【精品】三年高考(2016-2018)数学(文)真题分类解析：专题09-三角恒等变换与求值

考纲解读明方向
考点内容解读要求高考示例常考题型预测热
度
1.两角和与差的三角函数公式(1)两角和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦
公式;
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的
正弦、正切公式;
③能利用两角差的余弦公式导出两角和的
正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、
余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
(2)简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括
导出积化和差、和差化积、半角公式,但对
这三组公式不要求记忆)
掌握
2017江苏,5;
2016江苏,15;
2015课标
Ⅰ,2;
2014课标
Ⅱ,14
选择题
填空题
解答题
★★
★
2.二倍角公
式
掌握2016浙江,10;
2016课标全国
Ⅱ,9;
2016四川,11
选择题
填空题
解答题
★★
★
分析解读：
1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.
3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.
考点内容解读要求高考示例常考题
型
预测
热度
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式①了解任意角的概念和弧度制的概念;
②能进行弧度与角度的互化;
③理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义;
④理解同角三角函数的基本关系
式:sin2x+cos2x=1,=tan x;
⑤能利用单位圆中的三角函数线推导出
理
解
2017北
京,12;
2016课标全
国Ⅲ,5;
2015广
东,16;
2014四
选择
题
填空
题
★
★
★
±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式川,13;
2014大纲全
国,3
分析解读
1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.
2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.
4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.
5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.
2018年高考全景展示
1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A. B. C. D.
【答案】C
A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，
，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到
所对应的三角函数线进行比较.
2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:将函数进行化简即可
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
3.【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点
，，且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函
数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.
详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为
，解得，即，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
4．【2018年全国卷II文】已知，则__________．
【答案】
【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.
详解：，解方程得.
点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.
5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P
（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或
【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
6．【2018年文北京卷】已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．又因为，所以
，因此．因为，所以
，因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
2017年高考全景展示
1.【2017课标3，文6】函数的最大值为（）
A．B．1 C．D．
【答案】A
【考点】三角函数性质
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
2.【2017课标3，文4】已知，则=（）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】.
所以选A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
3.【2017山东，文4】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由得,故选D.
【考点】二倍角公式
【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
4.【2017江苏，5】若则.
【答案】
【考点】两角和正切公式
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
5.【2017课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由得
又
所以
因为
所以
因为
所以
【考点】三角函数求值
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6.【2017北京，文16】已知函数.
（I）f(x)的最小正周期；
（II）求证：当时，．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，根据公式求周期；（Ⅱ）当时，先求的范围再求函数的最小值.
（Ⅱ）因为，
所以.
所以.
所以当时，.
【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应
用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
【答案】B
【解析】
考点：正弦函数的性质、二次函数的性质.
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当时，函数取得最大值.
2.[2016高考新课标Ⅲ文数]若，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】
试题分析：．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
3.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)=.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意,
因为,所以,
从而,因此．故填．
考点：三角变换
4.【2016高考浙江文数】已知，则______，______．
【答案】；1．
【解析】
考点：三角恒等变换.
【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简，再用辅助角公式化简，进而对照可得和．
5.【2016高考四川文科】=.
【答案】
【解析】
试题分析：由三角函数诱导公式.
考点：三角函数诱导公式
【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．
6.【2016高考北京文数】（本小题13分）
已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；
（Ⅱ）根据函数的单调递增区间对应求解即可.
考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.
【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．。