高考数学一轮复习单元检测十算法统计与统计案例提升卷单元检测文含解析

单元检测十 算法、统计与统计案例(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2018·上海十四校联考)若x 1，x 2，x 3，…，x 10的平均数为3，则3(x 1－2)，3(x 2－2)，3(x 3－2)，…，3(x 10－2)的平均数为( ) A ．3B ．9C ．18D ．27 答案 A
解析 由题意得x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝30，所以3(x 1－2)＋3(x 2－2)＋3(x 3－2)＋…＋3(x 10－2)＝3(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10)－60＝30，所以所求平均数3(x －2)＝30
10
＝3，故选A.
2．(2018·青岛模拟)一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5 200,5 300,5 500,6 100,6 500,6 600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是( ) A ．5800B ．6000C ．6200D ．6400 答案 D
解析 由题意知，当另外两位员工的工资都小于5200时，中位数为(5300＋5500)÷2＝5400；当另外两位员工的工资都大于6600时，中位数为(6100＋6500)÷2＝6300，所以8位员工月工资的中位数的取值区间为[5 400,6 300]，所以这8位员工月工资的中位数不可能是6400，故选D.
3．若x 1，x 2，…，x 2019的平均数为3，标准差为4，且y i ＝－3(x i －2)，i ＝1,2，…，2019，则新数据y 1，y 2，…，y 2019的平均数和标准差分别为( ) A ．－9,12 B ．－9,36 C ．－3,36 D ．－3,12
答案 D
解析 由平均数和标准差的性质可知，若x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，标准差为s ，则
kx 1＋b ，kx 2＋b ，kx 3＋b ，…，kx n ＋b 的平均数为k x ＋b ，标准差为|k |s ，据此结合题意可
得y 1，y 2，…，y 2019的平均数为－3(3－2)＝－3，标准差为3×4＝12，故选D. 4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的值为( )
A ．－2或－1或3
B ．2或－2
C ．3或－1
D ．3或－2
答案 D
解析 由－2x －3＝1 ，解得x ＝－2 ，因为－2>2 不成立，所以－2是输入的x 的值；由log 3(x 2
－2x )＝1 ，即x 2
－2x ＝3，解得x ＝3或x ＝－1(舍去)． 综上，x 的值为－2或3， 故选D.
5．(2018·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图，若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱号者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6 答案 B
解析 由茎叶图得班里40名学生中，获得“诗词达人”称号的有8人，获得“诗词能手”称号的有16人，获得“诗词爱好者”称号的有16人，则由分层抽样的概念得选取的10名学生中，获得“诗词能手”称号的人数为10×16
40
＝4，故选B.
6.某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生
成绩的平均数是86.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4
b
的
最小值为( )
A.49B ．2C.9
4D ．9 答案 C
解析 甲班学生成绩的中位数是80＋x ＝81，解得x ＝1.由茎叶图可知乙班学生的总分为76＋80×3＋90×3＋(0＋2＋y ＋1＋3＋6)＝598＋y ，又乙班学生成绩的平均数是86，所以86×7＝598＋y ，解得y ＝4.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，且x ，G ，y 成等比数
列，则2G ＝a ＋b ，xy ＝G 2
，即有a ＋b ＝4，则1a ＋4b ＝14(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝14⎝
⎛⎭⎪⎫1＋4＋b a ＋4a b ≥14⎝
⎛
⎭⎪⎫5＋2 b a ·4a b ＝1
4
×9＝94，当且仅当a ＝43，b ＝83时，取等号．故选C.
7.某校九年级有400名学生，随机抽取了40名学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，用样本估计总体，下列结论正确的是( )
A ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25
B ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24
C ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为80
D ．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8 答案 C
解析 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，所以中位数在第三组内，设中位数为25＋x ，则x ×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，所以x ＝1.25，所以中位数为26.25，故A 错误；最高矩形是第三组数据，第三组数据的中间值为27.5，所以众数为27.5，故B 错误；学生1分钟仰卧起坐的成绩超过30次的频率为0.04×5＝0.2，所以超过30次的人数为400×0.2＝80，故C 正确；学生1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的频率为0.02×5＝0.1，所以1分钟仰卧起坐的成绩少于20次的人数为400×0.1＝40，故D 错误．故选C.
8．某程序框图如图所示，若输出S ＝3，则判断框中M 为( )
A．k<14?B．k≤14? C．k≤15? D．k>15? 答案 B
解析由程序框图可知S＝
1
1＋2
＋
1
2＋3
＋…＋
1
k＋k＋1
，
因为
1
k＋k＋1
＝k＋1－k，
所以S＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋k＋1－k＝k＋1－1，
所以S＝k＋1－1＝3，解得k＝15，即当k＝15时程序退出，
故选B.
9．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为( )
A．20,2B．24,4C．25,2D．25,4
答案 C
解析由频率分布直方图可得分数在[50,60)内的频率是0.008×10＝0.08，又由茎叶图可得
分数在[50,60)内的频数是2，则被抽测的人数为2
0.08
＝25.又由频率分布直方图可得分数在[90,100]内的频率与分数在[50,60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选C. 10．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝6.705，则所得到的统计学结论是认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握是( )
A.99.9%B ．99%C ．1%D ．0.1% 答案 C
解析 因为6.635<6.705<10.828，所以有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C.
11．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到线性回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg 答案 D
解析 y 与x 具有正线性相关关系，A 正确；由线性回归方程的性质可知，B 正确；身高每增加1 cm ，体重约增加0.85 kg ，C 正确；某女生身高为160 cm ，则其身高约为50.29 kg ，D 错误，故选D.
12．以下四个结论，正确的是( )
①质检员从匀速传递的产品生产流水线上，每间隔10分钟抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1；
③在线性回归方程y ^
＝0.2x ＋12中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2个单位；
④对于两个分类变量X 与Y ，求出其统计量K 2
的观测值k ，观测值k 越大，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度就越大． A ．①④B．②③C．①③D．②④ 答案 D
解析 对于①，易得这样的抽样为系统抽样，①错误；对于②，由频率分布直方图的概念易得②正确；对于③，由线性回归方程的概念易得变量y 约增加0.2个单位，③错误；对于④，由独立性检验易得④正确．综上所述，故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据平均数x ，则x 的值为________.
答案 19.7
解析 由题意得平均数
x ＝
14×2＋17×1＋20×3＋23×4
2＋1＋3＋4
＝19.7.
14．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为________． 答案 20
解析 由数据可得甲的平均数是15(65＋80＋70＋85＋75)＝75，方差为15[(65－75)2
＋(80－
75)2＋(70－75)2＋(85－75)2＋(75－75)2
]＝50，乙的平均数是15(80＋70＋75＋80＋70)＝75，
方差为15[(80－75)2＋(70－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2
]＝20<50，故成绩较稳定
的学生为乙，其方差为20.
15．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在[40,60)内的汽车有________辆．
答案 80
解析 由频率分布直方图可得时速在[40,60)内的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4，则时速在[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．
16．下列命题中，正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
①回归直线y ^
＝b ^
x ＋a ^
恒过样本点的中心(x ，y )，且至少过一个样本点； ②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；
③用R 2来刻画回归效果，R 2
越接近0，说明回归的效果越好；
④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6. 答案 ②④
解析 回归直线y ^
＝b ^
x ＋a ^
恒过样本点的中心(x ，y )，不一定过样本点，①错误；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变，②正确；用R 2
来刻画回归效果，R 2
越接近1，说明回归的效果越好，③错误；④中系统抽样方法是正确的．故正确的命题有②④.
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)某网站针对“2019年法定节假日调休安排”提出的A ，B ，C 三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：
(1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从支持A 方案的人中抽取了6人，求n 的值；
(2)从支持B 方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以下的人数是多少？35岁以上(含35岁)的人数是多少？ 解 (1)由题意知，
6100＋200＝n
200＋400＋800＋100＋100＋400，
解得n ＝40.
(2)这5人中，35岁以下的人数为5400＋100×400＝4，35岁以上(含35岁)的人数为
5
400＋100
×100＝1.
18．(12分)每年的春节后，某市市政府都会发动公务员参与到植树活动中去．为保证树苗的质量，林管部门在植树前会对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽取了10株树苗，量出的高度如下(单位：厘米)．
甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,34,26,10,44,46.
(1)根据量出的高度，完成茎叶图；
(2)根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论．
解(1)茎叶图如图所示．
(2)统计结论：
①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；
③甲种树苗高度的中位数为27，乙种树苗高度的中位数为32.
19．(13分)某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系.
参考数据：
参考公式：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解 根据所给数据得到如下2×2列联表：
根据2×2列联表中的数据，得到K 2
的观测值为 k ＝50×(30×5－10×5)
2
(30＋10)(5＋5)(30＋5)(10＋5)
≈2.38<2.706. ∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系． 20．(13分)某农科所对冬季昼夜温差x (℃)与某反季节新品种大豆种子的发芽数y (颗)之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天的昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到的数据如下表所示：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，剩下的2组数据用于线性回归方程的检验．
(1)请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选的验证数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？如果可靠，请预测温差为14℃时种子的发芽数；如果不可靠，请说明理由． 解 (1)由已知得x ＝
11＋13＋12
3
＝12， y ＝
25＋30＋26
3
＝27， 则b ^
＝52
，a ^
＝y －b ^
x ＝－3.
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝5
2
x －3.
(2)当x ＝10时，y ^
＝5
2
×10－3＝22，|22－23|<2；
当x ＝8时，y ^
＝5
2
×8－3＝17，|17－16|<2.
所以(1)中所得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^
＝5
2
×14－3＝32，
即预测当温差为14℃时，每天每100颗种子的发芽数约为32颗．。