SXA226高考数学必修_最优化问题的函数模型

最优化问题的 函数模型
实际生活中的“利润最大”、“造价最低”、“体积最大”、“用料最少”、“风险最小”等问题，常称为最优化问题. 最优化问题往往以函数模型居多,其解题步骤一般可以概括为: ① 审题设未知数：弄清题意,分清条件与结论，引进适当的符号表示自变量和函数，理顺数量关系；②建立目标函数：将题目中的语言（文字语言、符号语言、图形语言）转化为数学语言，利用相等关系建立相应的目标函数；③求模：运用已有的知识与方法，获得目标函数的最值，得出数学结论; ④验证：将数学结论还原成具体问题，看是否符合实际; ⑤ 作答：按题目的要求写出问题的答案.
1、 二次函数模型
例1某人工养虾场虾群的最大养殖量为m 吨，为保证虾群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量. 已知虾群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲量的乘积成正比，且比例系数为k （k ＞0）.
（1）求虾群的年增长量达到的最大值；（3）当虾群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.
思路：建立y 关于x 的二次目标函数，通过求目标函数的最值和解不等式解决问题.
解析：（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=m x kx y 1kx x m k +-=2，定义域为()m x ,0∈. 当2)(2m m k k
x =-⋅-=时 ，y 的最大值为4
mk 。

( 2 )由m mk m <+<
4
20得，.20<<k 答：虾群的年增长量达到的最大值为4mk ，此时k 的取值范围是).2,0( 2、分式函数模型
例2某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（如图），由于地形限制，长、宽都不能超过16米。

如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间两道隔壁墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计。

试设计污水池的长、宽，使总造价最低，并求出最低总造价.
思路：引进变量（长或宽），建立总造价关于变量的分式目标函数，通过求目标函数的最 值解决问题.
解析：设污水池的长为x 米，则宽为
x
200米， 于是总造价为 16000)324(800200802002248)20022(400)(++=⋅+⋅⋅+⋅
+=x
x x x x x Q 因为162112162000160≤≤⇒<<<<x x x 且。

而函数(]18,0324在x x +内单减, 因此⎥⎦
⎤⎢⎣⎡162112，在内也单减. 于是当有最小值，（时，，宽
长)5.1220016x Q x x ==且最小值为 .(450001600016
32416800元））（=++ 答：污水池的长、宽分别设计为16米、12.5米时总造价最低，且最低总造价为4500元. 注： 形如)0(>+a x a x 的函数在(][)0,,0a a -和上单减， 在[)
0,a 和 (]a ，∞-上单增。

利用这一单调性求最值比较方便.
3、 三次函数模型
例3请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
思路：引进变量(OO 1为x m )，建立帐篷的体积关于变量(x )的目标函数，通过求目标函数的最值解决问题.
解析：设OO 1为x m ，则41<<x .
由题设可得正六棱锥底面边长为： 22228)1(3x x x -+=--，
故底面正六边形的面积为：
(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2
332x x -+⋅. 帐篷的体积为： )28(233V 2x x x -+=）（]1)1(3
1[+-x )1216(233x x -+=. 对)(x V 求导, 得)312(23V '2x x -=）（.
令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去）
，2=x ，
当21<<x 时，0V'>）（x ，）
（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）
（x V 为减函数.∴当2=x 时，）（x V 最大. 答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m .
注：这里建立的目标函数是三次函数，用传统方法往往难以求其最值,即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单.
4、复合型函数模型
例4统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
3138(0120).12800080
y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米. 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
思路：建立从甲地到乙地耗油量关于速度x 的目标函数，通过求目标函数的最值解决问题.
解析：当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100x
小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ )1200(64080800640)(22
32'
≤<-=-=x x x x x x x h . 令'()0,h x =得80.x = 当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数.∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值. 答: 当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
注：这里建立的目标函数是二次函数与分式函数的复合型函数, 利用导数知识就能顺利求其最值. 对于实际生活中的最优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数函数、对数函数，或它们的复合型函数，均可用导数法求其最值。

可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.。