湖北省武汉市2020届高三下学期六月供题(二)数学(理)试题

湖北省武汉市2020届高三下学期六月供题（二）数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}3
x A y y ==，{}0,1,2,3B =，则A B =（） A ．{}1,2,3 B ．()0,∞+ C ．{}0,1,2
D ．[)0,+∞ 2．i 是虚数单位，复数()012a i z a i +=
>-，若1z =，则a =（ ） A ．12 B ．1
C ．2
D ．3 3．下列函数是偶函数，且在()0,∞+上是增函数的是（ ）
A ．()ln f x x =
B ．()12f x x =
C ．()1f x x x =-
D ．()3x f x =
4．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N
叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比
S N 从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A ．10% B ．30% C ．50% D ．100% 5．设α、β、γ为平面，a 、b 为直线，给出下列条件：
①a α⊂，b β⊂，//a β，//b α ②//αγ，//βγ
③αγ⊥，βγ⊥ ④a α⊥，b β⊥，//a b
其中能推出//αβ的条件是（ ）.
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④ 6．若1
451
314,log 12,log 9a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
7．如图，在△ABC 中，π3
BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12
AP mAC AB m R =+∈，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为（ ）.
A ．3-
B ．1312-
C ．1312
D ．112- 8．若在231(3)2n x x -
的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．1352- B ．135- C ．1352
D ．135 9．函数()2ln x f x x x
=-的图象大致为（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
10．设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，||||OP OF =，则C 的离心率为( )
A ．5
B
C ．53
D ．54
11．将函数()222cos 1f x x x +-的图象向右平移02πϕϕ⎛
⎫<< ⎪⎝⎭
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12
min 6x x π-=，则ϕ=（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．512
π
12．若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩
的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦
B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦
C ．(20,2e ⎤⎦
D ．(3
0,2e ⎤⎦
二、填空题
13．抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则p = .
14．某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树
活动，设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ．则()|P B A =________．
15．在ABC 中，2AC =，1AB =，点D 为BC 边上的点，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD 的取值范围是______.
16．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，ABD △沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A BCD -.
①当AC =A BCD -
； ②当面ABD ⊥面BCD 时，AB CD ⊥；
③三棱锥A BCD -外接球的表面积为定值.
以上命题正确的是______.（填上所有正确命题的序号）
三、解答题
17．设递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37S =，且13a +，23a ，34a +成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令12log 64
n n a b +=，求12n b b b ++⋅⋅⋅+． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =.
(1)求BC 的长；
(2)求二面角N PM D --的余弦值.
19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>直线:10m x y -+=经过椭圆C 的上顶点，直线:10n x +=交椭圆C 于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,AP BP 分别交直线:40l x +=于,Q R 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：OQ OR ⋅（O 为坐标原点）为定值．
20．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A 、B 两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A 的概率为23、购买B 的概率为13
，而前一次购买A 产品的人下一次来购买A 产品的概率为14、购买B 产品的概率为34
，前一次购买B 产品的人下一次来购买A 产品的概率为12、购买B 产品的概率也是12
，如此往复.记某人第n 次来购买A 产品的概率为n P . （1）求2P ，并证明数列25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X 个人购买A 产品，求X 的分布列并求()E X ；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A 、B 产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
21．已知函数()e x f x a =（0a ≠，a ∈R ），()212
g x x =. （1）当2a =-时，若直线l 与曲线()y f x =及()y g x =都相切，求直线l 的方程； （2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x .
①求实数a 的取值范围；
②若213x x ≥，求实数1x 的最大值
22．已知曲线1C 的参数方程为2
221121t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
（t 为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线1C 和曲线2C 的的极坐标方程；
（2）射线π6θ=
与曲线1C 和曲线2C 分别交于M ，N ，已知点()4,0Q ，求QMN 的面积.
23．已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：
（1）222111a b c a b c ++++； （2）
1111222a b c
+++++.
参考答案
1．A
【分析】
求函数值域求得集合A ，由此求得两个集合的交集.
【详解】 由题{}0A y y =>，{}0,1,2,3B =，{}1,2,3A
B =.
故选A.
【点睛】
本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数函数的值域，属于基础题.
2．C
【分析】 ()()()()1222112121255
a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+，然后由1z =建立方程求解即可 【详解】
()()()()1222112121255
a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+
因为1z =1= 解得2a =±，因为0a >，所以2a =
故选：C
【点睛】
本题主要考查的是复数的计算，较简单.
3．D
【分析】
利用偶函数的定义、幂函数、指数函数和对数函数的单调性进行逐项判断即可.
【详解】
对于选项A ：因为()ln f x x =，所以其定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数()ln f x x =为非奇非偶函数，故选项A 排除；
对于选项B ：因为()12f x x
==
[)0,+∞，不关于原点对称，所以函
数 ()1
2f x x =为非奇非偶函数，故选项B 排除；
对于选项C ：因为()1f x x x
=-，所以其定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--
=--=- ⎪-⎝
⎭，所以函数()1f x x x =-为奇函数， 故选项C 排除； 对于选项D ：因为()3x f x =，所以其定义域为R 关于原点对称，
因为()()33x x
f x f x --===，所以函数()3x f x =为R 上的偶函数， 又当0x >时，()3x
f x =，又因为指数函数3x y =为R 上的增函数， 所以函数()3x f x =为()0,∞+上的增函数，故选项D 符合题意.
故选：D
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断和幂函数、指数函数和对数函数的单调性；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.
4．A
【分析】
根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案.
【详解】 当
1000S N
=时，2log (11000)C W =+ 当2000S N =时，2log (12000)C W =+ 则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003
W W W +-++=-≈-=+
又
1
1
3
4
11
lg10lg2lg10
43
=<<=，根据选项分析，
1
lg20.1
3
≈
所以信噪比S
N
从1000提升至2000，则C大约增加了10%.
故选：A.
【点睛】
本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.
5．C
【分析】
由①③分别可举反例，而②是面面平行的判定，④面面平行的推论，即可知答案【详解】
①有如下反例：
故，不能推出//
αβ
②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出//
αβ
③有如下反例：
故，不能推出//
αβ
④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出//
αβ故选：C
【点睛】
本题考查了面面平行，对“面面平行的判定与性质”等考点的理解，属于简单题 6．B
【分析】
直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.
【详解】
1434 1.52a ==<=
，又32512<，即32512<， 所以53log 122
b <=，所以a b <， 又551
3
1log 12log 252log 9b c =<===， 所以a b c <<，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.
7．C
【分析】
由2AD DB =及()12AP mAC AB m R =+∈，将()34
AP mAC AD m R =+∈由三点共线可求m 的值，再用AB 、AC 表示CD ，进而求AP CD ⋅即可
【详解】 ∵()12AP mAC AB m R =+∈，2AD DB =，即23AD AB =且2133
CD CB CA =+ ∴()34AP mAC AD m R =+∈，又C 、P 、D 共线，有314m +=，即14m = 即1142
AP AC AB =+，而CB CA AB =+ ∴2122()3333CD CA AB CA CA AB AB AC =++=+=-
∴AP CD ⋅=
2211211116913
()()24233343412
AC AB AB AC AB AB AC AC +-=-⋅-=--= 故选：C 【点睛】
本题考查了由向量的几何应用求向量的数量积，首先应用定比分点结合向量的加法法则求参数值，由向量加法的几何意义用已知向量表示目标向量，最后求向量的数量积 8．C 【解析】 试题分析：
，由于含有常数项，
，，
由于正整数取得最小值，当时，，因此常数项，故答案为C ．
考点：二项式定理的应用． 9．A 【分析】
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】
因为()f x 的定义域为{}
0x x ≠，关于原点对称，且
()()
2
2
ln ln ()x
x f x x x f x x
x --=--
=-
=-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故
CD 错误；当x →+∞时，()f x →+∞，故B 错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案． 10．A
根据直线43200x y -+=过点F 可先求得5c =,再画图分析可知2PFF △为直角三角形,再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】
因为直线43200x y -+=与x 轴的交点为()5,0F -,故半焦距为5c =.
设双曲线C 的右焦点为()25,0F ,连接2PF ,根据OP OF =可得2PFF △为直角三角形, 如图,过O 作OA 垂直于直线43200x y -+=,垂足为A ,则易知OA 为2PFF △的中位线.
又O 到直线43200x y -+=的距离4d =
=,所以228PF d ==,
6PF =
=,
故结合双曲线的定义可知222PF PF a -==,所以1a =. 故离心率
5c
a
=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据双曲线的几何性质,结合三角形的性质求解离心率的问题.需要根据题意确定焦点三角形中的长度关系求解.属于中档题. 11．C 【分析】
()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，
解得答案.
()
222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
()2sin 226g x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
ϕ，()()124f x g x -=，
则12min
226
T x x ππϕϕ-=
-=-=，故3πϕ=.
故选：C . 【点睛】
本题考查了三角函数平移，根据函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12．B 【解析】
由12f a -=-+（
） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，
当x e = 时，0e -＞ 2
显然成立；
当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得2
1x a lnx ≥-，
设2
01x g x x e lnx =-（），＜＜，
22
2(1)(23)
(1)(1)
x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'=
=-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）
递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；
当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得2
1
x a lnx ≤- ，
设22
(23)
1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），
由3
2 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在3
2 e e （，）
递减，
由3
2
x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递增， 即有)g x （ 在3
2
x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ， 综上可得302a e ≤≤ ． 故选B ．
【点睛】本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值. 13．2 【解析】
试题分析：抛物线2
2(0)y px p =>的准线为2
p
x =-
，而圆化成标准方程为22(1)2x y +-=
，圆心(0,1)M ，r =2
p
，所以
2222
()()22
p +=，即2p =. 考点：1.抛物线的准线方程；2.勾股定理. 14．
2
5
【分析】
可求出“男生甲被选中”被选中的方法，再求出“男生甲女生乙同时被选中”的方法数，然后计算概率． 【详解】
由题意“男生甲被选中”被选中的方法数是2
5()10n A C ==，“男生甲女生乙同时被选中”的方法数为1
4()4n AB C ==，
∴()42
(|)()105
n AB P B A n A =
==. 故答案为：25
. 【点睛】
本题考查条件概率，解题时可根据条件概率定义求出事件A 和事件AB 发生的方法数，然后
计算概率，也可先求出()P A 和()P AB ，再由条件概率公式计算. 15．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】 由+=ABD
ACD
ABC
S
S
S
，即可求得AD 的取值范围.
【详解】
=2(0,)2，，π
θθθ∠=∠∠=∈BAD CAD BAC
+=ABD
ACD
ABC
S
S
S
111
sin sin sin 2222
θθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅AB AD AC AD AB AC 4cos 3sin 2sin 23
θ
θθ=⇒=AD AD
4
(0,)3
∈AD
故答案为： 4
(0,)3
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，考查了运算求解能力，属于中档题目. 16．①③ 【分析】
①直接利用折叠问题的应用求出AB ⊥平面ACD ，最后求出锥体的体积． ②利用面面垂直和线面垂直的应用求出结果．
③首先求出锥体的外接球的半径，最后确定球的表面为定值． 【详解】
在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，ABD ∆沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A BCD -．
①当AC =222AC AB AD +=， 所以AB AC ⊥，由于AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面ACD ．
所以11132A BCD B ACD V V --==⨯⨯=
故①正确．
对于②当面ABD ⊥面BCD 时，过点A 作AE ⊥平面BCD ，交BD 于E ， 则AE CD ⊥，又CD 与平面ABD 不垂直， 故AB 与CD 不垂直，故②错误． 如图所示：
对于③，由于ABD ∆和BCD ∆为直角三角形，所以BD 的中点O 到A 、B 、C 、D 的距离相等，即四面体的外接球中心，
故三棱锥A BCD -外接球的表面积为定值．故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】
本题考查的知识要点：锥体的体积，球的半径的求法，面面垂直的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
17．（1）1
2n n
a ；（2）()
211,1621160,62n n n n n n ⎧-≤≤⎪⎪⎨-+⎪>⎪⎩
．
【分析】
（1）利用等比数列通项公式可构造方程组求得2a 和q ，进而求得结果；
（2）由（1）可确定n b ，得到n b 的符号；分别在16n ≤≤和6n >两种情况下求得结果即可. 【详解】
（1）由题意得：213123
634
7a a a a a a =+++⎧⎨++=⎩，
设等比数列{}n a 的公比为q ，则222222677a a a q q a a q a q ⎧
=++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩
，解得：22122a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩或，
{}n a 是递增数列，2q ∴=，2212222n n n n a a q ---∴==⋅=；
（2）由（1）知：1
2n
n a +=，22log 664
n
n b n ∴==-，
∴当6n ≤时，0n b ≤；当6n >时，0n b >；
当16n ≤≤时，()()
121
1162
n
n i n n b b b i =-++⋅⋅⋅+=
-=
∑； 当6n >时，()()26
1211
1160
2662n
n i i n n b b b i i ==-+++⋅⋅⋅+=-+-=∑∑；
()
12211,1621160,62n n n n b b b n n n ⎧-≤≤⎪⎪
∴++⋅⋅⋅+=⎨-+⎪>⎪⎩
．
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前n 项和的求解；解题关键是能够根据通项公式确定数列中的项的符号，从而进行分段求解. 18．（1）见解析；（2
）
【解析】
试题分析：（1）取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，由三角形中位线定理，以及线面平行的判定定理可得EN 平行于MD ，MN 平行于ED ，于是可得MNED 为平行四边形，所以2EN MD ==，24BC EN ==；
（2）取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，以A 点为原点，AF 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系，平面PMD 法向量为()1,0,0，利用向
量垂直数量积为零，列方程组求得
平面PMD 法向量为()1,0,0，平面PMN 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析：(1)取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，
因为EN 平行于BC ，AD 平行于BC ，所以EN 平行于MD ， 所以,,,M N E D 四点共面，
因为MN 平行于面PCD ，面PCD 与面MNED 交与ED ，所以MN 平行于ED ， 所以MNED 为平行四边形.
所以2EN MD ==，24BC EN ==.
(2取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，因为AD 平行于BC ，所以AF 垂直于AD ，于是以A 点为原点，AF 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系， 由AF 垂直于AD ，AF 垂直于AP ，平面PMD 法向量为()1,0,0， 通过计算得平面PMN 的法向量为
⎫
⎪⎭
.经判断知二面角为钝角，于是其余弦为
. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判断与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19．（1）2214
x y +=；
（2）详见解析． 【分析】
（1）根据直线m 求得b ，根据离心率以及222b c a +=求得,a c ，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出,,P A B 的坐标，求得直线AP 、直线BP 的方程，由此求得Q 点和R 点的纵坐标.
由此求得Q R y y ⋅的值，从而求得OQ OR ⋅的值. 【详解】
（1）据题设知，点(0,)b 在直线:10m x y -+=上，得1b =．
又因为
c a =
222b c a +=，0a >， 所以2a =
，c =
所以所求椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=．
（2）设()00,P x y ，(1,)A t -，(1,)B t --，则有2
200440x y +-=．
直线AP 的方程为00(1)1t y y t x x --=
+--．令4x =-，整理得()00
431Q x t y y x +-=+．
同理可得点R 纵坐标()000
341Q y x t
y x --+=+，
所以点,Q R 的纵坐标之积()()00000
433411Q R x t y y x t
y y x x +---+⋅=
⋅++
()()
2
22
002
0941y x t x -+=
+．
又因为2
2
00114y x =-
，234
t =， 所以()()()()
22200
022
00139143144311Q R x x x y y x x ⎛
⎫--+ ⎪-+⎝⎭⋅===-++， 所以()
()4,4,1613Q R Q R OQ OR y y y y ⋅=-⋅-=+⋅=，即OQ OR ⋅（O 为坐标原点）为定值． 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题. 20．（1）21
3
P =
，证明见解析；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）A 产品320份、B 产
品480份. 【分析】
(1)根据条件概率公式及全概率公式即可写出2P ，由全概率公式有
()111142n n n P P P +=⨯+-⨯即可证明25n P ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是等比数列；(2)由条件概率求出第二次来公
司购买A 、B 产品的概率，由3个人中有X =0、1、2、3个人购买A 产品，结合二项分布的概率公式即可得分布列，进而求期望；(3)由(1)所得的等比数列有2161
()5154
n n P =-⋅-，根据极限思想可知，当客户稳定时，第n 次来购买A 产品的概率约为2
5
，即可知公司每天应准备A 、B 产品的数量 【详解】 解：（1）22111134323
P =
⨯+⨯= 依题意，知()111
142
n n n P P P +=⨯
+-⨯，则1212545n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭*(1,)n n N ≥∈
当1n =时，可得124
515
P -
= ∴数列25n P ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是首项为
4
15公比为14
-的等比数列. （2）第二次买A 产品的概率21111
34323
A P =
⨯+⨯=；第二次买B 产品的概率2311234323
B P =⨯+⨯=
∴第二次来的3人中有X 个人购买A 产品，X 的所有可能取值为0、1、2、3
有()()33
120,1,2,333k
k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴X 的分布列为
故，()842101231279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （3）由(1)知：2161()5154
n n P =-⋅- ∴当n 趋于无穷大时，25n P ≈，即第n 次来购买A 产品的概率约为25 故，公司每天应至少准备A 产品320份、B 产品480份
【点睛】
本题考查了概率，由条件概率求非独立事件的发生概率，并结合全概率及二项分布概率公式得到分布列并求期望
21．（1）22y x =--；（2）①10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，②ln 3.2 【分析】
（1））当2a =-时，()2x f x e =-，分别设曲线()y f x =上的切点为()
11,2x x e -，曲线()y g x =上的切点为2221,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，根据导数的几何意义求出切线方程，根据题意两切线重合列出方程求解，即可得出结果；
（2）①()()212
x y f x g x ae x =-=-，对函数求导得到x y ae x '=-，令()x x ae x ϕ-=，分别讨论0a <，0a >，用导函数的方法研究函数()x x ae x ϕ-=的单调性，根据函数极值
点的个数，即可确定参数范围；
②令21x kx =（3k ≥），得1ln 1k x k =
-，令()ln 1
x h x x =-（3x ≥），对其求导，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.
【详解】
（1）当2a =-时，()2x f x e =-，
设曲线()y f x =上的切点为()11,2x x e -，则切线方程为()11122x x
y e e x x +=--， 设曲线()y g x =上的切点为2221,2x x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()222212
y x x x x -=-. 由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩
，则12=0=2x x ⎧⎨-⎩， 所以公切线方程为22y x =--.
（2）①令()()212
x y f x g x ae x =-=-，所以x y ae x '=-， 令()x x ae x ϕ-=，则()1x
x ae ϕ'=-， 当0a <时，()0x ϕ'<所以()x ϕ单调递减，不合题意.
当0a >时，令10x ae -=，得1ln
x a =， 当1ln x a <时，()0x ϕ'<；当1ln x a
>时，()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在1,ln
a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()x ϕ在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，则1ln 111ln ln 1ln 0a ae a a a ϕ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭
， 解得10a e
<<． 因为()00a ϕ=>，1211110a ae a a a a a ϕ⎛⎫=->⋅-= ⎪⎝⎭
（可以证明：当0x >时，2e x x >） 所以()10ln 0a ϕϕ⎛
⎫⋅< ⎪⎝⎭，11ln 0a a ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为函数的图象连续不断，所以函数在10,ln
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，11ln ,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭各存在一个零点， 故实数a 的取值范围是10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
. ②令21x kx =（3k ≥），可得
1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =-，
令()ln 1x h x x =-（3x ≥），则()()
211ln 1x x h x x --'=-，
又令()11ln t x x x =--（3x ≥），则()210x t x x
-'=<， 所以()t x 在[
)3,+∞上单调递减，所以()()23ln 303t x t ≤=-<， 所以()0h x '<，即()h x 在[)3,+∞单调递减，()()ln 332
h x h ≤=， 故1x 的最大值是
ln 3.2
【点睛】 本题主要考查求曲线的公切线方程，考查求由极值点个数求参数，考查由导数的方法求函数的最值，属于常考题型.
22．（1）()2cos21ρθθπ=≠，4cos ρθ=；（2
）【分析】
（1）曲线1C 消参得221(1)-=≠-x y x ，再利用cos ,sin x y ρθρθ==可得极坐标方程.
曲线2C 消参得()2224x y -+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ==可得极坐标方程. （2）设12(,
),(,)66ππρρM N ，求出MN 和Q MN d ，进而可得结果。

【详解】
（1）曲线1C 消参得221(1)-=≠-x y x ，其极坐标方程为()22222cos sin cos21ρθρθρθθπ-==≠，
曲线2C 消参得()2
224x y -+=其极坐标方程为222222cos 4c 4os sin 04cos 0ρθρθρθρθ-+==⇒⇒=-+x x y .
（2）设12(,),(,)66ππ
ρρM N
可得12π-4cos 6ρρ===MN
sin 426π
=⋅=Q MN d ，1=22
⋅⋅=QMN S 【点睛】
本题考查了参数方程与极坐标方程的转化，利用极坐标求三角形的面积等基本数学知识，考查了运算能力，属于中档题目.
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【分析】
（1）利用基本不等式，结合综合法，利用题中所给的条件，证明即可；
（2）利用1的代换，结合三元基本不等式证得结果.
【详解】
证明：（1）由条件1abc =得
2211122c a b ab
+≥=，当且仅当a b =时等号成立 2211122a b c bc
+≥=，当且仅当b c =时等号成立 2211122b c a ca
+≥=，当且仅当c a =时等号成立 以上三个不等式相加可得：22211122()a b c a
b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b c ==时等号成立 得证222
111a b c a b c ++++. （2）由条件1abc =得
111431()222(2)(2)(2)(2)(2)(2)
ab bc ca abc ab bc ca a b c a b c a b c +++-++--++==+++++++++， 由三元基本不等式得333ab bc ca
ab bc ++⋅=（等号成立当且仅当1a b c ===）
， 从而得证
1111222a b c +++++. 【点睛】 该题考查的是有关不等式的证明问题，涉及到的知识点有基本不等式，综合法证明不等式，三元基本不等式，属于中档题目.。