高中数学课时分层作业9椭圆的几何性质二含解析新人教B版选修1_1

课时分层作业(九) 椭圆的几何性质(二)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，该点在椭圆内部，因此直线与椭圆相交．]
2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝
1的交点个数为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．0或1 A [由题意，得
4
m 2＋n
2
＞2，所以m 2＋n 2
＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )
在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有2个交点．故选A.]
3．椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范
围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 B [设P (x ，y )，直线PA 1，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝y x ＋2·y x －2＝y 2
x 2－4＝
3－34x 2x 2－4＝－34，因为k 2∈[－2，－1]，所以k 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34.] 4．若椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为
22，则n
m
的值为( ) A ．2
2 B ． 2 C ．
32
D ．
2
9
B [由直线x ＋y －1＝0，可得y ＝－x ＋1，代入mx 2
＋ny 2
＝1得(m ＋n )x 2
－2nx ＋n －1＝0.
设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2－(x 1＋x 2)＝2m
m ＋n
.设AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫n m ＋n ，m m ＋n ，∴OM 的斜率k ＝m n ＝22，∴n m ＝ 2.] 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
3
，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k
的值为( )
A ．±1
B ．± 2
C ．±
33
D ．± 3
C [因为椭圆的离心率为
33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2
＝23
a 2.当x ＝
b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23
＋k
2
＝1，k 2
＝13，所以k ＝±33
，选C.]
6．直线y ＝x －1被椭圆x 2
4
＋y 2
＝1截得的弦长为________．
82
5 [联立直线与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，x 24
＋y 2＝1⇒5x 2
－8x ＝0，
解得x 1＝0，x 2＝85
，
∴弦长d ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2×85＝825
.]
7．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 2
16＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →
＝0，
则|PM →
|的最小值是________．
3 [易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM →·AM →
＝0， ∴AM →⊥PM →.
∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2
－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →
|min ＝2，
∴|PM →
|min ＝ 3.]
8．已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以
A ，
B 为焦点且经过点P ，则椭圆
C 的离心率的最大值为________．
10
5
[A (－1,0)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为A ′(－2，1)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则椭圆C 的长轴长的最小值为|A ′B |＝(1＋2)2
＋1＝10，所以椭圆C 的离心率的最大值为c a
＝
1102
＝
10
5
.] 9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为
2
2
，F 1，F 2为其焦点，一直线过点F 1与椭圆相交于A ，B 两点，且△F 2AB 的最大面积为2，求椭圆的方程．
[解] 由e ＝
2
2
得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1， 所以椭圆方程设为x 2
＋2y 2
＝2c 2
. 设直线AB ：x ＝my －c ， 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝my －c ，x 2
＋2y 2
＝2c
2
得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2
＝0，
Δ＝4m 2c 2
＋4c 2
(m 2
＋2)＝4c 2
(2m 2
＋2) ＝8c 2
(m 2
＋1)＞0. 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1，y 2是方程的两个根．
由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧
y 1
＋y 2
＝2mc
m 2＋2
，y 1y 2
＝－c
2
m 2
＋2
，
所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝22c m 2＋1
m 2＋2，
S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝c ·22c ·m 2
＋1
m 2＋2
＝
22c
2
m 2＋1＋
1
m 2＋1
≤22c 2·12
＝2c 2
，
当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2
＝2，c ＝1，
所以，所求椭圆方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
10．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)．
(1)求证：1a 2＋1
b
2等于定值；
(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3
3
，22，求椭圆长轴长的取值范围． [解] (1)证明：椭圆的方程可化为b 2x 2
＋a 2y 2
－a 2b 2
＝0.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
b 2x 2
＋a 2y 2
－a 2b 2
＝0，
x ＋y －1＝0，
消去y 得(a 2
＋b 2
)x 2
－2a 2
x ＋a 2
(1－b 2
)＝0.
由Δ＝4a 4
－4(a 2
＋b 2
)·a 2·(1－b 2
)＞0得a 2
＋b 2
＞1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a 2
a 2＋
b 2，x 1x 2＝a 2
(1－b 2
)a 2＋b 2.
∵OP →⊥OQ →
， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.
∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0. ∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， 即2a 2
(1－b 2
)a 2＋b 2
－2a 2a 2＋b 2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2
，即1a 2＋1b
2＝2.
∴1a 2＋1
b
2等于定值．
(2)∵e ＝c a
，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝a 2
－a 2e 2
， 又∵a 2
＋b 2
＝2a 2b 2
， ∴2－e 2
＝2a 2
(1－e 2
)， 即a 2
＝2－e 2
2(1－e 2)＝12＋1
2(1－e 2)
.
∵
33≤e ≤22
， ∴54≤a 2
≤32，即52≤a ≤62
，
∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．
[能力提升练]
1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A ．3 2
B ．2 6
C ．27
D ．4 2
C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2
＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎨
⎧
mx 2＋ny 2
＝1，x ＋3y ＋4＝0，
消去x ，得(3m ＋n )y
2
＋83my ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2
－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m
＝16
①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1
n
＝4 ②，联立①②，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1
7
，
n ＝13，
故椭圆的方程为x 27＋y 23
＝1，所以长轴长为27.故选C.]
2．已知椭圆x 2
12＋y 2
16＝1，则以点M (－1,2)为中点的弦所在直线方程为( )
A ．3x －8y ＋19＝0
B ．3x ＋8y －13＝0
C ．2x －3y ＋8＝0
D ．2x ＋3y －4＝0
C [设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2112＋y 2
1
16＝1，
x 2
2
12＋y
22
16＝1，
两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)12＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
16
＝0，整理得
y 1－y 2x 1－x 2＝23，∴弦所在的直线的斜率为23，其方程为y －2＝2
3
(x ＋1)，整理得2x －3y ＋8＝0.故选C.]
3．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，若M 是线段
AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．
2
2
[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2＋y 21
b 2＝1， ① x 22a 2＋y 22
b
2＝1， ②
①－②得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
b
2
＝0. 又M (1,1)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，
所以2a 2＋－12×2b 2
＝0，所以a 2＝2b 2
，所以e ＝22
.] 4．椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则
点P 的横坐标的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫－263
，263 [设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，
则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →
＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →
<0， 即x 2
－3＋y 2
<0，①
∵y 2＝1－x 2
4，代入①得x 2
－3＋1－x 2
4<0，
34x 2＜2，∴x 2＜8
3
. 解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263
，263.]
5．设椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为
(2,0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .
解：(1)由已知得F (1,0)，当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝1. 由已知可知，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，
22或⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－22. 又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－
22x ＋2或y ＝2
2
x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为
k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得
k MA ＋k MB ＝
2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k
(x 1－2)(x 2－2)
.
将y ＝k (x －1)代入x 2
2＋y 2
＝1，得
(2k 2
＋1)x 2
－4k 2
x ＋2k 2
－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2
－2
2k 2＋1
.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3
－4k －12k 3
＋8k 3
＋4k
2k 2
＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .。