2020年江苏省徐州地区高二数学科市第五中学期中模拟卷(四)

徐州市第五中学期中模拟卷（四）
参考公式：(1)χ2
=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d 为样本量
(2)线性回归：①相关系数)
)()()((1
221
221
∑∑∑===--⋅-=
n
i i n i i n
i i
i y n y x n x y
x n y
x r
②2
1
21
)(ˆ∑∑==-⋅-=n i i
n
i i i
x n x
y
x n y x
b
， x b y a
ˆˆ-= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上. 1．若i x x )2007()2008(++-是纯虚数，则x = 。

2. 已知013=+ω，且ω是复数，请你写出满足条件的一个你喜欢的数 。

3.平行于同一直线的两直线平行. ∵a ∥b ，b ∥c ，∴a ∥c. 这个推理称为 推理.
4．在平面几何“圆”的性质中，有“经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心”，请你类比写出在立体几何“球”中的性质是 5．在5个点组成的散点图中，已知点A(1,3),B(2,4),C(3,10), D(4,6), E(10,12),则去掉点 后,使剩下的四点组成的数组相关系数最大.
6．如果(1)n i R +∈(i 是虚数单位)，则正整数n 的最小值是 . 7．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于 8。

观察下列等式：
11,14(12),149(123),=-=-+-+=++14916(1234),-+-=-+++…，
由此推测第n 个等式为 。

（不必化简结果） 9．已知Z 1、Z 2是复平面上两个定点，点Z 在线段Z 1Z 2的垂直平分线上，根据复数的几
何意义，写出它们所对应的复数Z 、Z 1、Z 2满足的关系式是
10.报载，中国的青少年在最近几年的体质情况逐年下降，某高校调查询问了56名男
女大
11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值等于 。

12．设π02
θ<<
，已知12cos a θ=，1n a +*()n ∈N ，通过计算数列{a n }的前几项，
猜想其通项公式为n a ＝ *()n ∈N . 13.若数列}{n a （n ∈N*），0n a >）是等差数列，设n
a a a
b n
n +++=
Λ21（n ∈N*），
则数列{}n b 也是等差数列．类比上述性质有：若数列}{n c （n ∈N*，0n c >）是等比数列，设=n d （n ∈N*），则数列{}n d 也是等比数列．
14．在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i Λ=，样本相关系数
r 具有下列哪些性质：（1）1≤r ；（2）r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱；
（3）r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；（4）r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强；请将正确的序号写出： 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）
（1）研究变量y与x的相关关系时，计算得0.94
r ，这说明y与x的相关程度如何？（2）求得y与x的线性回归方程之后，该方程所表示的直线一定经过哪个定点。

（写出解答过程）
16.（本小题满分14分））随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数。

陈成在学习中发现由41，43，47，53，61，71，83，97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数。

于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数。

（1）请你求出这个通项公式；
（2）从这个通项公式举出一个反例，说明陈成的说法是错误的。

17.（本小题满分14分）
已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ， 证(1)试求复数z 1；
（2）若121z z z -<，求a 的取值范围.
18.（本小题满分16分）
先解答（Ⅰ），再通过结构类比解答（Ⅱ）：
（Ⅰ）求证：1tan tan()41tan x
x x
π++=-；
(Ⅱ) 设1()
(),1()
f x x R f x f x π+∈+=-且试问：()f x 是周期函数吗？证明你的结论。

19．（本小题满分16分）
（1）已知Z 是复数，求证：①Z Z Z ⋅=2
；②Z Z Z Z -=-；
（2）已知z 1, z 2是复数,若|z 1-2z |=|1- z 1z 2|,求证：|z 1|, |z 2|中至少有一个值为1. 20（本小题满分16分）对于函数)],([)(1
1
)(2x f f x f x x x f =+-=
，设 )]([)(,)],([)(123x f f x f x f f x f n n ==+ΛΛ)2*,(≥∈n N n 且，
（1）写出),(2x f ),(3x f ),(4x f )(5x f 的表达式；
（2）根据（1）的结论，请你猜想并写出)(14x f n -的表达式； （3）若C x ∈，求方程x x f =)(2007的解集。

徐州市第五中学期中模拟卷（四）
参考答案：
1．2020． 2． i 2
321±=
ω 3。

演绎推理 4。

经过切点且垂直于切面的直线必经
过球心。

5。

点C 6。

4 7
8。

)321()1(432121222n n n ++++-=⋅-++-+--ΛΛ 9．21z z z z -=- 10。

95% 11。

3． 12。

1
2cos
2
n θ
- 13
14。

（1）（3）
15．（1）具有较强的正相关 （2）（80，80.8）
16.解：（1）根据题意知通项公式是)1(264241-+++++=n a n Λ41)1(+-=n n ； （2）取41=n 得16814141=⨯=n a 显然不是质数。

17. （1）由题意得 z 1=
i
i
++-151=2+3i ； （2）因21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ，1z =13
4)4(2+-a <13得a 2－8a+7<0，1<a<7, 所以a 的取值范围是1<a<7
18.（Ⅰ）tan tan
tan 11tan 4tan()41tan 1tan 1tan tan 4
x x x x x x
x π
ππ++++=
==--- （Ⅱ）()f x 是以4π为其一个周期的周期函数。

[]1()(2)()1()f x f x f x f x πππππ+++=++=-+Q ＝
1()
111(1()()11(f x f x f x f x f x +
+
-
=-+
--
））
， ∴[]1
(4)(2)2()(2)
f x f x f x f x ππππ+=++=-
=+，
所以()f x 是周期函数，其中一个周期为4π。

19．（1）设),(R b a bi a z ∈+=，证之。

（2）∵|z 1-2z |=|1- z 1z 2| ∴|z 1-2z |2=|1- z 1z 2|2. ∴(z 1-2z )）（21z z -=(1- z 1z 2))1(21z z -.
∴(z 1-2z )(1z - z 2)=( 1- z 1z 2)(1-1z 2z ). 化简后得z 11z + z 22z =1+ z 1z 21z 2z . ∴|z 1|2+|z 2|2=1+|z 1|2·|z 2|2. ∴(|z 1|2-1)(|z 2|2-1)=0. ∴|z 1|2=1,或|z 2|2=1.
∴|z 1|,|z 2|中至少有一个为1. 20. (1)x
x x f x x x x f x f x x f -+=-=+-=+-=∴+-
=11)(,1111)(21)(121)(32Θ )().....,()(,)(54x f x f x f x x f n 故==是以4为周期. (2) x x
x f x f n -+=
=∴-11)()(314； (3)0111)()(232007=+⇒=-+==∴x x x
x
x f x f ，所以原方程的解集为{}i i -,。