2021版高考数学(文)大一轮人教A广西专用综合测试卷

综合测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第17页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设i 为虚数单位,复数z 满足1+i z
=1-i,则复数z=( ) A.2i B.-2i
C.i
D.-i
答案:C 解析:∵
1+i z
=1-i,∴z=1+i
1-i =(1+i )2
(1-i )(1+i )=2i
2=i .故选C .
2.若集合A={x|log 2(2x+1)<1},集合B={x|1<2x <4},则A ∩B=( ) A.(0,1
2) B.(-12,1
2)
C.(0,2)
D.(1
2,2)
答案:A
解析:∵A={x|log 2(2x+1)<1}={x |-1
2<x <1
2}, B={x|1<2x <4}={x|0<x<2}, ∴A ∩B={x |0<x <1
2},故选A .
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案:A
解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A 不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C 正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A .
4.设直线y=1
2x+b 是曲线y=ln x 的一条切线,则b 的值为( ) A.ln 2-1 B.ln 2-2
C.2ln 2-1
D.2ln 2-2
答案:A
解析:设切点为(m ,n ),则n=ln m.
函数y=ln x 的导数为y'=1
x ,可得切线的斜率为1
m , 则1
m =1
2,
解得m=2,则n=ln2,故b=n-1
2m=ln2-1.故选A .
5.设a ∈R ,则“a=1”是“f (x )=ln (a +2
x -1)为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:C
解析:若a=1,则f (x )=ln (1+2
x -1)=ln x+1
x -1.
故函数f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. 又f (-x )+f (x )=ln -x+1
-x -1+ln x+1
x -1=ln (x+1
x -1·x -1
x+1)=ln1=0, 所以函数f (x )是奇函数,即充分性成立. 若f (x )=ln (a +2x -1)为奇函数,
则f (-x )+f (x )=ln (a +2
x -1)+ln (a +2
-x -1)=0,
化为(a-1)[(a+1)(x 2-1)+4]=0,此式对于定义域内的任意x 都成立,故a=1, 即必要性成立.故“a=1”是“f (x )=ln (a +2
x -1)为奇函数”的充要条件.故选C .
6.一程序框图如图所示,如果输出的函数值在区间[1,2]上,那么输入实数x 的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.[-1,0]
C.[1,+∞)
D.[0,1]
答案:D
解析:根据题意,得当x ∈[-2,2]时,f (x )=2x ,
∴1≤2x ≤2,∴0≤x ≤1;
当x ∉[-2,2]时,f (x )=3,不符合题意, ∴x 的取值范围是[0,1].
7.已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5√2 B.7 C.6
D.4√2
答案:A
解析:∵a 1a 2a 3=5,∴a 23
=5.
∵a 7a 8a 9=10,∴a 83
=10.
又a 52=a 2a 8,∴a 56=a 23a 83=50.
∴a 4a 5a 6=a 53=5√2,故选A .
8.(2019河北邯郸大名一中高三模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB=2,AD=4,点E ,F 分别在
AB ,CD 上,且AE BE =
DF CF
=3,若沿点E ,F 连线折成如图所示的多面体,使AB ⊥平面BCFE ,则
该多面体的正视图的面积为( )
A.4√2
B.2√2
C.3√2
D.6
答案:A
解析:由题意,得AE=3
2,BE=1
2,由AB ⊥平面BCFE ,得AB ⊥BE ,所以AB=√AE 2-BE 2=√2, ∴所求多面体的正视图的面积为√2×4=4√2.故选A .
9.已知等差数列的前n 项和为S n ,且S 1 006>S 1 008>S 1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n 为( ) A.2 015 B.2 013 C.2 014 D.2 016 答案:A
解析:由题意可得S 1008-S 1007>0,即a 1008>0.
由S 1006>S 1008,得S 1008-S 1006<0,即a 1007+a 1008<0. 故S 2015=2015(a 1+a 2015)2
=
2015×2a 1008
2
=2015a 1008>0,
S 2014=
2014(a 1+a 2014)2=2014(a 1007+a 1008)
2
<0, 因此满足S n S n -1<0的正整数n=2015,故选A .
10.已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上,且cos A=2√2
3
,BC=1,AC=3,三棱锥O-
ABC 的体积为√14
6
,则球O 的表面积为( )
A.36π
B.16π
C.12π
D.
16π3
答案:B
解析:由余弦定理,得cos A=
AB 2+AC 2-BC 2
2AB ·AC
=
AB 2+9-16AB
=
2√2
3
,解得AB=2√2.
故AB 2+BC 2=AC 2,即AB ⊥BC.
因此AC 是平面ABC 与球的截面圆的直径. 作OD ⊥平面ABC ,则D 为AC 的中点. 所以V O-ABC =1
3S △ABC ·OD=1
3×1
2×2√2×1×OD=√14
6
, 所以OD=√7
2.所以OA=√OD 2+AD 2=2. 所以S 球O =4π·OA 2=16π.故选B .
11.在△ABC 中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°.若P 是△ABC 所在平面内一点,且AP=2,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.10 B.12 C.10+2√37 D.8 答案:C
解析:以点A 为原点,边AC 所在直线为x 轴,建立如图所示平面直角坐标系,
则A (0,0),B (32,
3√3
2
),C (4,0). 设P (2cos θ,2sin θ),θ∈R , 可得PB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(3
2
-2cosθ,3√3
2
-2sinθ), PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-2cos θ,-2sin θ),
故PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(32-2cosθ)(4-2cos θ)-2sin θ(3√32-2sinθ) =-11cos θ-3√3sin θ+10=-2√37sin(θ+α)+10. 其中α为锐角,且tan α=
11√3
9
,θ∈R . 故当sin(θ+α)=-1时,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC
⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值10+2√37. 故选C .
12.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),对任意x ∈R 都有f'(x )>f (x )成立,则( ) A.3f (ln 2)>2f (ln 3) B.3f (ln 2)=2f (ln 3) C.3f (ln 2)<2f (ln 3)
D.3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定 答案:C
解析:令g (x )=f (x )
e x , 则g'(x )=
f '(x )·e x -f (x )·e x
e =
f '(x )-f (x )
e .
因为对任意x ∈R 都有f'(x )>f (x ), 所以g'(x )>0,即g (x )在R 上单调递增. 又ln2<ln3,所以g (ln2)<g (ln3),即f (ln2)e ln2
<
f (ln3)e ln3
.
所以
f (ln2)2
<
f (ln3)3
,即3f (ln2)<2f (ln3),故选C .
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码是 . 答案:6
解析:不妨设第1组抽到的号码为x.
因为300名学生平均分成20组,所以每组15人, 所以在第16组中应抽出的号码为15×15+x. 即225+x=231,故x=6.
14.已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,右顶点为A ,虚轴的一个端点为B.若△ABF 为等腰三角形,则该双曲线的离心率为 . 答案:1+√3
解析:由题意,得F (-c ,0),A (a ,0).
不妨设B (0,b ),则|BF|=√b 2+c 2>c ,|AF|=a+c>c ,|AB|=√a 2+b 2=c.
因为△ABF 为等腰三角形,所以只能是|AF|=|BF|, 即a+c=√b 2+c 2,整理,得c 2-2a 2-2ac=0, 即e 2-2e-2=0,解得e=1+√3(舍去负值).
15.设C 满足约束条件{3x -y -6≤0,
x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,
若目标函数z=ax+by (a>0,b>0)的最大值为12,则2
a +
3b
的最小值为 .
答案:25
6
解析:根据约束条件绘制可行域,如图所示.
将z=ax+by 转化为y=-a
b x+z
b ,
∵a>0,b>0,∴直线y=-a
b x+z b 的斜率为负,最大截距对应最大的z 值,易知点A 为最大值点. 联立方程组{3x -y -6=0,
x -y +2=0,
解得{
x =4,
y =6,
即A (4,6). ∵目标函数z=ax+by 的最大值为12, ∴12=4a+6b ,即2a+3b 6=1,
∴2
a +3
b =
2a+3b 6·(2
a +3
b )=
136
+b a +a b ≥
13
6
+2√b a ·a b =256
,
当且仅当b
a =a
b ,且
2a+3b 6
=1,
即a=b=6
5时取等号.
16.已知点A (0,3),若圆C :(x-a )2+(x-2a+4)2=1上存在点M ,使|MA|=2|MO|,则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 . 答案:[0,12
5]
解析:由圆C :(x-a )2+(x-2a+4)2=1,可知圆心C (a ,2a-4). 设M (x ,y ),∵|MA|=2|MO|, ∴√x 2+(y -3)2=2√x 2+y 2,
得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4.
∴点M 在以D (0,-1)为圆心,以2为半径的圆D 上. ∵圆C 与圆D 有公共点,∴2-1≤CD ≤2+1, 即1≤√a 2
+(2a -3)2
≤3,即{5a 2-12a +8≥0,
5a 2-12a ≤0,
解得0≤a ≤12
5.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c=b cos A+a sin B.
(1)求角B 的度数;
(2)若D 为BC 上的一点,BD=1,cos ∠CDA=3
5,求△ABD 的面积. 解:(1)因为c=b cos A+a sin B ,
所以由正弦定理,得sin C=sin B cos A+sin A sin B. 又sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B ,
所以sin A cos B+cos A sin B=sin B cos A+sin A sin B , 化简得tan B=1.
又因为0<B<π,所以B=π
4.
(2)cos ∠BDA=cos(π-∠CDA )=-cos ∠CDA=-3
5,sin ∠BDA=√1-cos 2∠BDA =4
5. ∴sin ∠BAD=sin (π
4+∠BDA) =√2
2(sin ∠BDA+cos ∠BDA )=√2
10.
在△ABD 中,由正弦定理,得AD=BDsinB
sin∠BAD =5. 所以S △ABD =1
2BD ·AD ·sin ∠ADB=1
2×1×5×4
5=2.
18.(12分)如图,四边形BCDE 为矩形,平面ABC ⊥平面BCDE ,AC ⊥BC ,AC=CD=1
2BC=2,F 是AD 的中点.
(1)求证:AB ∥平面CEF ;
(2)求点A 到平面CEF 的距离.
答案:(1)证明如图,连接BD ,交CE 于点H ,连接FH.
∵四边形BCDE 为矩形, ∴H 是线段BD 的中点. 又点F 是线段AD 的中点,
∴FH 是△ABD 的中位线.∴FH ∥AB.
又FH ⊂平面CEF ,AB ⊄平面CEF ,∴AB ∥平面CEF. (2)解设A 到平面CEF 的距离为d , 则V A-CEF =1
3dS △CEF =1
3|DE|·S △ACF .
由题意可知CF=√2,CE=2√5,EF=3√2,则CF ⊥EF , 故S △CEF =1
2×√2×3√2=3,则d=4
3, 即点A 到平面CEF 的距离是4
3.
19.(12分)“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款,杨老师的微信朋友圈内有600名好友参与了“微信运动”.他随机选取了40名微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下:
5 860 8 520 7 32
6 6 798
7 325
8 430 3 216 7 453 11 754
9 860 8 753 6 450 7 290 4 850 10 223 9 763 7 988 9 176 6 421 5 980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别:A (0~2 000步)(说明:“0~2 000”表示大于等于0,小于等于2 000.下同),B (2 001~5 000步),C (5 001~8 000步),D (8 001~10 000步),E (10 001步及以上),且B ,D ,E 三种类别人数比例为1∶3∶4,将统计结果绘制成如图所示的条形图.
若某人一天的走路步数超过8 000步被系统认定为“卫健型”,否则被系统认定为“进步型”.
(1)若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5 001~10 000步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关?
(3)若从杨老师当天选取的步数大于10 000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查,然后再从这5名好友中选取2名进行访谈,求至少有一名女性好友的概率.
附:K2=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
.
解:(1)在样本数据中,男性朋友B类别设为x人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2,故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在5001~10000步的包括C,D两类别共计9人;女性朋友走路步数在5001~10000步共有16人.
用样本数据估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5001~10000步的人数为
600×9+16
40
=375.
(2)2×2列联表如下:
K2的观测值k=40×(14×12-6×8)2
20×20×22×18
≈3.636<3.841,
故没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.
(3)在步数大于10000的好友中分层选取5名好友,男性有5×8
8+2=4(人),记为A,B,C,D, 女性有5×2
8+2=1(人),记为e .
从这5人中选取2人,基本事件是AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De,共10种,这2人中至少有一名女性好友的事件有Ae,Be,Ce,De,共4种, 故所求概率P=410=2
5.
20.(12分)(2019河北邯郸大名一中高三模拟)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点.当直线与x 轴垂直时,|AB|=4. (1)求抛物线C 的方程;
(2)设直线AB 的斜率为1,且与抛物线的准线l 相交于点M ,抛物线C 上存在点P 使得直线PA ,PM ,PB 的斜率成等差数列,求点P 的坐标. 解:(1)因为F (p
2,0),在抛物线方程y 2=2px 中, 令x=p
2,可得y=±p.
于是当直线与x 轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.
(2)因为抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1, 所以M (-1,-2).
设直线AB 的方程为y=x-1, 联立{y 2=4x ,y =x -1,消去x ,得y 2-4y-4=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则y 1+y 2=4,y 1y 2=-4.
若点P (x 0,y 0)满足条件,则2k PM =k PA +k PB ,
即2·y 0+2x 0
+1=y 0-y 1x 0
-x 1
+y 0-y
2
x 0
-x
2
,
因为点P ,A ,B 均在抛物线上, 所以x 0=y 0
24,x 1=y 1
24,x 2=y 2
24. 代入化简可得
2(y 0+2)
y 0
2+4=2y 0
+y 1
+y 2
y 0
2+(y 1
+y 2
)y
0+y 1y 2
,
将y 1+y 2=4,y 1y 2=-4代入,解得y 0=±2.
将y 0=±2代入抛物线方程,可得x 0=1. 于是点P (1,±2)为满足题意的点.
21.(12分)设函数f (x )=-2x 2+ax-ln x (a ∈R ),g (x )=ex
e x +3.
(1)若函数f (x )在定义域内单调递减,求实数a 的取值范围;
(2)若对任意x ∈(0,e),都有唯一的x 0∈[e -4,e],使得g (x )=f (x 0)+2x 02成立,求实数a 的取值范
围.
解:(1)∵f'(x )=-4x 2+ax -1x ,且f (x )在定义域内单调递减,
∴f'(x )≤0在区间(0,+∞)内恒成立,
即4x 2-ax+1≥0在区间(0,+∞)内恒成立.
∴Δ=a 2-4×4×1≤0,即-4≤a ≤4;
或{Δ=a 2-4×4×1>0,a 8
<0,即a<-4. 综上可知,a ≤4.
(2)∵g'(x )=e 1-x (1-x ),
∴g (x )在区间(0,1)内单调递增,在区间[1,e)内单调递减.
又g (0)=3,g (1)=4,g (e)=e 2-e +3>3,
∴g (x )的值域为(3,4].
记h (x )=f (x )+2x 2=ax-ln x ,m=g (x ),
原问题等价于∀m ∈(3,4],存在唯一的x 0∈[e -4,e],
使得h (x 0)=m 成立.
∵h'(x )=a-1x =
ax -1x ,x ∈[e -4,e], ①当a ≤1e 时,h'(x )≤0恒成立,h (x )单调递减,
由h (x )max =h (e -4)=a e -4+4≥4,h (x )min =h (e)=a e -1≤3,解得0≤a ≤1e ; ②当a ≥e 4时,h'(x )≥0恒成立,h (x )单调递增,
h (x )min =h (e -4)=a e -4+4>4,不符合题意,舍去;
③当1e <a<e 4时,h (x )在区间[e -4,1a ]上单调递减,在区间[1a ,e]上单调递增, 且h (e -4)=a e -4+4>4,h (e)=a e -1,
要满足条件,则a e -1≤3,故1e <a ≤4e .
综上所述,a 的取值范围是[0,4e ].
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4—4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (2,32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C :(x-
1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M ,N.
(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;
(2)求1
|PM|+1
|PN|
的取值范围.
解:(1)由题意可知,直线l的参数方程为{x=2+tcosα,
y=3
2
+tsinα(t为参数).
由(x-1)2+(y-2)2=1,得x2+y2-2x-4y+4=0.
将y=ρsinθ,x=ρcosθ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)把直线l的参数方程{x=2+tcosα,
y=3
2
+tsinα(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cosα-
sinα)t+1
4
=0.
由Δ>0,得|2cosα-sinα|>1.
故1
|PM|+1
|PN|
=1
|t1|
+1
|t2|
=|t1+t2|
|t1t2|
=4|2cosα-sinα|∈(4,4√5].
[选修4—5:不等式选讲]
23.(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)={2x+4,x≤-1, 2,-1<x≤2, -2x+6,x>2.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.
所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
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