随机过程第一章(下)汇总

在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
随机过程的一维分布函数：
提示:
随机过程的二维分布函数：
1 F (x1, x2 ; 2 ,1)
有限个随机变量
随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量(X(t1),X(t2), …,X(tn))的n维联合分布函 数为:
③对于固定的e 和t， X(t,e)是一个标量，它表示 时刻t所处的状态。X(t )所有可能的状态构成的集 合称为状态空间;
④当t和e都是变量时， X(t,e)是一个随机变量族 或者时间函数族(称为随机过程）。
判断以下现象是否是一个随机过程？ （1）示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B), 其中，a,w为常量，B为初始相位，并为（0， 2π）上均匀分布的随机变量。
为XT的协方差函数(混合中心矩)，反映随机过程在时 刻t和s时的状态起伏值的线性相关程度。
def
mx (t) EX (t), t T
为XT的数学期望，反映随机过程在时刻t的平均值。
均方值和方差
反映随机过程t时刻平均功率
反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度
自相关函数
协方差函数
若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程， 而称
def
BX (s,t) E[{X (s) mX (s)}{X (t) mX (t)}], s,t T
随机变量
在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先 未知，但为确定的数值。 在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过 程中随时间t而改变的随机变量。此时，这种随 机现象是个“过程”。
随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程？
随机过程 电话交换台接入呼叫次数问题
某电话交换台在一定时间段内[ 0，t ]内接到的呼 叫次数是与t有关的随机变量，记为Z(t)；对于固 定的时刻t， Z(t)是一个取非负整数的随机变量， 故 {Z(t), t ∈[0,∞)}是一个随机过程。 对于一个固定的时刻t,Z(t)是一个随机变量。
天气预报问题
每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于 确定的一天（假设t=1，代表第一天），天气 状况是一个离散型的随机变量，记为Zt，所以， 每天的天气状况{Zt ，t=1,2,3…}是一个随机 过程。
对于一个固定的时刻t, Zt是一个随机变量
电阻的噪声电压 对于一个固定的时刻t,电阻的噪声电压X(t)是一 个随机变量， X(t)是随时间变化的， 所以噪声电 压{X(t)， t ∈[0,∞)}是一个随机过程。
在第Wi次试验中测量获得的噪声电压X(t)是一个样 本函数
定义2
设E是随机实验， Ω ={ e }是样本空间，对于每 一个样本e，总可以以某种规则确定一个时间函 数X(t,e) (称为样本函数或者轨道），t ∈T，则 对于所有的e ∈ Ω ，就得到一个函数的集合， 称此集合为随机过程，简记为X(t)
(2) 正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1) 分布的随机变量. 并画出X(t)的一个样本函 数.
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上 的类型区分随机过程的类型。
在时间和状态上都连续
连续型随机过程
在时间上连续， 状态上离散
离散型随机过程
在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
源自文库
w1 X (t) w2 X (t) w3 X (t)
wk X (t)
wn X (t)
t1
t2
随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是定义在T× Ω上 的一个二元函数。
①对固定的t，X(t,e)是一个随机变量;
②对固定的e， X(t,e)是随机过程{X(t,e),t ∈T} 的一个样本函数（轨道）。即定义在T上的普通 函数;
Ft1,,tn (x1, x2 ,, xn ) P{X (t1) x1, X (tn ) xn}
称为随机过程X(t)的n维分布函数.
这些分布函数的全体 F {Ft1,tn (x1, x2 , xn ),t1, t2 ,, tn T , n 1} 称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数族。
随机过程
有限维分布函数族 相容性 对称性
Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫）
设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数 族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随 机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，E[X(t)] 存在，则称函数
对于一个固定的时刻t, Xt是一个随机变量
我们必须对一些随机现象的变化过程进行研 究，必须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，
我们必须用一族随机变量才能刻画这种随机现象 的全部统计规律。我们通常将这族随机变量称为 随机过程。
定义1
设E是随机实验，Ω={ e }是样本空间，T是给 定的参数集，若对每个固定的时刻t∈T，X(t,e) 或者X(t)都是一个随机变量，则称随机变量族 {X(t,e),t ∈T}是一个随机过程。简记为X(t)。
第一章 随机过程的概念与基本类型
随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型
自然界事物的变化过程分为两大类： （1）具有确定形式的过程，可以用一个时间t的确定 函数来描述。 （2）另外一种过程没有确定的变化形式，不能用一 个时间 t的确定函数来描述。
例如：液面上的质点的运动。用{x(t),y(t)}表示t时 刻该质点在液面上的坐标。
n维概率密度函数为:
有限维分布函数的性质
对称性
对于{t1,t2, …,tn}的任意排列 {ti1 , ti2 ,, tin }
Ft1,,tn ( x1, x2 ,, xn ) Fti1 ,,tin ( xti1 ,, xtin )
相容性
当m<n时，
Ft1,,tm (x1, x2 ,, xm ) Ft1,,tm ,,tn (x1, x2 ,, xm , ,, )