求圆锥曲线方程
圆锥曲线 公式
圆锥曲线是一个在三维空间中由一个固定点（焦点）和一个固定直线（直角方向线）确定的曲线。
根据焦点和直角方向线的位置关系，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
下面是各种圆锥曲线的基本方程：
1. 椭圆（Ellipse）的方程：
(x/a)² + (y/b)² = 1
其中，a为椭圆的长轴（长半径）长度，b为椭圆的短轴（短半径）长度。
2. 双曲线（Hyperbola）的方程：
(x/a)² - (y/b)² = 1 (右开口)
或
-(x/a)² + (y/b)² = 1 (左开口)
其中，a为双曲线的实轴（长半轴）长度，b为双曲线的虚轴（短半轴）长度。
3. 抛物线（Parabola）的方程：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c为抛物线方程的系数，确定了抛物线的形状和位置。
4. 直线（Line）的方程：
y = mx + c
其中，m为直线的斜率，c为直线的纵截距。
这些方程仅涵盖了基本形态的圆锥曲线方程。
在实际应用中，还可以根据具体情况进行方程的变形和扩展。
圆锥曲线标准方程求法
圆锥曲线标准方程求法一、椭圆标准方程求法1、定义法【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。
【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程.【例4】设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；2、待定系数法1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．2．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程．3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程．4.设椭圆:E 22221x y a b+=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。
3、转化已知条件【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12-.求点M 轨迹C 的方程;【例2】设Q 、G 分别为ABC ∆的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //｡求点C 的轨迹E【例3】已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;【例4】已知M （4，0）、N （1，0），若动点P 满足||6PN MP MN =⋅。
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识考点一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212180＜α≤0(tan x x y y --==）α2、直线方程：⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率BAk -=，y 轴截距为B C -）(6)k 不存在⇔a x b a x o=⇔⇔=）的直线方程为过（轴垂直,90α3、直线之间的关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=⑴平行：{⇔⇔≠=21212121//b b k k k k l l 且都不存在，212121C C B B A A ≠=⑵垂直：{⇔⇔⊥-=⇔-==21212111.021k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为：0=++n Ay Bx⑸定点(交点)系方程：过两条直线:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ反之直线0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实数R ，则直线一定过定点),(0yx ，即:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 两条直线的交点),(0y x4、距离公式： （1）两点间距离公式：两点),(),,(222211y x P x x P ：()()21221221y y x x P P -+-=（2）点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=（3）两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+- 其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D)其中圆心为(,)22D E --，半径为22142r D E F =+-.2、直线与圆的位置关系 点),(0y x 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：222222222)()()(rb y a x r b y a x rb y a x >-+-⇔=-+-⇔<-+-⇔）（点在圆外）（点在圆上）（点在圆内直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .切线方程：（1）当点),(00y x P 在圆222r y x =+上⇔200r y y x x =+圆222)()(r b y a x =-+-⇔200))(())((r b y b y a x a x =--+--（2）当点),(00y x P 在圆222r y x =+外，则设直线方程()00x x k y y -=-，并利用d=r求出斜率，即可求出直线方程【备注：切线方程一定是两条，考虑特殊直线k 不存在】 ④弦长公式：222||d r AB -=2212121()4k x x x x =+--3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +> ⇔有4条公切线 ⑵外切：r R d += ⇔有3条公切线 ⑶相交：r R d r R +<<- ⇔有2条公切线 ⑷内切：r R d -= ⇔有1条公切线 ⑸内含：r R d -< ⇔有0条公切线三、圆锥曲线与方程1．椭圆 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ， 即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即(01)MFe e d=<< 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B【备注】1、双曲线和其渐近线得关系：由双曲线求渐进线：x a by a x b y ax b y b y a x b y a x ±=⇒±=⇒=⇒=-⇒=-22222222222201由渐进线求双曲线：λ=-⇒=-⇒=⇒±=⇒±=2222222222220by a x b y a x a x b y a x b y x a b y2．等轴双曲线⇔实轴和虚轴等长的双曲线⇔其离心率e ＝2⇔渐近线x ±=y⇔方程设为λ=-22y x2、求弦长的方法： ①求交点，利用两点间距离公式求弦长； ②弦长公式） （消 ） （消x y y y y ky y k y x x x x k x x k l ]4))[(11(||11]4))[(1(1212212212212212212-++=-+=-++=-+=五、.直线与圆锥曲线的关系图形标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p >22x py = ()0p >22x py =-()0p >开口方向向右向左向上向下定义与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)顶点 ()0,0离心率 1e =对称轴 x 轴y 轴范围0x ≥0x ≤0y ≥ 0y ≤ 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =焦半径0,0()M x y 02p MF x =+02p MF x =-+02p MF y =+02p MF y =-+通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HH p '=焦点弦长 公式 12AB x x p =++参数p几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔1、直线与圆锥曲线的关系如：直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2+y 2b 2＝1 (a >b >0)的位置关系： 直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有2解，即Δ>0.直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔有1组实数解，即Δ=0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1⇔没有实数解，即Δ<【备注】（1）韦达定理（根与系数的关系）{AB x AC x C By Ax x -=+=⇔=++2121x .x 210x 的两根方程和则有21221214)(||xx x x x x -+=-（2）{b kx y bkx y +=+=1122则有下列结论b x x k y y ++=+)(2121)(2121x x k y y -=-22121221)(bx x k x x k y y +++=③、与弦的中点有关的问题常用“点差法”：把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差→弦的斜率与中点的关系；0202y a x b k -=（椭圆） 0202y a x b k =（双曲线）3、关于抛物线焦点弦的几个结论（了解）设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ=⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸ 112.||||FA FB P+=。
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解解题技巧利用参数方程求解圆锥曲线圆锥曲线是数学中重要的曲线类型之一，在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
解决圆锥曲线的问题时，常常需要利用参数方程来求解。
参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式，进而简化问题的求解过程。
下面将介绍一些常见的圆锥曲线问题，并讲解利用参数方程进行解答的技巧。
1. 圆锥曲线的参数方程表示圆锥曲线的参数方程表示为：x = x(t)y = y(t)其中，x(t)和y(t)分别是x轴和y轴上的坐标，t是参数。
通过参数方程，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而对其性质和特点进行研究。
2. 求圆锥曲线上的特定点利用参数方程，我们可以求解圆锥曲线上的特定点坐标。
以椭圆为例，其参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
通过选取合适的参数t，我们可以计算出椭圆上的各个点的坐标。
3. 求圆锥曲线的切线和法线参数方程还可以用来求解圆锥曲线上某一点的切线和法线。
对于曲线上任意一点P（x0，y0），其切线的斜率由参数方程导数dy/dx决定：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)通过求解dy/dx的值，并代入点P的坐标，可以得到切线的斜率。
进一步地，我们可以利用切线斜率和点P的坐标，得到切线的方程。
法线是与切线垂直的线段，其斜率是切线斜率的倒数的负数。
再利用点P的坐标，我们可以求解法线的方程。
4. 求圆锥曲线的弧长和曲率通过参数方程，我们还可以求解圆锥曲线上两点间的弧长。
弧长的计算公式为：L = ∫sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt其中，dx/dt和dy/dt分别是参数方程x(t)和y(t)的导数。
通过计算弧长，我们可以获得曲线上两点之间的路径长度。
曲率是指圆锥曲线在某一点处的弯曲程度。
其计算公式为：k = |(dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2) / ((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2)^(3/2)|通过计算曲率，我们可以了解曲线在某一点处的弯曲情况，并作进一步的分析和研究。
圆锥曲线求解方程
圆锥曲线求解方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥曲线是几何学中的一个重要概念，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
圆锥曲线经常出现在数学问题中，我们经常需要求解这些曲线的方程。
本文将介绍如何求解圆锥曲线的方程，并且以具体的实例来解释每种曲线的特点和解法。
我们来看圆的方程。
圆是一种平面上所有点到圆心的距离相等的曲线。
圆的方程一般形式为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
对于圆心坐标为(2,3)，半径为4的圆，其方程为(x-2)² + (y-3)² = 4²。
第三种圆锥曲线是双曲线。
双曲线是一条开口向内或向外的曲线，其形状介于椭圆和抛物线之间。
双曲线的一般方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1或(y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
对于中心坐标为(0,0)，x轴半轴长度为3，y轴半轴长度为2的双曲线，其方程可以是x²/9 - y²/4 = 1或者y²/4 - x²/9 = 1。
最后是抛物线的方程。
抛物线是一种对称的曲线，其形状可以根据焦点的位置而有所不同。
抛物线的一般方程形式为y = ax² + bx + c或者x = ay² + by + c，其中a、b、c是常数。
对于抛物线y = 2x² + 4x + 1，其焦点的位置可以根据方程中的a、b、c来确定。
当遇到圆锥曲线的方程时，我们可以通过观察曲线的形状和特点来快速判断出曲线的类型，并且用数学方法来求解方程。
通过本文的介绍，希望读者能够更加深入地理解圆锥曲线的求解方法，并且能够灵活运用这些方法解决实际问题。
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
利用圆锥曲线的参数方程解题
利用圆锥曲线的参数方程解题圆锥曲线是数学中常见的曲线类型，它可以通过参数方程来进行描述和求解。
利用圆锥曲线的参数方程，我们可以解决各种与这类曲线相关的问题。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程及其解题方法。
一、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们的参数方程可以分别表示如下：1. 椭圆的参数方程设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，t为参数，范围为[0, 2π)。
2. 双曲线的参数方程双曲线有两种类型：横双曲线和纵双曲线。
它们的参数方程分别为：横双曲线：x = a * sec(t)y = b * tan(t)纵双曲线：x = a * tan(t)y = b * sec(t)其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
3. 抛物线的参数方程设抛物线的焦点为F，准线为l，焦点到准线的距离为p，则抛物线的参数方程为：x = 2 * p * ty = p * t^2其中，t为参数，范围为(-∞, +∞)。
二、利用圆锥曲线的参数方程解题方法利用圆锥曲线的参数方程解题时，一般需要根据题目给出的条件来确定参数的具体取值范围，并通过参数方程的形式将曲线转化为参数的函数。
然后，可以利用参数方程进行曲线的绘图、求解焦点、顶点、直线与曲线的交点等问题。
下面以一个具体的例子来说明如何利用圆锥曲线的参数方程解题。
例题：已知椭圆的长半轴为2，短半轴为1，求椭圆上与直线y=x+1相交的点的坐标。
解：根据椭圆的参数方程可知：x = 2 * cos(t)y = sin(t)将直线方程代入参数方程中，得：sin(t) = 2 * cos(t) + 1经过一系列的化简与变形，可求得参数t的解。
然后，将参数t的解代入参数方程，即可求得与直线相交的点的坐标。
三、实例分析通过以上的介绍，我们可以看到，利用圆锥曲线的参数方程解题需要对参数方程进行化简、求解方程等操作。
圆锥曲线切线方程的五种求法
2013-12教学实践论———柯西不等式就此“诞生”！而此不等式的应用经常在数学竞赛中出现。
顿时，学生们眼中的喜悦无法言表。
我也深受感染，陶醉其中！从教学实例中我深深体会到：数学教学应充分挖掘学生的潜力，充分调动学生的主观能动性，放手让学生主动探究，教师适时引导，就会有意想不到的收获。
这正如古人云：授之以鱼不如授之以渔。
读懂读通教材及学生，教师在数学教学中才能做到游刃有余。
今后我将不断提高自己的知识素养与教学技能，全身心地投入到新课程的教学中。
（作者单位江苏省南京市栖霞中学烷基苯校区）•编辑刘俊婷切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M （x0，y0）的圆的切线l的方程.解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），∴OM=（x-a，y-b，MN=x-x0，y-y0），又∵OM⊥MN∴OM·MN=0即：（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0，即：［（x-a）-（x0-a）］（x0-a）+［（y-b）-（y0-b）］（y0-b）=0，所以过圆上的点M（x0，y0）的圆的切线l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-［（x0-a）2+（y0-b）2］=0，即：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，即l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.二、巧用变换设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，我们做变换：x=aμy=bv{，则可把椭圆化为单位圆：μ2+v2=1，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题：例2.求过椭圆x216+y29=1上一点M（22√，32√2）的切线l方程.解：令μ=x4，v=y3，则椭圆在新坐标系μOv下的方程是：u2+v2=1，点M（22√，32√2）在新坐标系μOv下的坐标是：（2√2，2√2），易知过圆u2+v2=1上的点（2√2，2√2）的切线方程是：2√2μ+2√2v=1，即：μ+v=2√，所以过椭圆上一点M的切线l的方程是：x4+y3=2√，即：3x+4y=122√.值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.解：设l的方程是：y-1=k（x-2）且k≠±2√2，即：y=kx-（2k-1），将它代入方程x2-2y2=2中整理得：（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，由已知得：△=［-4k（2k-1）］2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，得：2x-4yy′=0，即：y′x=2，y=1=x2y x=2，y=1=1，这就是所求切线的斜率，∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM 必与抛物线相切。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线五个方程模型
圆锥曲线五个方程模型圆锥曲线是数学中非常重要的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用。
圆锥曲线可以通过不同的方程来描述，下面将介绍五种常见的圆锥曲线方程模型。
一、标准椭圆方程标准椭圆方程是最常见的圆锥曲线方程之一。
在平面直角坐标系中，标准椭圆方程可以表示为：( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a > b > 0 )）其中，( a ) 和( b ) 分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
这个方程描述了一个中心在原点、长轴与x轴重合的椭圆。
椭圆是一种闭合曲线，具有两个对称轴，分别是x轴和y轴。
二、标准双曲线方程标准双曲线方程是另一种常见的圆锥曲线方程。
在平面直角坐标系中，标准双曲线方程可以表示为：( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a, b > 0 )）其中，( a ) 和( b ) 分别是双曲线的实半轴和虚半轴的长度。
这个方程描述了一个中心在原点、实轴与x轴重合的双曲线。
双曲线是一种开放曲线，具有两个分支，分别位于x轴的两侧。
双曲线也有两个对称轴，分别是x轴和y轴。
三、抛物线标准方程抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它的方程可以表示为：( y^2 = 2px )（( p > 0 )）这个方程描述了一个开口向右的抛物线。
抛物线是一种开放曲线，具有一个对称轴，即y轴。
在抛物线上，任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这个性质使得抛物线在物理和工程中有广泛的应用，例如抛物线运动、抛物面反射镜等。
除了上述开口向右的抛物线方程外，还有开口向左、向上和向下的抛物线方程，它们可以通过旋转或平移得到。
例如，开口向左的抛物线方程可以表示为( y^2 = -2px )，开口向上的抛物线方程可以表示为( x^2 = 2py )，开口向下的抛物线方程可以表示为( x^2 = -2py )。
【跃渊】高考冲刺求圆锥曲线方程的方法简析
，-3 ）
注解！
例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点 M（2，4），它们的对称轴都是坐标 轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线 在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭 圆、双曲线的右顶点连成的三角形的 面积为6.
4 Y
M
（x P p，yp）
-5
H
3A
O
x5 2
x
•P
思考：如何化去绝对值号？
P点在直线左侧时，|PH|<|PA|,不合题 如图， 意。故 x > -5
m
y
例1 动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离 比它到定直线x= -5的距离少2。
-5
P（x，y） x A
3
求：动点P的轨迹方程。 [解法一] 轨迹法
( x 3) ( y 0 )
( x 3) ( y 0 )
如图， 作直线 n：x = -3
m
n
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。 故，点P的轨迹是 以 A 为焦点， 以 n 为准线的抛物线。
a =
12 + 8 2 =
2
4 (3 + 2 2 ) = 2
3+2 2
2 ( 2 1) = 2 ( 2 + 1) = 2 2 + 2
2
F 2 O （m，0）
（a，0）
4
X
抛物线：y2 = 8x
+ y
2
椭圆、双曲线方程分别为
x
2
12 + 8 2
8+8 2
=1
x 12
圆锥曲线的方程和性质
圆锥曲线的方程和性质1）椭圆(ellipse)标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线(hyperbola)标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线(parabola)参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到准线的距离等于ex±a（到最近的准线的距离等于ex-a）圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+exP在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析 把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点，直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解 方法一 由PD →＝2MD →，知点M 为线段PD 的中点，设点M 的坐标为(x ，y )，则点P 的坐标为(x ，2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 2＋(2y )2＝4，所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)， 由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y ， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以x 20＋y 20＝4，(*)把x 0＝x ，y 0＝2y 代入(*)式，得x 2＋4y 2＝4， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案 x 2－y 23＝1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．解 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小， 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4， 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4， 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8， 所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． 答案 x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.反思感悟 求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为_________． 答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②，得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2，即ba＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程． 解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得 4－m25－4m2＝1， 解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B . (1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围． 解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2， ∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2)，A ，B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2，2)知4p ＝4，解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12.(2)由题意知，直线AB 不与y 轴垂直，设直线AB ：x ＝ty ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即y 21y 224＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4，解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2，y 2＝－2或y 1＝－2，y 2＝2时，等号成立． 所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2，y 0)(y 0>0)作两条直线l 1，l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解 由题意可知，动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等，所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，直线x ＝－12为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明 易知M (2,2)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1， 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)， 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0， 所以(b －1)2＝(2m －1)2， 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时，直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合，舍去； 当b ＝2m 时，直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0，－2)，所以直线AB 过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－b a＝tan 130°， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)， 所以p2＝2p ，解得p ＝8，故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a.在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． (1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1， 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0,0)．。
求圆锥曲线的方程
求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例1】 双曲线2224by x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点， |OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2, 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317,又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1.答案：1【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ，椭圆C 2的方程为 12222=+by ax ()a b >>0，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。
圆锥曲线知识点公式大全
圆锥曲线知识点公式大全圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都可以由一个动点（焦点）和一条定点到动点距离与到一条给定直线距离之比（离心率）确定。
1.椭圆的定义方程：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆的两条半轴的长度。
2.长轴和短轴：长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
焦距是c，满足c² = a² - b²。
3.离心率：离心率用e表示，e² = 1 - (b²/a²)。
离心率是一个衡量椭圆形状的指标，e=0表示圆。
4.双曲线的定义方程：(x/a)² - (y/b)² = 1或(y/b)² - (x/a)² = 1，其中a和b分别是双曲线的两条半轴的长度。
5.双曲线的焦点和离心率：双曲线有两个焦点和两条渐近线，焦点到双曲线上的任意一点的距离与焦距之差的绝对值恒等于离心率。
6.抛物线的定义方程：y² = 4ax或x² = 4ay，其中a是抛物线的焦点到准线的垂直距离。
7.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上的一个特殊点，准线是与焦点对称的一条直线。
以上是圆锥曲线的基本知识点和公式。
除此之外，还有一些拓展的知识点：-增量曲线：当焦点和准线都在y轴上时，圆锥曲线的公式可以表达为任意形式的增量曲线，如二次抛物线、双曲线等。
-参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，其中x = x(t)和y = y(t)是关于参数t的函数，通常t的取值范围是一个区间。
-极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程表示，其中r = r(θ)是关于极角θ的函数。
-高斯曲率：圆锥曲线在不同点处的曲率有所不同，而高斯曲率是描述曲面曲率性质的一个指标。
对于圆锥曲线来说，高斯曲率恒为常数。
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高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。
一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。
通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。
例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。
椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。
通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。
二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。
与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。
例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。
通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。
三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。
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微专题71 求曲线（或直线）的方程一、基础知识：1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理2、所学方程中字母的几何意义（1）直线：：斜率；()00,x y ：直线所过的定点 （2）圆：(),a b :圆心的坐标； :r 圆的半径（3）椭圆：2a ：长轴长，焦半径的和；2:b 短轴长；2c ：焦距 （4）双曲线：2a ：实轴长，焦半径差的绝对值；2:b 虚轴长；2c ：焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着,,a b c 展开，通过这些条件也可以求出,,a b c 的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：离心率：ce a=；通径（焦点弦长的最小值）：22b a 等（5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y kx m =+，x my t =+ ② 圆：220x y Dx Ey F ++++= ③ 椭圆：标准方程：()222210x y a b a b +=>>（或()222210y x a b a b+=>>，视焦点所在轴来决定）椭圆方程通式：()2210,0mx ny m n +=>>④ 双曲线：标准方程：()222210,0x y a b a b -=>>（或()222210,0y x a b a b-=>>，视焦点所在轴决定）双曲线方程通式：()2210mx ny mn -=> ⑤ 抛物线：标准方程：()220y px p =>等 抛物线方程通式：2y mx =，2x my =（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的交点的直线系方程为：120l l λ+=即()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=（其中λ为参数）② 与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为：0Ax By λ++=（其中λ为参数） ③ 与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为：0Bx Ay λ-+=（其中λ为参数）④ 过相交两圆221111222222:0:0C x yD xE yF C x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩交点的圆系方程为： ()1201C C λλ+=≠-即()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=⑤ 若直线:0l Ax By C ++=与圆221:0C x y Dx Ey F ++++=有公共点，则过公共点的圆系方程为：0C l λ+=即()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线22221x y a b-=渐近线相同的双曲线系方程为：()22220x y a bλλ-=≠ 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线与椭圆相交于,M N 两点，记直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，则椭圆的方程为（ ）A.221164x y += B. 22142x y += C. 2214y x += D. 2214x y += 思路：由已知可得2a =，所以只需利用条件1214k k =-求出的值即可，设()00,P x y ，()11,M x y ，则()11,N x y --。
则101121010,y y y y k k x x x x -+==-+，从而22101010122210101014y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由分子分母平方差的特点及,M P 在椭圆上联想到点差法，得：()()221122222101022200211140414x y b x x y y b x y b ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩，所以222102210144y y b x x -=-=-- 即21b =，所以椭圆方程为2214x y += 答案：D例2：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为,A B，且AB =（1）求椭圆C 的离心率（2）若斜率为的直线过点()0,2，且交椭圆C 于,P Q 两点，OP OQ ⊥，求直线的方程及椭圆C 的方程解：（1）由椭圆方程可得：()()(),0,0.,,0A a B b F cAB BF a ∴===AB=22254a b a =⇒+=2242a b a b ∴=⇒=::2:1:a b c ∴=c e a ∴==（2）由（1）可得椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=()()1122,,,P x y Q x y ，OP OQ ⊥ 12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=由已知可得，直线的方程为22y x =+联立方程：2222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 可得：()22242240x x b ++-=，即：2217321640x x b ++-= 2121216432,1717b x x x x -∴=+=-()()()212121212142222444417b y y x x x x x x -∴=++=+++=⋅22121216414401717b b x x y y --∴+=+⋅=，解得：1b =经检验：当1b =，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件∴椭圆方程为2214x y +=例3：已知直线:1l y kx =+，椭圆()222:109x y E m m+=>， （1）若无论为何值，直线与椭圆E 均有公共点，试求m 的取值范围及椭圆离心率关于m 的函数关系式（2）当k =E 相交于,A B 两点，与y 轴交于点M ，若2AM MB =，求椭圆E 的方程解：（1）由:1l y kx =+可知直线过定点()0,1l 与E 恒有公共点()0,1∴在椭圆上或椭圆内2201119m m∴+≤⇒≥ 293m m ≠⇒≠ m ∴的范围为[)()1,33,m ∈+∞若2913m m <⇒<<，则2229,a b m ==c ∴==c e a∴==若293m m >⇒>，则222,9a m b ==c ∴==3c e a∴==综上所述：3333m e m >⎪⎪=<<⎪⎩（2）由已知可得：13y x =+，()0,1M ∴ 设()()1122,,,A x y B x y()()1122,1,,1AM x y MB x y ∴=--=-2AM MB = ()12122121x x y y -=⎧∴⎨-=-⎩联立直线与椭圆方程可得：2221319y x x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y可得：22229193m x x m ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，整理后可得： ()()22210910mx m +++-=()212122291,1010m x x x x m m -∴+==++ 122x x =-()12222212221091210x x x m m x x x m ⎧+=-=⎪+⎪∴⎨-⎪=-=⎪+⎩①②2∴÷①②可得：()()222222101720912109110m m m m m ⎛⎫⎪+⎝⎭-=⇒-=+-+ ()()2211080m m ∴-+=，即429900m m +-=，解得：26m =或215m =-（舍） ∴椭圆方程为22196x y += 例4：过点()4,0A -，向椭圆()222210x y a b a b+=>>引两条切线，切点分别为,B C ，且ABC为正三角形，则ab 最大时椭圆的方程为（ ）A. 224143x y +=B. 228183x y +=C. 223144x y +=D. 223188x y += 思路：由题意可知本题确定,a b 值的关键在于ab 达到最大值时，,a b 的取值，那么需要得到关于,a b 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若ABC 为正三角形，则,AB AC 的斜率为3±，进而能够得到,AB AC 的方程。
以AB为例：()43y x =+，与椭圆方程联立并消元可得到：()2222222381630a bxa x a ab +++-=，所以220316a b ∆=⇒+=，则考虑利用均值不等式得到03ab <≤等号成立条件为223a b =，再结合22316a b +=即可求出,a b 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：,6OAB π∠=3AB k ∴=AB ∴的方程为：)43y x =+ ，联立方程：)22222243y x b x a y a b ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y ：()222222143b x a x a b ++=，整理后可得： ()2222222381630ab x a x a a b +++-=AB 与椭圆相切()()()22222228431630a a b a a b ∴∆=-+-=()44422224646412192360a a a b a b a b ∴--+-=即42222412192360a b a b a b -+=22316a b ∴+=由均值不等式可得：223a b +≥=163ab ∴≤⇒≤（等号成立条件为：223a b =） ab ∴的最大值为3，此时2222228383163a a b b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎩⎪⎩∴椭圆方程为：223188x y += 答案：D例5：已知点F 是椭圆C 的右焦点，,A B 是椭圆短轴的两个端点，且ABF 是正三角形 （1）求椭圆C 的离心率（2）直线与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为求椭圆C 的标准方程解：（1）设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由ABF 是正三角形可得：2a b =，因为222a b c =+∴解得：::2:1:a b c =c e a ∴== （2）由（1）可得椭圆的方程为：22244x y b +=， 设与椭圆C 的交点为()()1122,,,M x y N x y若斜率不存在，可得弦长MN = 若斜率存在，设:l y kx m =+，联立方程：()()22222224184044y kx mk x kmx m b x y b=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ ()2212122248,1414m b kmx x x x k k-∴+=-=++ ()()()()22222121212114MN k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=++-⎣⎦，整理可得：()()()22222222161414k b m k b MN k +-+∴=+l 与圆222x y b +=相切()2221d b m b k ∴==⇒=+， 代入到上式可得：()()()22222222222231312161641414k k k k MN b b k k ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤=++（等号成立条件：22312k k k =+⇒=±） max 2MN b ∴=2b b ∴=⇒=a ∴= ∴椭圆方程为：221123x y +=例6：设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求E 的离心率（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程 解（1）由M 在线段AB 上和2BM MA =可得：2BM MA =()(),0,0,A a B b1221,3333OM OB OA a b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭a ∴=::2a b c ∴=c e a ∴=== （2）由（1）中::2a b c =，可设1yAB x b+=⇒+= 由()(),0,0,A a C b -可得：1,22N b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设N 的对称点'07,2N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 依题意可得：0172222271x b b +-++=⎪⎪⎪⎛⎫⎨-- ⎪⎪= 可解得：3b =a ∴= ∴椭圆方程为221459x y +=1322103OMbb k a a ∴===例7：已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的半焦距为，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的距离为12c （1）求椭圆的离心率（2）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程 解：（1）过()(),0,0,c b 的直线的方程为：10x ybx cy bc c b+=⇒+-= 2212O l bc bc d c a b c --∴===+ 1122b b a a ∴=⇒=，由222a b c =+可得：22222324a c a c a ⎛⎫=+⇒= ⎪⎝⎭ 32c e a ∴== （2）由（1）可得：::2:1:3a b c =∴椭圆方程为：22222221444x y x y b b b+=⇒+=由圆方程()()225212x y ++-=可得：()102,1,2M r -=设()()1122,,,A x y B x y121242210210x x x x AB AB r +⎧+=-=-⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩==⎩设():21AB y k x =++，联立方程：()2222144y k x x y b=++⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2224214x k x b +++=⎡⎤⎣⎦，整理后可得： ()()()22221481241240k xk k x k b +++++-=()()221212228124124,1414k k k b x x x x k k ++-∴+=-=++ ()281214142k k k k +∴-=-⇒=+ 21282x x b ∴=-12AB x ∴=-==AB = 22213b b ∴-=⇒=∴椭圆方程为：221123x y += 例8：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，其中一条渐近线方程为()2b y x b N *=∈，P 为双曲线上一点，且满足5OP <，若1122,,PF F F PF 成等比数列，则双曲线C 的方程为__________ 解：1122,,PF F F PF 成等比数列221212124F F PF PF c PF PF ∴=⋅⇒=⋅由渐近线方程()2b y x b N *=∈可知：2a =，不妨设P 在右支上 1224PF PF a ∴-==()222121212=216PF PF PF PF PF PF ∴-+-⋅= 即22212816PF PF c +-=由中线定理可知：()22221222PF PF OF OP +=+()2221682c c OP∴+=+ 即()222228383203OP c a b b =+=++=+5OP <225203253b b ∴+<⇒< 由b N *∈可知21b = ∴双曲线方程为：2214x y -= 答案：2214x y -= 小炼有话说：中线定理：已知AD 为ABC 中底边BC 的中线，则有()22222AB AC AD BD+=+，证明如下：在ADB 中，由余弦定理可知： 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅ ①同理，在ADC 中，有： 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅ ② ADB ADC π∠+∠= 且由D 是BC 中点可知：BD CD =∴+①②可得：222222AB AC AD BD CD +=++，即()22222AB AC AD BD +=+例9：（2014，福建）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-（1）求双曲线E 的离心率（2）如图，O 为坐标原点，动直线分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为b y x a=± 22b b a a∴=⇒= 22225c a b a ∴=+=c e a∴== （2）若直线不与轴垂直，设()()1122:,,,,l y mx t A x y B x y =+ 联立方程：11122212t x x my t m y x t y m ⎧=⎪=+⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪-⎩ ，同理可得11122212t x x my t m y x t y m -⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨=--⎩⎪=⎪+⎩设直线与轴交于(),0C t1212OAB S OC y y ∴=⋅⋅-即22122841421212t t t t m m m +=⇒=--+ 由直线与渐近线的交点,A B 分别在第一、四象限可知：111222m m >⇒-<< 2140m ∴-> ()22414t m ∴=-由（1）可得双曲线方程为：222214x y a a-= 联立与双曲线方程：()()22222224184044x my t m y mty t a x y a=+⎧⇒-++-=⎨-=⎩ 因为与双曲线相切()()()2222816410mt t a m ∴∆=---= 整理可得：()()()222222441401440m a m a m a +--=⇒--= 所以24a = ∴ 双曲线方程为：221416x y -= ∴存在一个总与相切的双曲线E ，其方程为221416x y -= 例10：已知,A B 分别为曲线()222:10x C y a a+=>与轴的左，右两个交点，直线过点B 且与轴垂直，P 为上异于点B 的点，且P 在第一象限，连结AP 与曲线C 交于点M（1）若曲线C为圆，且3BP =，求弦AM 的长 （2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若,,O N P 三点共线，求曲线C 的方程 解：（1）若曲线C 为圆，则可知1a =22:1C x y ∴+= ()()1,0,1,0,1,3A B P ⎛∴- ⎝⎭()3113AP k ∴==-- AP ∴的方程：)1103y x x =+⇒-+=12O AP d -∴==AM ∴==（2）由已知可得：()(),0,,0A a B a -，设直线():AP y k x a =+()(),2y k x a P a ak x a=+⎧∴⇒⎨=⎩联立直线与椭圆方程可得：()()22222221x y x k x a a a y k x a ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩，整理后可得：()22232422120a k x a k x a k a +++-=可知该方程的两根为：,A M x a x =-，由韦达定理可得：422221A M a k a x x a k -=+ 32221M a a k x a k -∴=+ ()2221M M ak y k x a a k ∴=+=+ ，即3222222,11a a k ak M a k a k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,,O N P 共线，且BP 为圆的直径OP BM ∴⊥0OP BM ∴⋅=()32222222,2,,11a k ak OP a ak BM a k a k ⎛⎫-== ⎪++⎝⎭ 322222222011a k ak OP BM a ak a k a k -∴⋅=⋅+⋅=++ 4222222401a k a k a k-+∴=+，即4222240a k a k -+=解得：a =∴ 曲线C 的方程：2212x y +=。