人教版2019-2020学年上学期第一次月考高三理科数学试卷答题卡及答案

2019－2020学年上学期第一次月考
高 三 理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“()21,,log 1x x x ∀∈+∞=-”的否定是（ ）
A ．()21,,log 1x x x ∀∈+∞≠-
B ．()02001,,log 1x x x ∃∈+∞≠-
C ．()02001,,log 1x x x ∃∈+∞=-
D ．()21,,log 1x x x ∀∉+∞≠-
2.已知集合2
{|1}M x x
=＜，{|N y y ==，则()
R C M N =（ ）
A.(0,2]
B.[0,2]
C.∅
D.[1,2]
3.已知幂函数y ＝f(x)的图像经过点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，12，则f(2)＝( )
A.14 B ．4 C.2
2
D. 2
4.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是( ) A.y ＝x 2
B ．y ＝|x |＋1 C.y ＝－lg|x |
D.y ＝2|x |
5.已知函数f(x)＝2
1ln 2x x -⎛⎫- ⎪
⎝⎭
的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4) 6.若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b>c>a
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．c>a>b
7.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－
5.5)的值为( ) A．2 B．－1 C．－1
2
D．1
8.已知集合A＝{x∈R|1
2
<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2 C．m>2 D．－2<m<2
9.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为（）
10.设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
11.函数y＝e x＋e－x
e x－e－x
的图象大致为( )
12.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈
时，()f x =函
数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11
(2,2)()
44k k k Z -+∈ B ．11
(2,2)()
33k k k Z -+∈
C ．11(4,4)()44k k k Z -+∈
D ．11
(4,4)()
33k k k Z -+∈
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.
13. 1
51lg 2lg 222-⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
＝
14.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，
⎩⎨
⎧<≤<≤-+-=10,201,24)(2x x x x x f ，则43f f
⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
=___________ 15.已知函数f(x)＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是
________
16.已知函数()2,0
21,0
x e x f x ax x -⎧-≤=⎨-⎩＞(a 是常数且a >0)．对于下列命题：
①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；
③若f (x )>0在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上恒成立，则a 的取值范围是a >1；
④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有
122x x f +⎛⎫ ⎪
⎝⎭
<()()122f x f x +． 其中正确命题的序号是____________
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.(10分)设A ＝{x|x 2
－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}．
（1）若a ＝1
5
，试判定集合A 与B 的关系； （2）若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C.
18.（12分）已知c>0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2时，函数f(x)
＝x ＋1x >1
c 恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c 的取值范围．
19.（12分）已知函数f(x)＝x|m －x|(x ∈R)，且f(4)＝0.
（1）求实数m 的值； （2）作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； （3）根据图象指出f(x)的单调递减区间.
20. （12分） 已知函数2()41
x
x f x =+.
（1）判断()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义证明； （3）求满足(1)()f t f t -<的t 的取值范围. 21.（12分）已知函数f(x)＝log a
x ＋1
x －1
，(a>0，且a ≠1)． （1）求函数的定义域； （2）证明：f(x)＝log a x ＋1
x －1
在定义域上是奇函数；
（3）对于x∈[2，4]时，f(x)＝log a
x ＋1x －1≥log a m
（x －1）（7－x ）
( 0<a<1 )恒成立， 求实数m 的取值范围.
22．（12分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x ∈N *
)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －3x 500万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%. （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
2019－2020学年上学期第一次月考
理科数学试卷答题卡 成绩：
一、选择题（本题满分60分）
二、填空题（本题满分20分）
13 . 14.
15.
16.
三、解答题（本题满分70分）
班级 姓名 座号
密 封 装 订 线
2019－2020学年上学期第一次月考
高三理科数学试卷参考答案
一、选择题：
1.B
2.B
3.C
4.C
5.C
6.C
7.D
8.C
9.D 10.D 11.A 12.C
二、填空题： 13. -1 14.
15.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34 16.①③④ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.(10分)设A ＝{x|x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|ax －1＝0}． (1)若a ＝1
5，试判定集合A 与B 的关系；
(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C.
解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}．------------------2分 (1)当a ＝15时，由1
5x －1＝0，得x ＝5.----------------------------------------3分
∴B ＝{5}，∴B ⊆A .---------------------------------------------------------------5分
(2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，
∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.-----------------------------6分 若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1
a ，
∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝1
5
，-------------------------------------------8分
∴C ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
0，13，15.-----------------------------------------------------------------10分
18.（12分）已知c>0，设命题p ：函数y ＝c x
为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f(x)＝x ＋1x >1c
恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c 的取值范围． 解 由命题p 为真知，0<c<1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52
，-----------------4分 要使此式恒成立，需1c <2，即c>12
，---------------------------------------------------6分 若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
则p 、q 中必有一真一假，--------------------------------------------------------------7分
当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c≤12
；--------------------------------------------9分 当p 假q 真时，c 的取值范围是c≥1.-------------------------------------------------11分
综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c≤12或c≥1.----------------------------------------12分
19.（12分）已知函数f(x)＝x|m －x|(x ∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m 的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间.
解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.---------------------------------------3分
(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎨⎧
x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.
--------------------------------5分 ∴函数f (x )的图象如图：
由图象知f (x )有两个零点．---------------------------------------------------------8分
(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．------------------------12分
20. （12分） 已知函数2()41
x
x f x =+. （1）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并用定义证明；
（3）求满足(1)()f t f t -<的t 的取值范围.
解：（1）由已知得()f x 的定义域为(,)-∞+∞，-----------------------1分 2242()()4141414x x x x
x x x x
f x f x -----==⋅==+++
故()f x 为偶函数 -----------------------------------4分
（2）()f x 在[0,)+∞上是减函数，证明如下： -------------------5分
设210x x >≥
则()()121212224141
x x x x f x f x -=-++ 1221122(41)2(41)(41)(41)
x x x x x x +-+=++ 121212(22)(12)(41)(41)
x x x x x x +--=++------------------------6分 ∵210x x >≥，∴12220x x -<，12120x x +-<，1410x +>，2
410x +>， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >---------------------------7分
故()f x 在[0,)+∞上是减函数-------------------------------8分
（3） 由（1）得()f x 为R 上的偶函数，
故原不等式可化为(|1|)(||)f t f t -<，又由（2）知()f x 在[0,)+∞上是减函数，
故不等式可化为|1|||t t ->， -----------------------------10分
即22(1)t t ->，解得12t <
故t 的取值范围为1(,)2-∞-------12分 21. （12分）
解：(1)由x ＋1x －1
>0，解得x<－1或x>1，-----------------------------2分 ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．---------------------3分
(2)当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， ()()()()11log log 1111log log 11
11log 11
log 10
a
a a
a a a x x f x f x x x x x x x x x x x f x f x -++-+=+----+=++--+=⨯+-==∴-=-
--------------------------------------------------------------6分
∴f(x)＝log a
x ＋1x －1在定义域上是奇函数．---------------------------7分
方法2：f(－x)＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f(x)， -------------------------------------------------------------6分
∴f(x)＝log a x ＋1x －1
在定义域上是奇函数．---------------------------7分 (3)由于x∈[2，4]时，f(x)＝log a
x ＋1x －1≥log a m （x －1）（7－x ）( 0<a<1 )恒成立，
∴0<x ＋1x －1≤m （x －1）（7－x ）
恒成立，------------------------------9分 ∵x∈[2，4]，∴0<m 且m ≥(x ＋1)(7－x)在x∈[2，4]上恒成立.
令g(x)＝(x ＋1)(7－x)＝－(x －3)2＋16，x∈[2，4]，---------------10分
由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，4]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，4]时，g(x)max ＝g(3)＝16，--------------------------11分
∴m ≥16.-------------------------------------------------------12分
22．（12分）
解 (1)由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000，---------3分
即x 2－500x ≤0，又x>0，所以0<x ≤500.-------------------------5分
即最多调整500名员工从事第三产业．---------------------------6分
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x)(1＋0.2x%)万元，则10⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x)(1＋0.2x%)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500
x 2，-------------------8分 所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x
＋1恒成立， 因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x
＝4，-----------------------10分 当且仅当2x 500＝1 000x
，即x ＝500时等号成立．-------------------11分 所以a ≤5，又a>0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．------12分。