6.2.1空间向量基本定理 (教学课件)-高二数学苏教版选择性必修第二册

(2) 特例： 回顾O→P＝12(O→A＋O→B)，O→P＝λO→A＋(1－λ)O→B的几何意义． 【解析】 O→P＝12(O→A＋O→B)表示 P 为线段 AB 的中点. O→P＝λO→A＋(1－λ)O→B表示 P， A，B 三点共线．
解析
2. 探究空间向量基本定理 (1) 空间内的任一向量可以用空间的一个已知向量表示吗？为什么？空间内的任 一向量可以用空间的两个已知向量表示吗？为什么？ 【解析】 不能．一个向量只能表示与已知向量共线的向量；两个向量只能表示与 已知向量共面的向量． (2) 空间内的任一向量可以用空间的三个已知向量表示吗？ 【解析】 任一向量可以用三个不共面的空间向量表示． (3) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出来． 【解析】 略
O→A＋12O→B＋12O→C.
解析 答案
3. (多选)设 a，b，c 是空间的一个基底，则下列结论中正确的是( ) A. 若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c B. a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面 C. 对空间任一向量 p，总存在有序实数组(x，y，z)，使 p＝xa＋yb＋zc D. a＋b，b＋c，c＋a 一定能构成空间的一个基底
活动方案
活动一 探究空间向量基本定理 1. 知识回顾 (1) 平面向量基本定理： 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝_____________________________.
【解析】 λ1e1＋λ2e2
解析
所以{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
解析
活动三 空间向量基本定理的应用 例 2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，M， N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1) A→P； (2) A→1N；
解析
先把要求的空间向量放在一个平面内，利用平面向量的基本定理，用该平面内的已 知的向量来表示，最后用已知的基底来表示，体现了空间问题平面化．
如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，E，F 分别 是 AD1，BD 的中点．
(1) 用向量 a，b，c 表示D→1B，E→F； (2) 若D→1F＝xa＋yb＋zc，求实数 x，y，z 的值．
解析 答案
5. 已知 ABCD－A′B′B′D′是平行六面体． (1) 化简12AA→′＋B→C＋23A→B，并在图中标出结果； (2) 设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC′B′的对角线 BC′上的点，且 BN∶ NC′＝3∶1，设M→N＝αA→B＋βA→D＋γAA→′，试求 α，β，γ 的值．
【解析】 因为B→G＝23B→M＝13(B→C＋B→D)，B→E＝B→A＋A→E＝B→A＋14A→D＝B→A＋14(B→D－B→A)
＝34B→A＋14B→D，所以G→E＝B→E－B→G＝34B→A＋14B→D－13(B→C＋B→D)＝34B→A－13B→C－112B→D.
【答案】 34B→A－13B→C－112B→D
3. 推论： 设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
活动二 理解空间向量基本定理及相关概念
例 1 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列
向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有
解析
检测反馈
1. 若向量 a，b，c 是空间的一个基底，向量 m＝a＋b，n＝a－b，则可以与 m
B. b
C. c
D. 2a
【解析】 不共面的向量可以作为基底，向量 a，b，2a 与向量 m，n 都是共面向量， 不能构成空间的一个基底．向量 c 与向量 m，n 不是共面向量，所以可以与 m，n 构成 空间的一个基底的向量．
＋34AA→′＝αA→B＋βA→D＋γAA→′，
所以 α＝12，β＝14，γ＝34.
解析
解析
1. 空间向量基本定理： 如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组(x， y，z)，使 p＝xe1＋ye2＋ze3. 2. 概念： 由此定理可知，如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么空间的任一向量都可由 e1， e2，e3 线性表示，我们把{e1，e2，e3}叫作空间的一个基底，e1，e2，e3 叫作基向量． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别 地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常 用i，j，k表示．
→ (3) MP.
【解析】 (1) 因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝A→A1＋A→D＋12A→B＝a＋c＋12b. (2) 因为 N 是 BC 的中点， 所以A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－A→A1＋A→B＋12A→D＝－a＋b＋12c. (3) 因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.
() A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 0 个
【解析】 作为空间向量的基底原则是不共面，而①中 x＝a＋b，说明向量 x 与 a，
b 共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
解析 答案
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C ＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否作为空间的一个基底．
【解析】 假设O→A，O→B，O→C共面，则存在实数 λ，μ 使得 O→A＝λO→B＋μO→C，
所以 e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－ μ)e3，
－3λ＋μ＝1， 所以λ＋μ＝2，
2λ－μ＝－1，
此方程组无解，
所以O→A，O→B，O→C不共面，
【解析】 (1) D→1B＝D→1D＋D→B＝－A→A1＋A→B－A→D＝a－b－c， E→F＝E→A＋A→F＝12D→1A＋12A→C＝－12(A→A1＋A→D)＋12(A→B＋A→D)＝12(a－c)． (2) D→1F＝12(D→1D＋D→1B)＝12(－A→A1＋D→1B)＝12(－c＋a－b－c)＝12a－12b－c， 所以 x＝12，y＝－12，z＝－1.
【解析】(1) 取线段 AA′的中点 E，则 EA→′＝12AA→′，B→C＝A→D＝A′→D′，取 D′F
＝23D′C′，
因为 AB＝D′C′，所以23A→B＝23D′→C′＝D→′F，
则12AA→′＋B→C＋23A→B＝E→A′＋A′→D′＋D→′F＝E→F. 标图略．
(2) 因为 M→N＝M→B＋B→N＝12D→B＋34BC→′＝12(D→A＋A→B)＋34(B→C＋CC→′)＝12A→B＋14A→D
答案
【解析】 对于 A，b 与 a，c 都垂直，a，c 夹角不一定是π2，故 A 错误；对于 B， 根据基底的概念可知 a，b，c 两两共面，但 a，b，c 不可能共面，故 B 正确；对于 C，
根据空间向量的基本定理可知，C 正确；对于 D，因为 a，b，c 是空间一个基底，所以 a，b，c 不共面．假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，设 a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，化简，得 a
第6章
空间向量与立体几何
6．2 空间向量的坐标表示 6．2.1 空间向量基本定理
目 录
Contents
学习目标 活动方案 检测反馈
学习目标
1. 掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已 知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．
＋b＝ya＋xb＋(x＋y)c，即xy＝ ＝11， ， x＋y＝0，
无解，所以 a＋b，b＋c，c＋a 不共面，可以作
为基底，故 D 正确．故选 BCD.
解析
4. 在四面体 A－BCD 中，G 为三角形 BCD 的重心，E 为 AD 上一点，DE＝3AE， 以B→A，B→C，B→D为基底，则G→E＝______________.
解析 答案
2. 如图，在四面体 OACB 中，O→M＝2M→A，B→N＝N→C，则M→N等于( )
A. 12O→A＋12O→B－12O→C
B. 23O→A＋23O→B－12O→C
C. 12O→A－23O→B＋12O→C
D. －23O→A＋12O→B＋12O→C
【解析】 因为O→M＝2M→A，B→N＝N→C，所以M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A＝－23
解析
例 3 如图，在正方体 OADB－CA′D′B′中，E 是 AB 与 OD 的交点，M 是 OD′ 与 CE 的交点，试分别用向量O→A，O→B，O→C表示O→D′和O→M.
【解析】 因为O→D＝O→A＋O→B， 所以O→D′＝O→D＋D→D′＝O→A＋O→B＋O→C. 连接 CD′，易得△OME∽△D′MC，得DO′MM＝DO′EC. 又 OE＝12D′C， 所以 OM＝12D′M＝13OD′， 所以O→M＝13O→D′＝13O→A＋13O→B＋13O→C.