第4节复数--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

|z|=|a+bi|= 2 + 2 (a,b
∈R)
的模,记作|z|或|a+bi|
微点拨1.复数的实部与虚部都是实数,特别注意复数a+bi(a,b∈R)的虚部是
b,而不是bi.
2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件.
微思考“3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等结论对吗?为什么?
z1
z2
|z 1 | n
=|z |,|z |=|z|n(n∈N*).
2
6.复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环(包括圆
环的边界);
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.
自主诊断
题组一基础自测
1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”).
值为( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 设复数z在复平面中对应的点为Z,由题意可得|z+i|=|z-(-i)|=1,表示复
平面中点Z到定点C(0,-1)的距离为1,所以点Z的轨迹为以C(0,-1)为圆心,半
径r=1的圆.因为|z-i|表示复平面中点Z到定点B(0,1)的距离,所以
|ZB|≤|BC|+r=2+1=3,即|z-i|的最大值为3.
1+i
(1 + i)2
2=-1,z3=-i,z4=1,得z+z2+z3+z4=0,所
=
=i,所以z
1-i
(1-i)(1 + i)
以z+z2+z3+…+z2 023=505(z+z2+z3+z4)+z+z2+z3=-1.
规律方法
复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
加减法
复数的
乘法
复数的
除法
在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与
解 因为2i-3是方程的一个根,所以-2i-3也是这个方程的一个根,由根与系数
的关系,得

2
=(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.
题组二连线高考
5.(2023·新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象
-2
A.i+2
B.i-2
C.-2-i
D.2-i
解析
5
i-2
=
5(-i-2)
(i-2)(-i-2)
=
)
5(-i-2)
=-i-2,所以它的共轭复数为
5
i-2.
3.若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则m=
-1
.
解析 若复数z为纯虚数,则m+1=0,且m-1≠0,即m=-1.
4.已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p的值.
=( C )
(2 + )(2-)
A.-1
解析
B.1
5(1+i3 )
(2+i)(2-i)
=
C.1-i
5(1-i)
=1-i,故选
5
C.
D.1+i
1+
(4)(2024·云南昆明一中模拟)已知复数z= 1- ,则z+z2+z3+…+z2 023=(
A.-1
B.1
解析 依题意z=
C.-i
A )
D.i
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),ik+ik+1+ik+2+ik+3=0(k∈N*);
3.若
1
ω=-2
+
3
i,则
2
ω3=1,ω2=ω,1+ω+ω2=0;
4.若 z=z,则复数 z 一定是实数,反之亦然;
2
2
5.zz=|z| =|z| ,|z1z2|=|z1||z2|,
2
故 D 正确.
故选 BD.
1
错误;
2
=
1+i
1-i
=
(1+i)2
2
=
2i
=i,
2
[对点训练3](2024·山东济南模拟)已知复数z1,z2是关于x的方程x2-2x+3=0的
两根,则z1z2的值为( D )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
解析 (方法一)由 x2-2x+3=0,得 z1=1+ 2i,z2=1- 2i,所以
A和点B,则向量 对应的复数在复平面上所对应的点位于( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B,则A(2,-1),B(3,4),所以
=(1,5),
所以向量 对应的复数在复平面上所对应的点位于第一象限.
(3)(2024·江西赣州模拟)已知复数z满足|z+i|=1(i为虚数单位),则|z-i|的最大
[对点训练2](1)(2024·广东深圳红岭中学模拟)已知复数z=(1+i)·(m-2i)在复
平面内对应的点落在第一象限,则实数m的取值范围为( A )
A.(2,+∞)
B.(0,2)
C.(-2,2)
D.(-∞,-2)
解析 z=(1+i)·
(m-2i)=m+2+(m-2)i,在复平面内对应的点为(m+2,m-2),由于
z1z2=(1+ 2i)(1- 2i)=3.
2
(方法二)方程 x -2x+3=0,由韦达定理可得
C.0
D.1
解析
A.
1-i
∵z=2+2i
=
(1-i)2
2(1+i)(1-i)
1-
z=
,则
2+2
2
=
(1-i)
2
2(1-i )
=
z-z=( A )
1-2i+i2
1
2 =-2i,∴
2(1-i )
=
1
1 1
i.∴z-=ii=-i.故选
2
2 2
(2)(2024·湖南岳阳模拟)设复数z满足(1-i)z=|3+i|,则复数z的虚部是( D )
2-
例3(1)(2021·新高考Ⅱ,1)在复平面内,复数
对应的点位于( A )
1-3
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析
象限.
2-i
1-3i
=
(2-i)(1+3i)
10
=
5+5i
10
=
1+i
1 1
,所以该复数对应的点为(
,
),该点在第一
2
2 2
(2)(2024·山东淄博实验中学模拟)设复平面上表示2-i和3+4i的点分别为点
=
ac+bd
c2 +d2
+
bc-ad
c2 +d2
i(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有
z2+z1
z1+(z2+z3)
z +z =
,(z +z )+z =
.
1
2
1
2
3
常用结论
1.(1±i)
2
1+
1-
=±2i, 1- =i,1+ =-i;
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=
z1
④除法:
z2
=
a+b
c+d
=
(ac-bd)+(ad+bc)i ;
(a+b)(c-d)
(c+d)(c-d)
A.p=2
C.x1·2 =-2i
B.x2=1-i
1
D. =i
2
解析 因为实系数一元二次方程 x2+px+2=0 的两根为 x1,x2,且 x1=1+i,所以
2
x1x2=2,可得 x2=
1
=
2
=1-i,故 B 正确;又 x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以 p=-2,故 A
1+i
错误;由2 =1+i,所以 x1·2 =(1+i) =2i≠-2i,故 C
提示 不对.两个实数可以比较大小,但两个虚数只能判断它们是否相等,而
不能比较它们的大小.
2.复数的几何意义
微点拨若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|的几何意义是
点Z1,Z2之间的距离.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
限.故选A.
6.(2023·全国乙,文1)|2+i2+2i3|=( C )
A.1
C. 5
B.2
解析 |2+i +2i |=|2-1-2i|=|1-2i|=
2
3
12
D.5
2
+ (-2) = 5.故选 C.
5 + 14
7.(2023·天津,10)已知i是虚数单位,化简
的结果为
2 + 3
解析
5+14i
z=( B )
A.-i
B.7i
C.-5i
D.5i
解析 由题意得z=i(1+bi)+2+3bi=2-b+(3b+1)i,
2- = 0,
因为z为纯虚数,所以 3 + 1 ≠ 0,
解得b=2,所以z=7i.
-1 +
[对点训练1](多选题)(2024·广东惠州模拟)已知复数z=
,则下列选项

正确的是( AC )
2+3i
=
(5+14i)(2-3i)
(2+3i)(2-3i)
=
52+13i
=4+i.
13
4+i
.
2 研考点 精准突破
考点一 复数的四则运算
例
1
1 2
2
1(1)(2024·四川南充诊断)( +i) -(1- i) =(
2
2
A.0
B.2i
3
C.-2+2i
3
D.2-2i
解析
1
1
3
原式=4+i-1-(1-i-4)=-2+2i.
(1)复数z=a-bi(a,b∈R)中,虚部为b.( × )
(2)复数中有复数相等的概念,因此复数可以比较大小.( × )
(3)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数
对应的向量的模.(
)
5
2.复数
的共轭复数是( B
实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作
一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i
的幂写成最简形式
考点二 复数的有关概念
例 2(1)(2023·新高考Ⅰ,2)已知
A.-i
B.i
A.z的虚部为1
B.|z|=2
C.z2为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
解析
-1+i
z= i
=
i2 +i
=1+i,则
z
的虚部为
1,选项
A
正确;|z|=
i
2,选项 B 错误;z2=2i
为纯虚数,选项 C 正确;=1-i 在复平面内对应的点位于第四象限,选项 D 错误.
故选 AC.
考点三 复数的几何意义
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第4节 复数
课标解读
1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.
2.理解复数的代数表示法及其几何意义.
3.掌握复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加减的几何意义.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
当且仅当b=0时,a+bi为实数;
复数 形如 a+bi (其中a,b∈R)的数叫作复
当a=0且b≠0时,a+bi为纯虚
a
b
的概念 数,其中实部为
,虚部为
数;当b≠0时,a+bi为虚数
复数 a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)当且仅
实数能比较大小,虚数不能比
相等 当 a=c且b=d
较大小
共轭 a+bi与c+di共轭
实数a的共轭复数是a本身
A.C.
10
i
2
B.-
10
i
2
D.
10
2
10
2
解析 因为复数 z 满足(1-i)z=|3+i|,即(1-i)z=
10(1+i)
2
=
10
10i
+
,所以复数
2
2
z 的虚部是
32
10
.
2
+ 12
= 10,所以
10
z=
1-i
=
(3)(2024·湖北武汉模拟)复数z=i(1+bi)+2+3bi(b∈R),若z为纯虚数,则
1
i
2
1 +2
z1=1-2i,z2=1+i,所以 i·
2
=
2-i
i·(1+i)
=
2-i
-1+i
=
(2-i)(-1-i)
3
1
=-2 − 2i.
(-1+i)(-1-i)
考点四 复数与方程
例4(多选题)(2024·山东潍坊模拟)在复数范围内关于x的实系数一元二次方
程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则( BD )