移的方法将不规则的图形拼成规则图形进行求解．
17．（a+b ）2-2ab=a2+b2【分析】利用各图形的面积求解即可【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b ）2-2ab 故可得： （a+b ）2-2ab=a2+b2故答案为：（a+
解析：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2
【分析】
利用各图形的面积求解即可．
【详解】
解：两个阴影图形的面积和可表示为：a 2+b 2或 （a+b ）2-2ab ，
故可得： （a+b ）2-2ab = a 2+b 2
故答案为：（a+b ）2-2ab = a 2+b 2
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积． 18．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可
解析：②
【分析】
①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．
【详解】
①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；
②∵2210m m +-=，
∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；
③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b
=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；
当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，
则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；
综上可知，答案为：②．
【点睛】
本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．
19．【分析】直接提取公因式b 进而利用平方差公式分解因式得出即可【详解】解：4a2b-b=b （4a2-1）=b （2a-1）（2a+1）故答案为：b （2a-1）（2a+1）
【点睛】本题考查了提取公因式法以及
解析：()()2121b a a -+
【分析】
直接提取公因式b ，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】
解：4a 2b-b=b （4a 2-1）=b （2a-1）（2a+1）．
故答案为：b （2a-1）（2a+1）．
【点睛】
本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 20．2（a+2）（a-2）【分析】先提取公因式2再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【详解】解：2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】本题考查了用提
解析：2（a+2）（a-2）
【分析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：2a 2-8，
=2（a 2-4），
=2（a+2）（a-2）．
故答案为：2（a+2）（a-2）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
三、解答题
21．（1）()()224a b a b ab +--=；（2）3-．
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为（a+b ）2-（b-a ）2=（a+b ）2-（a-b ）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）令2020m a -=，2021m b -=，则1a b +=-，227a b +=，根据()2222ab b a b a -=++求解
【详解】 解：（1）()()224a b a b ab +--=
（2）令2020m a -=，2021m b -=，
则1a b +=-，227a b +=
由()222
2ab b a b a -=++
∴()2127ab --= ∴3ab =-
即()()202020213m m --=-．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解决此类题目的关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可； （2）设中间那个数为n ，列得2(7)(7)n n n --+，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可．
【详解】
解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，
213620169120497-⨯=-==；
(2)证明：设中间那个数为n ，则：
2(7)(7)497n n n --+==
∴2(7)(7)7n n n --+=．
．
【点睛】
此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．
23．10-
【分析】
先根据多项式的乘法法则计算，然后根据展开式中没有二次项，且常数项为10列方程组求解即可．
【详解】
解：∵()()
2322222242x a x bx x bx x ax abx a +--=--+-- ()()322242x b a x ab x a =---+-，
∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，
∴20210a b a -=⎧⎨-=⎩
， 解得：5a =-，52b =-
， ∴5252102a b ⎛⎫+=-+⨯-=- ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．也考查了二元一次方程组的解法．24．①4，−1；②（1）13；（2）20
【分析】
①据多项式乘多项式的运算法则求解即可；
②根据完全平方公式计算即可．
【详解】
①∵（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn＝x2＋4x−1，
∴m＋n＝4，mn＝−1．
故答案为：4，−1；
②（1）m2＋5mn＋n2＝（m＋n）2＋3mn＝42＋3×（−1）＝16−3＝13；
（2）（m−n）2＝（m＋n）2−4mn＝42−4×（−1）＝16＋4＝20．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
25．（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）±4；（3）-3
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝
（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y
9
4
代入计算即可
得出答案；
（3）将等式（2019-m）+（m-2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝9
4
，
∴52-（x-y）2＝4×9
4
，
∴（x-y）2＝16
∴x-y＝±4，
故答案为：±4；
（3）∵（2019-m）+（m-2020）＝-1，
∴[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，
∴（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，
∵（2019-m）2+（m-2020）2＝7，
∴2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m）（m-2020）＝-3．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．26．（1）﹣y（x﹣3）2；（2）（5x+4y）（x+8y）；（3）（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【分析】
（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解；
（2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号及合并同类项进行化简；
（3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公式分解后对每个因式去括号化简即可．
【详解】
解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy
＝1﹣（x2+y2﹣2xy）
＝1﹣（x﹣y）2
＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．。