四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第三章 综合检测

第三章综合检测
一、选择题
1.已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,则“a=b=1”是“(a+b i )2=2i”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】当a=b=1时,(a+b i )2=(1+i )2=2i ,反之,(a+b i )2=a 2-b 2+2ab i =2i ,则a 2-b 2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,b=-1,故“a=1,b=1”是“(a+b i )2=2i”的充分不必要条件,选A .
【答案】A
2.复数=a+b i (a ,b ∈R ,i 是虚数单位),则a 2-b 2
的值为( ).(1‒i 2)2
A .0
B .1
C .2
D .-1
【解析】==-i =a+b i ,所以a=0,b=-1,所以a 2-b 2=0-1=-1.(1‒i 2)21‒2i +i 22【答案】D
3.复数z=(m ∈R ,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ).
m ‒2i 1+2i A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】z===
m ‒2i 1+2i (m ‒2i )(1‒2i )
(1+2i )(1‒2i ),其实部为(m-4),虚部为-(m+1),
15[(m ‒4)‒2(m +1)i ]1525由得此时无解.
{m ‒4>0,‒2(m +1)>0,{m >4,m <‒1,故复数z 在复平面内对应的点不可能位于第一象限.
【答案】A
4.已知复数z=-+i ,则+|z|=( ).
1232z A.--i B.-+i
12321232C.+i D.-i
1232123
2【解析】因为
z=-+,所以+|z|=--+=-i .
1232z 123
2(‒12)2+(32)21232【答案】D 5.设z ∈C ,若z 2为纯虚数,则z 在复平面内对应的点落在( ).
A .实轴上
B .虚轴上
C .曲线y=±x (x ≠0)上
D .以上都不对
【解析】设z=x+y i (x ,y ∈R),则z 2=(x+y i )2=x 2-y 2+2xy i .
∵z 2
为纯虚数,∴∴y=±x (x ≠0).{x 2‒y 2=0,xy ≠0,【答案】C 6.若复数z=a 2-1+(a+1)i (a ∈R )是纯虚数,则的虚部为( ).1z +a A .-B .-i C .D .i
2
5252525
【解析】由题意得所以a=1,
{
a 2‒1=0,
a +1≠0,所以===-i .
1z +a 11+2i 1‒2i (1+2i )(1‒2i )1525由虚部的概念,可得的虚部为-.
1z +a 25【答案】A
7.设复数z=(i 为虚数单位),z 的共轭复数为,则在复平面内i 对应的点的坐标为( ).
2‒1‒i z z A .(1,1)
B .(-1,1)
C .(1,-1)
D .(-1,-1)
【解析】∵z==-1+i ,∴i =i (-1-i )=1-i ,其在复平面内对应的点的坐标为(1,-1).
2
‒1‒i z 【答案】C
8.若关于x 的方程x 2+(1+2i )x+3m+i =0有实根,则实数m 等于( ).
A. B. C.- D.-1121211212
【解析】设方程的实数根为x=a (a 为实数),
则a 2+(1+2i )·a+3m+i =0,
∴
∴故选A .
{a 2+a +3m =0,2a +1=0,{a =‒12,m =112.【答案】A
9.已知复数z=(x-2)+y i (x ,y ∈R )在复平面内对应的向量的模为,则的最大值是( ).
3y x A. B. C. D.
32331
23
【解析】因为|(x-2)+y i |=,所以(x-2)2+y 2=3,所以点(x ,y )在以C (2,0)为圆心,以为半径的圆上,如图,
33由平面几何知识知-
≤≤.3y
x 3【答案】D
10.已知a ,b ∈R ,且为实数,则ab 等于( ).
a +i 1‒bi A .-1B .-2C .2D .1
【解析】∵==为实数,∴1+ab=0,∴ab=-1.
a +i 1‒bi (a +i )(1+bi )1+
b 2(a ‒b )+(1+ab )i
1+b 2【答案】A
11.定义:=ad-bc.若复数z 满足=-1+2i ,则z 等于( ).
|a b c d ||z 1‒i i |A .1+i B .1-i C .3+i D .3-i
【解析】由题意可得z i +i =-1+2i .
设z=a+b i (a ,b ∈R),则(a+b i )i +i =-1+2i ,
即(a+1)i -b=-1+2i .由复数相等的定义知{a +1=2,b =1,
得故z=1+i .
{a =1,b =1,【答案】A
12.在复平面内,设向量、分别对应非零复数z 1、z 2,若⊥,则是( ).
OZ 1OZ 2OZ 1OZ 2z 2
z 1A .非负数B .纯虚数C .正实数D .不确定
【解析】已知⊥,设z 1=a+b i ,z 2=c+d i ,a ,b ,c ,d ∈R,则有ac+bd=0.
OZ 1OZ 2∴===i .z 2
z 1c +di a +bi (ac +bd )+(ad ‒bc )i a 2+b 2(ad ‒bc )
a 2+
b 2【答案】B
二、填空题
13.设复数a+b i (a ,b ∈R )的模为,则(a+b i )(a-b i )= .
3【解析】=,所以a 2+b 2=3,
a 2+
b 23故(a+b i )(a-b i )=a 2+b 2=3.
【答案】3
14.已知复数z=(5-2i )2(i 为虚数单位),则z 的实部为 .
【解析】由题意得z=(5-2i )2=25-2×5×2i +(2i )2=21-20i ,其实部为21.
【答案】2115.复数z 与(z+2)2-8i 均为纯虚数,则z= .
【解析】设z=m i (m ≠0),则(z+2)2-8i =(4-m 2)+(4m-8)i 是纯虚数,
∴∴m=-2,∴z=-2i .
{4‒m 2=0,
4m ‒8≠0,【答案】-2i
16.已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,若=λ+μ(λ,μ∈R ),OC OA OB O 为坐标原点,则λ+μ的值是 .
【解析】由条件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),
OC OA OB 由=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
OC OA OB ∴解得∴λ+μ=1.
{‒λ+μ=3,2λ‒μ=‒4,{λ=‒1μ=2.【答案】1
三、解答题
17.已知z 1=2+i ,z 2=,求z 1z 2.z 1+i
(2i +1)‒z 1【解析】∵z 2======-2i ,z 1+i
(2i +1)‒z 12+i +i (2i +1)‒2‒i 2+2i ‒1+i 2(1+i )(‒1‒i )(‒1+i )(‒1‒i )‒2(1+i )2
2∴z 1z 2=(2+i )(-2i )=2-4i .
18.已知复数x 2+x-2+(x 2-3x+2)i (x ∈R )是复数4-20i 的共轭复数,求实数x 的值.
【解析】因为复数4-20i 的共轭复数为4+20i ,
由题意得x 2+x-2+(x 2-3x+2)i =4+20i .
根据复数相等的充要条件,得
{
x 2+x ‒2=4,　①x 2‒3x +2=20,　②方程①的解为x=-3或x=2.
方程②的解为x=-3或x=6.
所以实数x 的值为-3.
19.虚数z 满足|z|=1,z 2+2z+<0,求z.
1z 【解析】设z=x+y i (x ,y ∈R,y ≠0),则x 2+y 2=1,
∴z 2+2z+=(x+y i )2+2(x+y i )+1z 1
x +yi
=(x 2-y 2+3x )+y (2x+1)i .
∵y ≠0,z 2+2z+<0,
1z ∴{
2x +1=0,　①x 2‒y 2+3x <0,　②又x 2+y 2=1,　③
由①②③得∴z=-±i .{x =‒12,y =±32.
123220.设z=log 2(1+m )+ilo (3-m )(m ∈R ).
g 1
2(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限,求实数m 的取值范围;(2)若z 在复平面内对应的点在直线x-y-1=0上,求m 的值.
【解析】(1)由已知得{
log 2(1+m )<0,　①log 12
(3‒m )<0,　②解①得-1<m<0.
解②得m<2.
故不等式组的解集为{m|-1<m<0},
因此实数m 的取值范围是{m|-1<m<0}.(2)由已知得,点(log 2(1+m ),lo (3-m ))在直线x-y-1=0上,
g 12即log 2(1+m )-lo (3-m )-1=0,
g 12整理得log 2[(1+m )(3-m )]=1.
从而(1+m )(3-m )=2,即m 2-2m-1=0,解得m=1±,当m=1±时都能使1+m>0,且3-m>0.故m=1±.22221.(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限,|z|=1,且z+=1,求实数z 的值;
z (2)已知复数z=-(1+5i )m-3(2+i )为纯虚数,求实数m 的值.
5m 2
1‒2i 【解析】(1)设z=a+b i (a ,b ∈R),
由题意得解得{a 2+b 2=1,2a =1,{a =12,b =±3
2.
∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限,∴b=-.3
2∴z=-i .
123
2(2)z=-(1+5i )m-3(2+i )=(m 2-m-6)+(2m 2-5m-3)i ,依题意,m 2-m-6=0,解得m=3或m=-2.5m 2
1‒2i ∵2m 2-5m-3≠0,∴m ≠3,∴m=-2.
22.已知z 1=x+y i ,=x-y i (x ,y ∈R )且x 2+y 2=1,z 2=(3+4i )z 1+(3-4i ).
‒z 1‒
z 1(1)求证:z 2∈R .
(2)求z 2的最大值和最小值.
【解析】(1)∵z 1=x+y i ,=x-y i (x ,y ∈R),‒z 1∴z 1+=2x ,z 1-=2y i .
‒z 1‒
z 1∴z 2=(3+4i )z 1+(3-4i )=3(z 1+)+4i (z 1-)=6x+8y i 2=6x-8y ,∴z 2∈R .
‒z 1‒z 1‒z 1(2)∵x 2+y 2=1,∴设x=cos θ,y=sin θ,θ∈R,∴z 2=6cos θ-8sin θ.令sin φ=,cos φ=,
3545∴z 2=10sin φcos θ-10cos φsin θ=10sin (φ-θ).∵-1≤sin (φ-θ)≤1,
∴-10≤z 2≤10,
即z 2的最大值为10,最小值为-10.。