第一节 平面与平面的位置关系

9．若将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成60°的二
2
面角，则B，D两点间的距离等于____2____．
【提示】 连接BD可得一个正三角形， 其边长等于正方形对角线长的一半．
同步精练
10．在60°的二面角α-m-β中，若平面α内的一点A到平面
β的距离为 3 ，则A在平面β内的射影A1到平面α的距离为
【解析】 本题考查面面平行、面面垂直 的判定，要求学生具有良好的空间想象能力．
典例解析
【举一反三1】 给出下列命题： ①两个平行平面中的一个平面内的直线必平行于另一个 平面； ②分别在两个平行平面内的两条直线平行； ③若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直 线必与另一个平面相交； ④若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交 线平行； ⑤夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． 其中正确命题的序号是__①__③__④__⑤__．
3
____2____．
【提示】 如图所示，
过A做AA1⊥面β于 A1，在面α内过A做AO⊥m 于点O，连结A1O，
A．锐角 B．钝角 C．锐角或钝角 D．直角
【提示】 由平面与平面垂直的性质定理知PA⊥平 面β，所以PA⊥PB，所以∠APB是直角．
同步精练
8．α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列命
题中正确命题的个数是( C )
①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n
③若α∥β，m⊂α，则m∥β
【思路点拨】 本题考查平面和平面平 行的判定定理的推论．
典例解析
【例4】 如图所示，已知四棱锥P－ABCD 的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°， PA⊥底面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PCD.
【解析】 本题考查面面垂直的判定，关键在于利用直 线与平面垂直的定义性质及直角梯形性质，从而得出面面 垂直的结论．
C．若直线l∥平面α，l⊥平面β，则平面α⊥平面β
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
【提示】 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直 线，则平面α与平面β可能垂直，也可能平行或相交，所以A错 误；过平面α外一点P有无数个平面β与平面α垂直，所以B错误； 若直线l∥平面α，过直线l作平面γ与平面α相交，则直线l与交线 平行，而l⊥平面β，所以交线垂直平面β，所以平面α⊥平面β， 所以C正确；垂直于同一个平面的两个平面也可能垂直，如墙 角两墙面同时垂直于地面，所以D错误．故选C.
∠QPB＝30°，设QA＝1，则QP＝2，QB＝PB＝ 2 ， sin∠QBA＝ 2 ，即∠QBA＝45°.
2
同步精练
3．在下列命题中，是假命题的是( D ) A．若平面外一条直线和平面内的一条直线平行，则这 条直线和这个平面平行 B．若一个平面内的任意一条直线和另一个平面平行， 则这两个平面互相平行 C．若平面内的一条直线和平面的斜线垂直，则这条直 线也和斜线的射影垂直 D．若两个平面互相垂直，则分别在两个平面内的两条 直线也互相垂直
∵PC⊥平面ABC，△ABC是正三角形，
∴CA＝CB，∴PA＝PB，
取AB中点D，连接PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，
∴∠PDC就是二面角P-AB-C的平面角．
∵正三角形ABC的边长为a，∴CD＝ 3 a，又∵PC＝ 1 a，
∴在Rt△PDC中，tan∠PDC＝
PC CD
1
2
a
2
3a
2
3 3
，∴∠PDC＝30°.
l l
若两个平面垂直，则在
性质 一个平面内垂直于它们 定理 ③__交__线____的直线④
____垂__直__于另一个平面
l
m
l
l m
典例解析
【例1】 (1)给出下列命题： ①过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行； ②过平面外一条直线，有且只有一个平面与这个平面 平行； ③过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直； ④过平面外一条直线，有且只有一个平面与这个平面 垂直． 其中正确命题的个数为( B ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】 本题考查面面平行判定定理的推论．“若一个 平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线， 则这两个平面平行”．关键在于利用好三角形的中位线，得 线线平行．
下图每一个箭头都代表一个定理或推论，大家一定要熟记 这些定理或推论，并且要掌握定理的符号语言，证明时清楚 找到该定理成立的条件，自然而然就能得出结论．
证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴CD⊥AD， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD， 又∵PA⊂平面PAD， AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD， 又∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
见解析
典例解析
【举一反三4】 如图所示，已知SA⊥正方形ABCD所在 平面，求证：平面SAB⊥平为直线，α，β 为平面，给出下列命题：
①若c⊥α，c⊥β，则α∥β； ②若a⊥β，b⊥β，则a∥b；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b; ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α.
其中正确命题的个数为( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．在30°二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则
a a'
b b'
a'
b'
知识梳理
内容
平
面
若两个平行平面
与 平 面
性质定 理
同时与第三个平 面相交，则它们 的交线互相④
平
____平__行__
行
图形表示 符号表示
a a b b
知识梳理
内容
与两个平行平面 两个平行平 都垂直的直线叫 面的公垂线 做这两个平行平
面的⑤_公__垂__线___
【提示】 α，β都垂直于平面γ，则α，β也可能垂直，如 墙角两墙面同时垂直于地面，所以A不符合；α内不共线的 三个点到β的距离相等，α，β也可能相交，三个点在平面β 的两侧，所以B不符合；l，m是α内两条直线，且l∥β， m∥β，若l∥m，则α，β也可能相交，所以C不符合；由面 面平行的性质及推论可知选D.
同步精练
2．已知点P为二面角α-l-β 棱上一点，PQ⊂α，PQ与l所 成的角为45°，与β 所成的角为30°，且此二面角的平面角 为锐角，则二面角α-l-β为( D )
A．30° B．75° C．60° D．45°
【提示】 过Q作QA垂直于面β于A，过A作AB⊥l
于B，连接QB，则∠QBA就是二面角的平面角，
直二 平面角是②__直__角____的二 面角 面角叫做直二面角
知识梳理
4.平面与平面的垂直
内容
图形表示
符号表示
两个平面相交，若所成
定义
的二面角是直二面角， 则称这两个平面互相①
α⊥β
____垂__直_
∠COD＝90°
判定 定理
若一个平面经过另一个 平面的②__垂__线___，则这 两个平面互相垂直
∵棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴四边形ABB1A1是矩形，∴A1B1∥AB， ∵点M，N分别是A1B1，AB的中点， ∴B1M∥AN， ∴四边形ANB1M是平行四边形，∴AM∥B1N， 连接MN，则MN∥B1B∥C1C， ∴四边形C1MNC是平行四边形， ∴C1M∥NC，
典例解析
又∵C1M∩AM＝M，且C1M⊂平面MAC1， AM⊂平面MAC1， B1N⊂平面B1NC，NC⊂平面B1NC， ∴平面MAC1∥平面B1NC.
该点到另一个面的距离为( A )
A．3 B．12
C．3 3
D．4 3
【提示】 在30°二面角的一个面内有一点到棱的 距离为6，则该点到另一个面的距离为它到棱的距离 的一半，为3.
同步精练
7．如图所示，已知直二面角α-m-β，在α内的直线PA⊥m， 在β内的直线PB与m不垂直，则∠APB是( D )
【提示】 该题考查面面平行的推论及性质．
【思路点拨】 本题考查面面平行的推论及性质．
典例解析
【例2】 如图所示，点P是边长为a的正三 角形ABC外一点，PC⊥平面ABC，PC＝ 1 a，
2
则二面角P-AB-C的度数为___3_0_°___．
【解析】 本题考查二面角，关键在于理解二面角要用二面角
的平面角来度量及二面角的平面角的作法．
【解析】 本题考查面面平行、面面垂直的判定， 要求学生具有良好的空间想象能力．②④中所述平面外 一条直线包含直线与平面相交(垂直)的情况，故不正确， 所以正确的命题为①.
典例解析
(2)已知α，β，γ 三个平面，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ的位 置关系为( D )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．平行或相交
2
典例解析
【举一反三2】 若四面体ABCD的各棱长均相等，则二 面角A-BC-D的平面角的余弦值为( C )
A. 3
B. 1
C. 1
D. 3
3
2
3
2
【提示】 该题考查二面角，关键在于作出此二面角的平
面角．如图，取BC的中点E，连接AE，DE，因为四面体
ABCD的各棱长均相等，所以AE⊥BC，DE⊥BC，所以
第六节 平面与平面的位置关系
知识梳理
1．平面与平面的位置关系 两个不重合的平面的位置关系分类： (1)两个平面平行：无公共点； (2)两个平面相交：有一条公共直线．
知识梳理
2．平面与平面的平行
内容
图形表示
符号表示
若两个平面①
平 面 与
定义
____无__公__共__点_， 则称这两个平面 平行
平
若一个平面内有
典例解析
∵点E，F，G分别是OA，OB，OC的中点，
∵EG∥AC，EF∥AB.
又∵EG∩EF＝E，且EG⊂面EFG，EF⊂面EFG， AB⊂面ABC，AC⊂面ABC，
∴面EFG∥面ABC.
典例解析
【举一反三3】 如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1 中，点M，N分别是A1B1和AB的中点．求证：平面MAC1∥ 平面B1NC.
夹在两个平行平 面间的⑥ 两个平行平 ___公__垂__线__段(图中 面间的距离 的线段AB)的长 度叫做两个平行 平面间的距离
图形表示
符号表示
3.二面角
知识梳理
内容
图形表示 符号表示
二面 角
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角
α-AB-β
二面 在二面角的棱上任取一点， 角的 在二面角的两个半平面内 平面 分别作垂直于棱的射线， 角的 则①_两__条__射__线___所组成的 定义 角叫做二面角的平面角 ∠COD＝90°
∠AED即为二面角A－BC－D的平面角．设四面体ABCD的
棱长为1，则AE＝DE＝ 3 ，AD＝1，由余弦定理可得，
cos∠AED＝ 1 .
2
3
【思路点拨】 本题考查二面角，关键
在于作出此二面角的平面角．
典例解析
【例3】 如图所示，四面体O-ABC中，点E，F，G分
别是OA，OB，OC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.
④若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能平 行或相交，故①错误；②显然成立；若α∥β，m⊂α， 则m与β无公共点，因而m∥β，故③正确；由线面角 的定义、面面平行的性质可知④正确．故选C.
二、填空题
同步精练
【提示】 A是直线与平面平行的判定定理，B是平面与平面 平行的判定定理；C是直线与平面垂直的判定与性质定理；若 两个平面互相垂直，则分别在两个平面内的两条直线不一定垂 直，也可能平行，相交或异面，所以D是假命题．
同步精练
4．下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是( D ) A．α，β都垂直于平面γ B．α内不共线的三个点到β的距离相等 C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
证明：∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴SA⊥BC； 又∵正方形ABCD中BC⊥AB， 且AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB， ∵BC⊂平面SBC，∴平面SAB⊥平面SBC.
【思路点拨】 本题考查平面和平面垂 直的判定定理．
同步精练
一、单项选择题 1．下列命题正确的是( C ) A．若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线， 则平面α⊥平面β B．过平面α外一点P有且只有一个平面β与平面α垂直
面 平 行
判定定 理
两条②__相__交____ 直线都平行于另 一个平面，则这
两个平面平行
α∥β
a
b a
b
A
a
b
知识梳理
内容
图形表示
符号表示
平 面 与 平 面 平 行
推论
若一个平面内的 两条③__相__交____ 直线分别平行于
另一个平面内的
两条直线，则这 两个平面平行
a
b
a b A