2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数02命题分析03知识方法

专题六函数与导数
1．函数与导数是中学数学基础和主线内容，是高考命题的基础，一般是三个小题或两个小题，占22分，重视基础学问、基本技能和创新意识的考查，突出直观想象、逻辑推理、数学运算等学科核心素养的考查．
2．高考试题的选择题和填空题主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、零点等，分段函数是重要载体，有时难度较大，作为小题的压轴题出现．
3．导数的解答题都是作为压轴题出现的，分数为12分，难度较大，具有很好的区分度．导数题强调用，用就是导数的应用，即用导数来探讨函数的单调性与极值．考查内容主要包括：导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值、用导数解决不等式问题、恒成立问题、利用导数探讨函数的零点问题等．考查的函数一般是多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数这几种函数的组合．无论哪种函数，无论是考查如何利用导数探讨函数及不等式，探讨单调性恒久是考查的重点，而且紧紧围绕分类整合思想的考查．
1．函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．
(2)在探讨函数性质特殊是单调性、值域、零点时，要留意结合其图象探讨．
(3)函数图象的对称性．
①若函数y＝f(x)满意f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
②若函数y＝f(x)满意f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．
2．函数的性质
(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、推断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
(2)奇偶性．
①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)．
②若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若0在其定义域内，则f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．
(3)周期性．
①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数．
②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数． ③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数． ④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数． 【易错提示】 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
3．指数式与对数式的七个运算公式
(1)a m ·a n ＝a
m ＋n . (2)(a m )n ＝a mn .
(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N .
(4)log a M N ＝log a M －log a N .
(5)log a M n ＝n log a M .
(6)a log aN ＝N .
(7)log a N ＝log b N log b a
. (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0)
4．指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种状况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．
5．函数的零点问题
(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．
(2)确定函数零点的常用方法：①干脆解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
6．导数的几何意义
函数f (x ) 在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．
【易错提示】 求曲线的切线方程时，要留意是在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不肯定为切点．
7．利用导数探讨函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系．
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，假如函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数．
(2)利用导数探讨函数单调性的方法．
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
8．利用导数探讨函数的极值、最值
(1)若在x0旁边左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0旁边左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的微小值．
(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
【易错提示】若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件．。