福建省龙岩市非一级达标校2014-2015学年高二数学上学期期末质量检查试题 理

福建省龙岩市非一级达标校2014-2015学年高二数学上学期期末质量
检查试题 理
第1卷〔选择题 共50分〕
一、选择题〔本大题共10小题，每一小题5分，共50分，每一小题中给出四个选项，只有一项为哪一项符合要求的, 把答案填涂在答题卷的相应位置.〕 1．等差数列{}n a 中，1
21,3a
a ==，如此9a =
A ．19
B ．18
C ． 17
D ．9
2．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 3,60,6a A b ==︒=，如此B = A ．45︒ B ．30︒ C ．60︒ D ．135︒ 3．0a b >>，如下选项正确的答案是 A ．2a b a +>
B ．a c b c +<+
C ．
||||a b < D ．22a b >
4．假设动点P 到定点(2,0)F 的距离与它到直线02=+x 的距离相等，如此动点P 的轨迹方程是
A ．
x y 82-= B ．
x y 162
-= C ．x y 82= D ．
x y 162
= 5．命题“假设2
2b a >，如此b a >〞的否命题是
A ．假设 22b a ≤，如此b a >
B ．假设22
a b <，如此a b <
C ．假设 22b a ≤，如此b a ≤
D ．假设22
a b <，如此b a > 6．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . B c a cos 2=，如此
ABC ∆的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
7．假设实数y x ,满足约束条件
⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤112y y x x
y ，如此y x +2的最大值是
A ．34
B ．3
C ．2-
D ．2
8．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，221===AB AD AA , 假设,E F 分别为线段11D A ,1CC 的中点，如此直线EF 与平面
11A ADD 所成角的正弦值为 A ．36
B ．22
C ．33
D ．31
9．实数,,,a b c d 成等比数列，函数ln(4)y x x =+-， 当x b =时，取到极大值c ，如此ad 等于 A ．9-B ．9 C ．9±D ．81
10．c 是双曲线2222:1(0,0)
x y M a b a b -=>>的半焦距，如此c a b +的最小值是
A
B
． C
D
．
第2卷〔非选择题 共100分〕
二、填空题〔本大题共5小题，每一小题4分，共20
.〕
11．曲线3
()32f x x x =-+在区间
[1,2]处的最大值是 12．“2>x 〞是“42
>x 〞的 条件．〔充分 不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要〕
13．假设关于x 的不等式022
≥+-a ax x 的解集为R ，如此实数a 取值范围为 ． 14．如图，在正四棱柱
1111
ABCD A B C D -中，
11,2
AB AA ==点M 为1CC 的中点，如此点1D
到平面BDM 的距离为 ．
〔第14题图〕
〔第15题图〕
15．如图，在ABC ∆中，
6BAC π
∠=
且1BC =. 假设E 为BC 的中点，
如此AE 的最大值是 ．
三、解答题〔共80分，解答写在答题卷的相应位置，应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤.〕
16．〔本小题总分为13分〕 正项等比数列{}n a 中，,621=+a a .2443=+a a 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项；
〔Ⅱ〕数列{}n b 满足n n a b 2log =，求数列{}n n b a +的前n 项和n T ．
17．〔本小题总分为13分〕
ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且cos (2)cos 0a C c b A +-=．
〔Ⅰ〕求角A 的大小；
〔Ⅱ〕假设ABC ∆的面积为32，且32=a ．求c b +的值．
18．〔本小题总分为13分〕
如图, 在PCB ∆中，
.
4,3
,2
==
∠=
∠PB BPC PCB π
π
点D 为PB 的中点．假设APC ∆是
BPC ∆绕直线PC 顺时针旋转而成的，记二面角B PC A --的大小为θ．
〔Ⅰ〕当
2π
θ=
时，求证：平面ACD ⊥平面PBC ;
〔Ⅱ〕当
32πθ=
时，求锐二面角B CD A --
19．〔本小题总分为13分〕
如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙〔旧墙的长度大于4米〕，其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口.设矩形的宽为x 米，铁丝网的总长度为y 米.
〔Ⅰ〕写出y 与x 的函数关系式，并标出定义域；
〔Ⅱ〕问矩形的长与宽各为多少时，所用的铁丝网的总长度最小？
20．〔本小题总分为14分〕
椭圆C ：222
21(0)x y a b a b +=>>的离心率为23
，且椭圆C 经过点(0,1)．
〔第18题图〕
〔第19题图〕
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕椭圆C 上的动点00(,)P x y 00(0)x y ≠，其中点P 在x 轴上的射影为点N ，点P 关于原点O 的对称点为点Q ，求PQN ∆面积的最大值．
21．〔本小题总分为14分〕
函数
2()()x
f x ax e a R =-∈. 〔Ⅰ〕求函数()f x 在点(0,1)P -处的切线方程；
〔Ⅱ〕假设函数()f x 为R 上的减函数，试求a 的取值范围； 〔Ⅲ〕证明：对任意0a ≤，()1f x x ≤--恒成立．
龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查 数学〔理科〕试题参考答案
一、选择题〔本大题共10小题，每一小题5分，共50分〕
二、填空题〔本大题共5小题，每一小题4分，共20分〕
〔第20题图〕
N
Q
x
11．4 12．充分不必要
13．[0,1]
14．233
15．
312+
三、解答题〔共80分，解答需写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤〕 16．〔本小题总分为13分〕
17．〔本小题总分为13分〕 〔Ⅰ〕cos cos 2cos a C c A b A +=
sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+=···································2分
即
()sin sin 2sin cos A C B B A
+==···································4分
∴
1cos 2A =
∵0A π<<∴3A π
=
·················6分
〔Ⅱ〕113sin 23
22S bc A bc ===∴8=bc ······································8分
()bc
bc
c
b
A
bc
c
b
a-
-
+
=
-
+
=2
cos
22
2
2
2
()bc
c
b3
2-
+ =······································10分
∴
()36
24
12
3
2
2=
+
=
+
=
+bc
a
c
b························12分
∵0
b c
+>∴6
=
+c
b···························13分
18．〔本小题总分为13分〕
解：〔Ⅰ〕依题可知PC
AC⊥,PC
BC⊥
∴θ
=
∠ACB，····································2分
当2
π
θ=
时，有
C
BC
PC
BC
AC=
⋂
⊥,
∴⊥
AC平面ACD, ·······························4分
AC⊂平面ACD∴平面ACD⊥平面PBC·······················6分
〔Ⅱ〕如图，以点C为坐标原点，在平面PBC内垂直于BC的直线为x轴，,
CB CP所在的直线分别为
y轴，z轴，建立空间直角坐标系C xyz
-·······
如此
()
3
A()
B()
000
C，，()
002
P，，
又点D为PB的中点∴
()
D
设平面ACD的法向量为
()
111
m x y z
=，，
如此
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅
=
⋅
CD
m
CA
m
∴
()()
()()
111
111
30
00
x y z
x y z
⎧⋅-=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，，，
，，
∴⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
-
3
3
3
1
1
1
1
z
y
y
x
取
3
1
=
y
∴11
13
x z
==-
，∴
()
133
m=-
，
··················10分
又平面BCD的法向量
()
100
n=，，
···························11分
设二面角B CD A
--的大小为α
∴
13
1313
1cos =
=
=
α
∴锐二面角B CD A --
的余弦值为13. ························13分
19．〔本小题总分为13分〕
解：〔Ⅰ〕
4800
2-+
=x x y ·······································3分
04800
>-x ∴2000<<x ····························5分 ∴
4
800
2-+
=x
x y ()2000<<x ··················6分〔Ⅱ〕因为2000<<x ∴
764160024800
2=-≥-+
=x x y ··········10分
当且仅当
x x 800
2=
即20=x 米时，76min =y 米 ·················12分
∴当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小． ············13分
20．〔本小题总分为14分〕
解: 〔Ⅰ〕解:依题得
=且1b =,24a ∴=，························4分
所以椭圆的标准方程为2
21
4x y +=． ·····························5分 〔Ⅱ〕依题得，()
00,P x y ，
()
00,Q x y --，
()
0,0N x ，·······················6分
又因为
001
2PQN PON ONQ p Q S S S ON y y x y ∆∆∆=+=
-=·················9分
又22
0000
14x y x y =+≥⋅··························12分
即
001
x y ⋅≤
当且仅当
0x =，
02y =
时等号成立
PQN ∴∆的面积最大值为1． ··································14分
〔Ⅲ〕证明：当0a ≤ 由
()1
f x x ≤--得2
10x e ax x ---≥恒成立
令()12
---=x ax e x F x ，如此()21x F x e ax '=--···················10分
当0x <时，1,20x e ax <-≤()210x F x e ax '∴=--<
当0x >时，1,20x e ax >-≥()210x F x e ax '∴=-->·········12分
()
F x ∴在
(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增
∴()()0
min 010F x F e ==-=， 即()0≥x F 恒成立
综上所述，当0a ≤时，()1
f x x ≤--恒成立． ······················14分。