2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末数学
（理）试题
一、单选题
1．复数3z i =-的虚部为（ ） A ．3 B ．1- C ．i
D ．i -
【答案】B
【解析】根据复数虚部的概念，选出正确选项. 【详解】
根据复数虚部值知识可知，复数3z i =-的虚部为1-. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查复数虚部的概念，属于基础题.
2．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ） A ．,a b 都不能被5整除 B ．,a b 都能被5整除 C ．,a b 不都能被5整除 D ．a 能被5整除
【答案】A
【解析】根据反证法的概念，即可得到命题的假设，解得求解. 【详解】
根据反证法的概念可得：用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是“,a b 都不能被5整除”，故选A. 【点睛】
本题主要考查了反证法的概念，其中解答中熟记反证法的基本概念，根据命题的否定，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3．函数()cos x f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．
4
π C ．1 D ．
2π 【答案】B
【解析】试题分析：()cos sin x x
f x e x e x -'=，令()1f x '=，则倾斜角为
4
π. 【考点】导数的几何意义.
4．下列命题中错误．．
的是（ ） A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“()p q ∨⌝”为真命题 B ．命题“若7a b +≠，则2a ≠或5b ≠”为真命题
C ．命题“若函数()f x 的导函数()f x '满足0()0f x '=，则0x 是函数()f x 的极值点”的逆否命题是真命题
D ．命题p ：0,sin 21x x x ∃>>-，则p ⌝为 0,sin 21x x x ∀>-…
【答案】C
【解析】对四个选项逐一分析，由此确定错误选项. 【详解】
对于A 选项，由于命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以命题“()p q ∨⌝”为真命题，故A 选项正确.
对于B 选项，原命题的逆否命题是“若2a =且5b =，则7a b +=”为真命题，所以原命题为真命题，故B 选项正确.
对于C 选项，由于导数等于零的点不一定是极值点，所以原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题，所以C 选项错误.
对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，D 选项正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查含有逻辑连接词命题的真假性，考查互为逆否命题的命题的真假性，考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.
5．直线2(1)10x a y ++-=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．3[
,]4
π
π B ．3[
,
]44ππ
C ．(0,
]4
π D ．3[
,)4
π
π 【答案】D
【解析】求得直线的斜率的取值范围，由此求得直线倾斜角的取值范围. 【详解】 直线的斜率为2
11
a -+，由于2
11a +≥，所以[)211,01a -∈-+，对应的倾斜角的取值范围是3[
,)4
π
π. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题. 6．若a R ∈，则“复数31ai
z i
-=+在复平面内对应的点在第三象限”是“3a >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】化简复数31ai
z i
-=
+，根据z 在复平面内对应的点在第三象限求得a 的取值范围，由此判断出正确选项. 【详解】 由于()()()()
()313331112ai i a a i
ai z i i i ----+-=
==++-在复平面内对应的点在第三象限，所以()3030a a -<⎧⎨-+<⎩
，解得3a >.所以“复数31ai
z i -=+在复平面内对应的点在第三象限”是
“3a >”的充要条件. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，考查充分、必要条件的判断.
7．函数231
()23
f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是（ ）
A ．
323
B ．
163
C ．12
D ．9
【答案】A
【解析】21232
()40,0,4,(0)0,(4),(6)03
f x x x x x f f f '=-===∴==
=. 8．2
2
2
2
123111
1
,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）
A ．s 1＜s 2＜s 3
B ．s 2＜s 1＜s 3
C ．s 2＜s 3＜s 1
D ．s 3＜s 2＜s 1
【答案】B 【解析】322132132221
7ln |ln 2||,.
1113
3x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.
【考点】此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】
因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】
本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 10．下列命题为真命题的个数是（ ） ①
ln 1
e π
π< ②
ln ln 33
ππ> ③33e e > A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】构造函数()()ln 0x
f x x x
=
>，利用导数研究()f x 的单调性，由此判断①②的真假性.构造函数()()ln 0g x e x x x =->，利用导数研究()g x 的单调性，由此判断③的真假性. 【详解】 构造函数()()ln 0x f x x x =
>,()'
21ln x f x x
-=，所以()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，所以()()()3πf e f f >>，即
1ln 3ln π
3π
e >>，所以①正确，②错误.
构造函数()()ln 0g x e x x x =->，()'
1e e x g x x x
-=
-=，所以()g x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，所以()()3g e g >，即ln ln33e e e e ->-，即ln330e -<，
ln33e <，3
ln 3e
<，3ln3e e e <，即33e e <，所以③正确.
综上所述，正确的有2个. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查利用导数比较大小，考查构造函数法，属于中档题.
11．双曲线:C 2
214x y -=的左,右顶点分别是12,A A ，P 是C 上任意一点（P 点异于
12,A A ），直线12,PA PA 分别与直线:1l x =交于,M N ，则MN 的最小值是（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】求出直线12,PA PA 的方程，令1x =求得,M N 两点的坐标，由此求得MN 的表达式，由此求得MN 的最小值. 【详解】
设()00,P x y ，000,2y x ≠>，则220044x y -=，22
0044x y =+.依题意
()()122,0,2,0A A -，所以()1
00:22
PA y l y x x =
++，()200:22PA y
l y x x =--，令1
x =代入直线12,PA PA 的方程，得000031,,1,22y y M N x x ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭
.所以
MN 0000322y y x x =
++-000
20444x y y x -=-0000200
4414x y y x y y --==001
1
y x =-，001y x -表示双曲线上的点()00,P x y 与点()1,0连线的斜率.设过点()1,0，双曲线的切线方程为
()1y k x =-，代入2
214
x y -=并化简得()2222148440k x k x k -+--=，其判别式
()()42264414440k k k ∆=----=
，解得k =.所以001y
x -
所以
001
1
y x -
，也即MN
故选：B 【点睛】
本小题主要考查双曲线的几何性质，考查直线与直线的交点，考查直线与双曲线相切问题的求解，考查线段长度的最值的求法，属于中档题.
12．若函数2()1f x x =-与函数()ln 1g x a x =-的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,)e B ．(0,]e
C ．(0,2)e
D ．(0,2]e
【答案】D
【解析】分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数a 的取值范围. 【详解】
21y x =-的导函数'2y x =，ln 1y a x =-的导函数为'a
y x
=
.设切线与21y x =-相切的切点为()
2
,1n n -，与ln 1y a x =-相切的切点为(),ln 1m a m -，所以切线方程
为()
()2
12y n n x n --=-、()()ln 1a
y a m x m m
--=
-，即221y nx n =--、ln 1a y x a a m m =-+-.所以2211ln a n m n a a m
⎧
=⎪⎨⎪+=+-⎩，所以22
ln 4a a a m m =-，由于0a >，所以
2
1ln 4a m m =-，即()2
1ln 4
a m m =-有解即可.令()()()21ln 0g x x x x =->，()()'12ln g x x x =-，所以()g x
在(
上递增，在
)+∞
上递减，最大值为2
e
g
=
，而0x e <<时()0g x >，当x e >时，()0g x <，所以042
a e
<
≤，所以02a e <≤.所以正实数a 的取值范围是(0,2]e . 故选：D 【点睛】
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
'等于____________. 【答案】1
【解析】先求得()f x 的导函数，由此求得3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
'的值. 【详解】
函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
'()2(2)3
f x cos x π
∴=-，
将3
x π
=
代入，得2'()2(
)213
333
f cos cos π
πππ=-== 故答案为：1 【点睛】
本小题主要考查复合函数的导数的求法，属于基础题. 14．__________.
【答案】
【解析】将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分．由定积分的几何意义知
表示圆的面积的二分之一，问题得以解决
【详解】
由定积分的几何意义知表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分
之一，即
，
∴
【点睛】
本题重点考查定积分的计算，考查定积分的几何意义， 求定积分有三种方法：定义法（不常用），利用微积分定理求定积分，和利用定积分的几何意义求定积分。

15．已知点P （x ，y ）是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x +2）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ |+x 的最小值为_____． 【答案】3
【解析】利用抛物线的定义得1x PF =-,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去半径即可转换题目中的条件分析. 【详解】
画出图像,设焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义有1PF x =+,故1x PF =-.
又PQ QC CP +≥当且仅当,,C Q P 共线且Q 为CP 与圆C 的交点时PQ 取最小值为
1PC QC PC -=- .故PQ x +的最小值为112PC PF PC PF -+-=+-.
又当P 为线段CF 与抛物线的交点时PC PF +取最小值,
此时2223PQ x PC PF CF +=+-=-==
【点睛】
(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离. (2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系. 16．已知函数()ln 2x f x e x =--.下列说法正确的是___________. ①()f x 有且仅有一个极值点； ②()f x 有零点；
③若()f x 极小值点为0x ，则010()2
f x <<
； ④若()f x 极小值点为0x ，则01
()12
f x <<. 【答案】①③
【解析】利用导数的知识选四个说法逐一分析，由此确定正确说法的序号. 【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'1x
f x e x =-
，()''210x
f x e x
=+>，所以()'f x 单调递增，而()1
'
'
21110,202f e f e ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭
，所以()'
f x 存在唯一零点
01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()'00f x =，即0010x
e x -=，001x e x =（），两边取对数得
0000ln ,ln x x x x =-=-（），且()00,x x ∈时()'
0f x <，()0,x x ∈+∞时()'0f x >，
所以0x 是()f x 的极小值点.()000ln 2x
f x e x =--，将（）和（）代入上式得
()00012f x x x =
+-，由于01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以()00012f x x x =+-在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，()11
,1022f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()000
1120,2f x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以()0f x >，也即()f x 没有零点.
综上所述，①③正确. 故答案为：①③ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点、极值点、单调性，属于中档题.
三、解答题
17．命题2
:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题q 方程22
124x y a a
+=+-表示焦点在y 轴上
的椭圆．
（1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若“非q ”是“[,1]a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4a ≤-或1a ≥（2）3m ≤-或m 1≥
【解析】（1）先求得,p q 均为真命题时a 的取值范围，由此求得,p q 均为假命题时a 的取值范围.
（2）由（1）求得“非q ”，根据“非q ”是“[,1]a m m ∈+”的必要不充分条件列不等式，解不等式求得实数m 的取值范围. 【详解】
（1）关于命题2
:,10p x R ax ax ∀∈+-<，
0a >时，显然不成立，0a =时成立，恒成立
0a <时，只需240a a D=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；
关于命题q ，420a a ->+>解得：21a -<<，
命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则4a ≤-或1a ≥；． （2）非:21q a a ≤-≥或，所以12m +≤-或m 1≥，即3m ≤-或1m ≥. 【点睛】
本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据必要不充分条件求参数的取值范围，考查椭圆的几何性质，属于基础题. 18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 为2cos sin ?
x y φ
φ=⎧⎨
=⎩（φ为参数）.在以O 为原点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线
(0)4
π
θρ=
≥与2C 除极点外的一个交点为M ，设直线l 经过点M ，且倾斜角为6
π
，
直线l 与曲线1C 的两个交点为,A B .
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）求||||MA MB ⋅的值．
【答案】（1）1C 的普通方程是2
214
x y +=，2C 的直角坐标方程是2240x y x +-=（2）
647
【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系式消去参数，求得1C 的参数方程，利用极坐标方程转化为直角坐标方程的公式，将2C 的的极坐标方程，转化为直角坐标方程. （2）联立2C 的方程和射线()0y x x =≥的方程，求得M 点坐标，进而求得直线l 的参数方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得||||MA MB ⋅的值. 【详解】
（1）1C 的普通方程是2214
x y +=.
由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2C 的直角坐标方程是22
40x y x +-=
（2）射线()π
04
θρ=
≥即()0y x x =≥联立2240x y x +-=与y x =得(2,2)M 或(0,0)M ，M 不是极点，(2,2)M ∴.
依题意，直线l 的参数方程可以表示为
212? 2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）， 代入2
214
x y +=
得278)1604t t ++=,设,A B 点的参数是1,2t t ，则 12647
t t =，12647MA MB t t ∴⋅== 【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线的参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n n a S n S =+
-∈． (Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；
(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）112S =，223S =，334S =，445
S =；（Ⅱ）见证明 【解析】(Ⅰ)分别取1,2,3,4n = 代入计算1S ，2S ，3S ，4S 的值.
(Ⅱ) 猜想()*N 1n n S n n =
∈+，用数学归纳法证明. 【详解】
解：（Ⅰ）当1n =时，∵111112a S S S ==+-，∴112
S =， 又2212212a S S S S =-=+
-，∴223S =， 同理334S =，445
S =； （Ⅱ）猜想()
*N 1n n S n n =∈+ 下面用数学归纳法证明这个结论.
①当1n =时，结论成立.
②假设()*,1n k k N k =∈≥时结论成立，即1k k S k =
+， 当1n k =+时，1111
12k k k k k a S S S S ++++=-=+-，
∴112k k S S +=-，∴11112221
k k k S k S k k ++===-+-+ 即当1n k =+时结论成立.
由①②知1n n S n =
+对任意的正整数n 都成立. 【点睛】
本题考查了数列{}n a 和前n 项和n S 的关系，猜测n S ，数学归纳法，意在考查学生归纳推理能力.
20．设函数()21f 2x lnx ax x =-
+． （Ⅰ）当时，()f x k ≤恒成立，求k 范围；
（Ⅱ）方程()2(1)2am mf x x =-有唯一实数解，求正数的值．
【答案】(1) 0k ≥ (2)m 1=
【解析】试题分析：1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，
从而求出k 的范围即可；（2）lnx+x=0时，不合题意，当lnx+x≠0时，m=2
ln x x x
+ 有唯一解，此时x ＞x 0，记h （x ）=2
ln x x x
+，根据函数的单调性求出m 的值即可． 解析：
（1）a=2时，f （x ）=lnx ﹣x 2+x ，
f （x ）的定义域是（0，+∞），
f′（x ）=1x
﹣2x+1， 令f′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令f′（x ）＜0，解得：x ＞1，
故f （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f （x ）max =f （1）=0，
若f （x ）≤k 恒成立，
则k≥0；
（2）方程mf （x ）=（1﹣2
am ）x 2有唯一实数解， 即m （lnx+x ）=x 2有唯一实数解，
当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为x 0∈（1e
，1）
当lnx+x≠0时，m=2
ln x x x
+有唯一解，此时x ＞x 0 记h （x ）=2
ln x x x
+， h′（x ）=2
(1)2ln (ln )x x x x x x -++, 当x ∈（0，1）时，x （x ﹣1）＜0，2xlnx ＜0，h′（x ）＜0，
当x ∈（1，+∞）时，x （x ﹣1）＞0，2xlnx ＞0，h'（x ）＞0，
∴h （x ）在（x 0，1）上递减，（1，+∞）上递增．
∴h （x ）min =h （1）=1，
当x ∈（x 0，1）时，h （x ）∈（1，+∞），
当x ∈（1，+∞）时，h （x ）∈（1，+∞），
要使m=2
ln x x x
+有唯一解，应有m=h （1）=1， ∴m=1．
21．．
在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A ，(B ，直线PA 与PB 的斜率之积为12
-. （I ）求动点P 轨迹E 的方程;
（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.
【答案】（1）2
21(0)2
x y y +=≠；（2）直线MQ 过定点(2,0). 【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆位置关系的运用．利用椭圆的几何性质，来表示得到a,b,c 的值，从而解得方程，然后设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理，运用代数的方法来表示坐标，同时借助于题目中向量的关系式，得到坐标的关系，消去坐标，得参数的关系式，进而求解得到．
解一：（11
2=-…………2分 化简得：2
21(0)2
x y y +=≠……………………………4分
（2）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -，l :1x my =+， 代入2
21(0)2
x y y +=≠整理得22(2)210m y my ++-=…………6分 12222m y y m -+=+，12212
y y m -=+，………………………………8分 MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =， 得………10分 ∴直线MQ 过定点(2,0).………………12分
解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -，l :(1)y k x =-， 代入2
21(0)2
x y y +=≠整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=…………6分 2
122412k x x k +=+,，…………8分
MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=
-- 令0y =， 得121121121211121212()(1)()2()2(2)2
y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-……10分 ∴直线MQ 过定点(2,0).…………12分
解三：由对称性可知，若MQ 过定点，则定点一定在x 轴上，
设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -，l :(1)y k x =-， 代入2
21(0)2
x y y +=≠整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=…………6分 2
122412k x x k +=+,，…………8分
设MQ 过定点(,0)R m ，则//RM RQ ，而1122(,),(,)RM x m y RQ x m y =--=-
则
22222444(1)24[2]0121212k k m m k m k k k k
-+-=-+=⋅=+++ 2m ∴=…………10分
∴直线MQ 过定点(2,0).…………12分
22．已知函数1()ln a f x x x +=+
. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）求出导函数，通过当1a ≤-时，1a >-时，判断导函数的符号，图象函数的单调性；（2）要证()(sin 1)xf x a x >+．只需证明ln sin 1x x a x >-，证明ln 1x x ax ≥-．设()ln 1g x x x ax =-+．利用导函数转化证明，再证：
1sin 1ax a x -≥-，设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥．利用函数的单调性转化证明即可．
【详解】
解：（1）由1()ln a f x x x +=+得22
11(1)'()(0)a x a f x x x x x +-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．
当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+， 所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．
（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，
只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.
现证：ln 1x x ax ≥-.
设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，
所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．
所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.
因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，
即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．
再证：1sin 1ax a x -≥-.
设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥.
所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.
因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，
又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到，
即ln sin 1x x a x >-，
所以()(sin 1)xf x a x >+．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想．考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．。