浙江省衢州市江山市2022年中考数学全真模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．将一次函数2y x =-的图象向下平移2个单位后，当0y >时，a 的取值范围是（ ）
A ．1x >-
B ．1x >
C ．1x <-
D ．1x <
2．如图，已知点A （1，0），B （0，2），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线CD 与y 轴交于点G ，再以DG 为边在第一象限内作正方形DEFG ，若反比例函数x k y =的图像经过点E ，则k 的值是 （ ）
（A ）33 （B ）34 （C ）35 （D ）36
3．一次函数y ax c =+与二次函数2
y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．方程x 2+2x ﹣3=0的解是（ ）
A ．x 1=1，x 2=3
B ．x 1=1，x 2=﹣3
C ．x 1=﹣1，x 2=3
D ．x 1=﹣1，x 2=﹣3
5．如图，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点(﹣4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )
A ．x ＞﹣4
B ．x ＞0
C ．x ＜﹣4
D ．x ＜0
6．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
7．一、单选题
如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）
A．75°B．80°C．85°D．90°
8．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图所示，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）
A．赛跑中，兔子共休息了50分钟
B．乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟
C．兔子比乌龟早到达终点10分钟
D．乌龟追上兔子用了20分钟
9．点A（－2,5）关于原点对称的点的坐标是( )
A．（2,5）B．（2,－5）C．（－2,－5）D．（－5,－2）
10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）
A．10 B．14 C．20 D．22
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．关于x 的方程1101
ax x +-=-有增根，则a =______. 12．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ．小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，则B 、C 两地的距离是_____千米．
13．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.
14．已知一次函数的图象与直线y=12
x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为_____． 15．为了节约用水，某市改进居民用水设施，在2017年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数法表示为________．
16．如图，在等边△ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，连接DE 交AC 于点F ，则△AEF 的面积为_______．
17．如图，AB 为⊙0的弦，AB=6，点C 是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是______________．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′．
（1）求抛物线C 的函数表达式；
（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围．
（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．
19．（5分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调査结果绘制了如下尚不完整的统计图：
根据以上信息解答下列问题:这次接受调查的市民总人数是_______人；扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是_________；请补全条形统计图；若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数.
20．（8分）在Rt ABC ∆中,8, 6,90AC BC C ==∠=︒ , AD 是CAB ∠的角平分线,交BC 于点D .
(1)求AB 的长;
(2)求CD 的长.
21．（10分）计算：2sin60°﹣（π﹣2）0+（__）-1+|1﹣3|．
22．（10分）如图，已知直线AB 经过点（0，4），与抛物线y=14
x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是2-．求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在请说明理由．过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ADB=90°，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；
（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M 为BF 的中点，当点P 在BD 边上运动时，则PF+PM 的最小值为 ，并在图上标出此时点P 的位置．
24．（14分）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD ∠=︒.E 为AD 的中点，连结BE .
（1）求证：四边形BCDE 为菱形；
（2）连结AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长.
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
直接利用一次函数平移规律，即k 不变，进而利用一次函数图象的性质得出答案．
【详解】
将一次函数2y x =-向下平移2个单位后，得：
22y x =--，
当0y >时，则：
220x -->，
解得：1x <-，
∴当0y >时，1x <-，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数平移，解一元一次不等式，正确利用一次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键．
2、D
【解析】
试题分析：过点E 作EM ⊥OA ，垂足为M ，∵A （1，0），B （0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，
∴AB=22OB OA +=5，∵AB//CD ，∴∠ABO=∠CBG ，∵∠BCG=90°，∴△BCG ∽△AOB ，∴OA CB OB CG =，∵BC=AB=5，∴CG=25，∵CD=AD=AB=5，∴DG=35，∴DE=DG=35，∴AE=45，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO ，又∵∠EMA=90°，∴△EAM ∽△ABO ，
∴OB AM OA EM AB AE ==，即215
54AM EM ==，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E （9，4），∴k=4×9=36； 故选D ．
考点：反比例函数综合题．
3、D
【解析】
本题可先由一次函数y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相比较看是否一致．
【详解】
A 、一次函数y=ax+c 与y 轴交点应为（0，c ），二次函数y=ax 2+bx+c 与y 轴交点也应为（0，c ），图象不符合，故本选项错误；
B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，a 的取值矛盾，故本选项错误；
C 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误；
D 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，且抛物线与直线与y 轴的交点相同，故本选项正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
4、B
【解析】
本题可对方程进行因式分解，也可把选项中的数代入验证是否满足方程．
【详解】
x 2+2x-3=0，
即（x+3）（x-1）=0，
∴x 1=1，x 2=﹣3
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
5、A
【解析】
试题分析：充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围．
由图可知，当y＜1时，x＜-4，故选C.
考点：本题考查的是一次函数的图象
点评：解答本题的关键是掌握在x轴下方的部分y＜1，在x轴上方的部分y＞1．
6、B
【解析】
试题分析：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=1．
①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；
②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．
所以它的周长是2．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
7、A
【解析】
分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选A．
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
8、D
分析：根据图象得出相关信息，并对各选项一一进行判断即可.
详解：由图象可知，在赛跑中，兔子共休息了：50-10＝40（分钟），故A选项错误；
乌龟跑500米用了50分钟，平均速度为：500
10
50
（米/分钟），故B选项错误；
兔子是用60分钟到达终点，乌龟是用50分钟到达终点，兔子比乌龟晚到达终点10分钟，故C选项错误；
在比赛20分钟时，乌龟和兔子都距起点200米，即乌龟追上兔子用了20分钟，故D选项正确.
故选D.
点睛：本题考查了从图象中获取信息的能力.正确识别图象、获取信息并进行判断是解题的关键.
9、B
【解析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．
【详解】
根据中心对称的性质，得点P(−2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2, −5).
故选:B.
【点睛】
考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．10、B
【解析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：1．
故选B．
【点睛】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、-1
根据分式方程11
ax x +-－1＝0有增根，可知x-1=0，解得x=1，然后把分式方程化为整式方程为：ax+1-（x-1）=0，代入x=1可求得a=-1.
故答案为-1.
点睛：此题主要考查了分式方程的增根问题，解题关键是明确增根出现的原因，把增根代入最简公分母即可求得增根，然后把它代入所化为的整式方程即可求出未知系数.
12、36
【解析】
作BE ⊥AC 于E ，根据正弦的定义求出BE ，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】
解：作BE ⊥AC 于E ，
在Rt △ABE 中，sin ∠BAC ＝BE AB
， ∴BE ＝AB •sin ∠BAC ＝3633= 由题意得，∠C ＝45°，
∴BC ＝BE sin C ＝233362
=， 故答案为6．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 13、10
【解析】
根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，
222BC BF CF +=，即()2
2248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解. 【详解】
∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，
又∵'AFD CFB ∠=∠，
∴'AD F CBF ∆≅∆，
∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.
在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-，
解得3x =，
∴5AF =， ∴11541022AFC S AF BC ∆=
⋅=⨯⨯=. 【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.
14、y=12
x ﹣1 【解析】
分析：根据互相平行的两直线解析式的k 值相等设出一次函数的解析式，再把点（﹣2，﹣4）的坐标代入解析式求解即可．
详解：∵一次函数的图象与直线y =
12x +1平行，∴设一次函数的解析式为y =12
x +b ． ∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴12×（﹣2）+b =﹣4，解得：b =﹣1，所以这个一次函数的表达式是：y =12x ﹣1．
故答案为y =12
x ﹣1． 点睛：本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k 值相等设出一次函数解析式是解题的关键． 15、53.0510⨯
【解析】
试题解析：305000用科学记数法表示为：53.0510.⨯
故答案为53.0510.⨯
16、2
【解析】
首先，利用等边三角形的性质求得；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE 为等边三角形，则DE=AD ，便可求出EF 和AF ，从而得到△AEF 的面积.
【详解】
解：∵在等边△ABC 中，∠B=60º，AB=4，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=30º，
∴AD=ABcos30º=4×2 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30º，AD=AE ，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º，
∴△ADE 的等边三角形，
∴AEF=60º,
∵∠EAC=∠CAD
∴EF=DF=12
DE AF ⊥DE
∴AF=EFtan60º=3，
∴S △AEF =12EF×AF=123=2
.
故答案为：
2. 【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△ADE 是等边三角形是解题的关键．
17、
【解析】
根据中位线定理得到MN 的最大时，AC 最大，当AC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【详解】
解：因为点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，
由三角形的中位线可知：MN=12
AC ， 所以当AC 最大为直径时，MN 最大．这时∠B=90°
又因为∠ACB=45°，AB=6 解得
MN 长的最大值是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN 的值最大，难度不大．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）2142
y x =-+；（2）2＜m ＜22（1）m =6或m 17﹣1． 【解析】
（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （2，0）代入可得a =12
-，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩
，解不等式组即可解决问题； （1）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．
【详解】
（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （2，0）代入可得a =12
-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142
y x =-+．
（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242
y x m =--， 由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，
消去y 得到222280x mx m -+-= ，
由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()
222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩
，
解得2＜m ＜22，
∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22．
（1）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．
由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证
△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142
y x =-+上，∴()212242
m m -=-++，解得m 17﹣117﹣1（舍弃），∴m 17﹣1时，四边形PMP ′N 是正方形． 情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），
把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242
m m -=--+，解得m =6或0（舍弃）， ∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．
综上所述：m=6或m=17﹣1时，四边形PMP′N是正方形．
19、(1)1000；(2)54°；（3）见解析；（4）32万人
【解析】
根据“每项人数＝总人数×该项所占百分比”，“所占角度＝360度×该项所占百分比”来列出式子，即可解出答案. 【详解】
解：
(1)400÷40%＝1000(人)
(2)360°×150
1000
＝54°，
故答案为：1000人； 54°；
(3)1－10%－9%－26%－40%＝15% 15%×1000＝150(人)
(4)80×660
1000
＝52.8(万人)
答：总人数为52.8万人.
【点睛】
本题考查获取图表信息的能力，能够根据图表找到必要条件是解题关键.
20、（1）10；（2）CD的长为8 3
【解析】
（1）利用勾股定理求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于E ,利用角平分线的性质得到CD=DE ，然后根据HL 定理证明 Rt ACD Rt AED ∆≌，设CD DE x ==，根据勾股定理列方程求解.
【详解】
解:(1) 在Rt ABC ∆中, 8 , 690AC BC C ==∠=︒， 22228610AB AC BC ∴=+=+=;
(2 )过点D 作DE AB ⊥于E ,
AD 平分90BAC C ∠∠=︒，
CD DE ∴=，
在Rt ACD 和Rt AED ∆中
AD AD CD ED =⎧⎨=⎩
( )Rt ACD Rt AED HL ∴∆≌,
8AE AC ∴==
10AB =
1082BE AB AE ∴=-=-=.
设CD DE x ==,则6BD x =-
在Rt BDE ∆中, 222DE BE BD +=
()22226x x +=-
解得83
x = 即CD 的长为83
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难点在于（2）多次利用勾股定理．
21、+1
【解析】
根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简各项后，再根据实数的运算法则计算即可求解．
【详解】
原式=22
⨯1-
1
【点睛】
本题主要考查了实数运算，根据特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质正确化简各数是解题关键．
22、（1）直线y=32x+4，点B 的坐标为（8，16）；（2）点C 的坐标为（﹣12
，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M 的横坐标为6时，MN+3PM 的长度的最大值是1．
【解析】
（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
（2）分若∠BAC=90°，则AB 2+AC 2=BC 2；若∠ACB=90°，则AB 2=AC 2+BC 2；若∠ABC=90°，则AB 2+BC 2=AC 2三种情况求得m 的值，从而确定点C 的坐标；
（3）设M （a ，14a 2），得MN=14a 2+1，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到x=2166
a -，从而得到MN+3PM=﹣14
a 2+3a+9，确定二次函数的最值即可． 【详解】
（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
21(2)14
y =⨯-=,A 点的坐标为（-2，1）， 设直线的函数关系式为y=kx+b ，
将（0，4），（-2，1）代入得421
b k b =⎧⎨-+=⎩
解得324
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴y ＝32
x ＋4 ∵直线与抛物线相交，
231424
x x ∴+= 解得：x=-2或x=8，
当x=8时，y=16，
∴点B 的坐标为（8，16）；
（2）存在．
∵由A (－2，1)，B (8，16)可求得AB 2＝22(8
2)(161)=325 .设点C (m ，0)，
同理可得AC 2＝(m ＋2)2＋12＝m 2＋4m ＋5，
BC 2＝(m －8)2＋162＝m 2－16m ＋320，
①若∠BAC ＝90°，则AB 2＋AC 2＝BC 2，即325＋m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320，解得m ＝－12
； ②若∠ACB ＝90°，则AB 2＝AC 2＋BC 2，即325＝m 2＋4m ＋5＋m 2－16m ＋320，解得m ＝0或m ＝6；
③若∠ABC ＝90°，则AB 2＋BC 2＝AC 2，即m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320＋325，解得m ＝32，
∴点C 的坐标为(－
12，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) （3）设M (a ，14
a 2)， 则MN
2114a =+， 又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴32x ＋4＝14
a 2， ∴x =2166
a - ， ∴点P 的横坐标为2166
a -， ∴MP ＝a －2166
a -，
∴MN＋3PM＝1
4
a2＋1＋3(a－
216
6
a
)＝－
1
4
a2＋3a＋9＝－
1
4
(a－6)2＋1，
∵－2≤6≤8，
∴当a＝6时，取最大值1，
∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的最大值是1
23、（1）详见解析；（2）23.
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；
（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．
∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=1
2
AB=AE=BE．
同理，BF=DF．
∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；（2）连接BF．
∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．
∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．
则EM=BE•sin60°=4×
3
2
=23．
即PF+PM的最小值是23．
故答案为：23．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．24、（1）证明见解析；（2）3
【解析】
（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）只要证明△ACD是直角三角形，∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）连接AC，如图所示：
∵∠ADB=30°，∠ABD=90°，
∴AD=2AB，
∵AD=2BC，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠CAB=∠CAD=30°
∴AB=BC=DC=1，AD=2BC=2，
∵∠DAC=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ACD中，223
AD CD．
【点睛】
考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.。