山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题(含答案)

2022-2023第一学期期末测试
高三数学
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{}2
650x x x -+≤，B ＝{x y ，则A∩B 等于( )
A ．[1,3]
B ．[1,5]
C ．[3,5]
D ．[1，＋∞)
2．若复数z 满足：1i z =+，则22z z -的共轭复数的虚部为（ ） A ．-2
B ．i
C ．0
D ．2
3．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ） A ．184斤
B ．176斤
C ．65斤
D ．60斤
4．已知随机变量X 服从正态分布()2
2,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则
()150.75P X -<≤==（ ）
A ．0.5
B ．0.625
C ．0.75
D ．0.875
5．已知3cos 234πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则25sin 6πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A B C ． D ．6．设1F ，2F 是椭圆22143
x y
+=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且点P 到两个焦点的距
离之差为1，则12PF F △的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
2
D ．52
7．已知函数()4cos cos 1(0)2226x x f x πωωπω⎛⎫⎛⎫=-⋅--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间3,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，且在区间[]0,π上只取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．定义在R 上的函数()f x 满足1
(1)()3
f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2
()f x ≤
，则m 的取值范围是（ ）
A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．11,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足
PA PB
＝1
2.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（ ）
A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9
B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得
PD PE
＝1
2
C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线
D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =
10．已知函数()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,a 上的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，则实数a 的可能
取值为（ ） A ．
3
π
B ．
23
π C ．
43
π D ．
53
π 11．对于伯努利数()N n B n ∈，有定义：00
1,C (2)n k
n n k k B B B n ===∑.则（ ）
A ．216
B =
B ．4130
B =
C ．61
42
B =
D ．230n B +=
12．已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+（ω为正整数，π2ϕ<
）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，将函数()f x 的图象向右平移π
6
个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数
()f x 的说法正确的是（ ）
A ．π6
-是函数()f x 的一个零点 B ．函数()f x 的图象关于直线5π12
x =-
对称
C ．方程()1
2
f x =
在[]0,π上有三个解 D ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从
14．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作倾斜角为60︒的直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作C 的切线1l 、2l ，1l 与2l 交于点P ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为M ，
N ，则四边形PMFN 的面积为______________．
15．已知函数()()()22
56f x x x x x =+-+，则()f x 的最小值为____.
16．已知函数()11f x x m x a x m x
=+
+-+--有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a 的取值范围为__________．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23
，回答第三个问题正确的概率为
1
2
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低
于10分就算闯关成功．
（1）求至少回答对一个问题的概率．
（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．
18．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个长方体形状的包装盒，E ，F 是AB 边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FB x ==cm.
(1)求包装盒的容积()V x 关于x 的函数表达式，并求出函数的定义域. (2)当x 为多少时，包装盒的容积V （3cm ）最大？最大容积是多少？
19．已知函数()12
e x
f x ax -=-
(1)函数()f x '为()f x 的导函数，讨论当0a >时()f x '的单调性； (2)当1a =时，证明：()f x 存在唯一的极大值点.
20．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()11232n n n a a a n +-=-≥，， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设3n n b a =-，求i i 14n
b =<∑．
21．已知直线方程为(2)(21)340m x m y m -++++=，其中m R ∈. (1)当m 变化时，求点(3,4)Q 到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
(2)若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A 、B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.
22．已知函数1()ln 2f x x x x
=++．
(1)求()f x 的极值；
(2)若2()()3g x xf x x =-+，且1ab >，证明：()()0g a g b +>．
参考答案
1．C
求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可 由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤
[]15A ∴=，
由B 中3y x =-30x -≥，即3x ≥ )3B ⎡∴=+∞⎣，
则[]A B 35⋂=，
故选C
本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题． 2．C
根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答. 因1i z =+，则222(1i)2(1i)2i 22i 2z z -=+-+=--=-， 所以所求共轭复数为2-，其虚部为0. 故选：C 3．A
根据等差数列的前n 项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.
依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，第一个孩子所得棉花斤数为1a ， 则由题意得，8187
17,8179962
d S a ⨯==+
⨯=， 解得165a =，()8181184a a d ∴=+-=． 故选：A 4．C
根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可. 因为()22,X
N σ，()()1225P X P X -<≤=≤<并且()20.5P X ≥=
又因为()()1235P X P X -<≤=>，所以
()()()()2255450.5P X P X P X P X ≥=≤<+>=>=，所以()50.125P X >=
所以()250.50.1250.375P X ≤<=-=，所以()150.75P X -<≤= 故选：C 5．C
由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可
因为3cos 2cos 20364ππαα⎛⎫⎛
⎫-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以21cos 273sin 628παπα⎛
⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎝⎭，且322,2,622k k k Z πππαππ⎛⎫⎛⎫
-∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以3,
,644k k k Z πππαππ⎛⎫⎛⎫
-∈++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以sin 6πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
所以25sin sin 4sin 666πππααπα⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫-
=--=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 故选：C ． 6．C
由题意结合椭圆的定义求出1253
,22PF PF ==，又因为1222F F c ==，由余弦定理可求出
12cos F PF ∠，再求出12sin F PF ∠，由三角形的面积公式即可得出答案.
因为椭圆的方程为：22
143x y +
=
，则2,1a b c ===， 1F ，2F 是椭圆22
143
x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，
因为点P 到两个焦点的距离之差为1，
所以假设12PF PF >，则1212124
PF PF PF PF a ⎧-=⎪⎨
+==⎪⎩， 解得： 1253
,22
PF PF ==，又因为1222F F c ==，
在12PF F △中，由余弦定理可得：22
2
222
1212
1212
532322cos 5325222
PF PF F F F PF PF PF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠=
==⋅⨯⨯，
所以124sin 5
F PF ∠=
， 所以12PF F △的面积为：1212115343sin 222252
S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯⨯=. 故选：C. 7．C
根据三角恒等变换化简()f x ，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.
因为()4cos cos 12226x x f x πωωπ⎛⎫⎛⎫=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314sin cos sin 12222x x x ωωω⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
2
3cos
2sin 13cos 2sin 2226x x x
x x x ωωωπωωω⎛
⎫=+-=-=- ⎪⎝
⎭，
因为()f x 在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，由x ∈3,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则3,63646x πππππωωω⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，
则3,?3
6
2462π
π
ππ
ππωω-
-
≥-
-≤，解得81,9ωω≤≤，即8
09
ω<≤； 当[]0,x π∈时，,666x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦
，要使得该函数取得一次最大值， 故只需5262ππωππ≤-<，解得28,33ω⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
；
综上所述，ω的取值范围为28,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：C. 8．B
根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
因为当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--，所以12,0? 2
()122,1
2x x f x x x ⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
，
又因为函数()f x 满足1
(1)()3
f x f x +=
，所以函数()f x 的部分图像如下，
由图可知，若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81
f x ≤，则11
3m ≥.故A ，C ，D 错误.
故选：B. 9．BC
根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可. 在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足
1
=2
PA
PB ，设P （x ，y ），则
1
2
=
，化简得（x ＋4）2＋y 2＝16，所以A 错误； 假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得
1
2
PD PE
=
，设D （m ，0），E （n ，0），则
3x 2＋3y 2－（8m －2n ）x ＋4m 2－n 2＝0，由轨迹C 的
方程为x 2＋y 2＋8x ＝0，可得8m －2n ＝－24，4m 2－n 2＝0，
解得m ＝－6，n ＝－12或m ＝－2，n ＝4（舍去），即在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使
1
2
PD PE
=
，所以B 正确； 当A ，B ，P 三点不共线时，
12OA PA OB
PB
=
=， 可得射线PO 是∠APB 的平分线，所以C 正确；
若在C 上存在点M ，使得2MO MA =，可设M （x ，y ）， 22x y +22(2)x y ++，化简得x 2＋y 2＋163x ＋16
3
＝0，与x 2＋y 2＋8x ＝0联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误． 故选：BC
关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键. 10．BC
根据已知求出a 的范围即可.
()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，因为[]0,x a ∈，所以,333a x πππ+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
又因为()f x 的值域是11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，所以5,33a πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+
可知a 的取值范围是24,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：BC. 11．ACD
根据伯努利数的定义以及二项式定理，将()N n B n ∈写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.
由00
1,C (2)n
k
n n k k B B B n ===∑得，
012301230C C C C C +(2)C n
k n n k n n n k n
n n n B B B B B B n B ==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥=∑，
所以，01231
01231C )C +C 0(2C C n n n n n n n B B B B n B --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=≥，
同理，0123101213111111C )C +0(1C C C C n n
n n n n n n n n n B B B B B B +++++-+-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=≥，
所以，()
1012311
211311011+(1)C C C C C C n n n n n n n n n n B B B B n B B +++--+++=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，
()
10123111
01231111+(1)C C C C C 1
n n n n n n n n B B n n B B B B ++-+++-=-
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥+ 其中第1m +项为
111(1)(1)(2)(1)(2)C 11123123n m m m m n n n n m n n n m B B B n n m m ++--+--+=⨯=++⨯⨯⨯⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯ (1)(2)(1)C 12311
m m
m n
B B n n n m n m n m n m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅--+-+=⨯⨯⨯⋅+-⨯-+ 即可得0120121
1C +C +C C C 11(1)1m m n n n
n n n n n B B B B B n B n n n n m --⎛⎫=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+ ⎝⎭++≥-⎪
令1n =，得11002C 111B B ⎛⎫
= +-=-⎪⎝⎭
； 令2n =，得0101222C C 31113262B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝
⎭； 令3n =，得012012333310C C 11C 434224B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭
同理，可得45678910111115
,0,,0,,0,,030423066
B B B B B B B B =-
====-===； 即可得选项AC 正确，B 错误；
由上述前12项的值可知，当n 为奇数时，除了1B 之外其余都是0， 即210(1)n B n +=≥，也即230,N n B n +=∈；所以D 正确. 故选：ACD. 12．ABD
先由周期范围及ω为正整数求得1ω=，再由()f x 平移后关于原点对称求得π
3
ϕ=，从而得到()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于AB ，将π6
x =-与5π
12x =-代入检验即可；
对于C ，利用换元法得到1sin 2t
在π7π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内只有两个解，从而可以判断； 对于D ，利用整体法及sin y x =的单调性即可判断.
因为()()sin 2f x x ωϕ=+，3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以3π2π3π422ω<<，解得2433ω<<， 又ω为正整数，所以1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，
所以函数()f x 的图象向右平移π
6
个单位长度后所得图象对应的函数
()ππsin 2sin 263g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
（点拨：函数()sin 0y x ωω=>的图象经过平移变换得到()sin y x ωϕ=+的图象时，不是平移ϕ个单位长度，而是平移
ϕ
ω
个单位长度）， 由题意知，函数()g x 的图象关于原点对称，故()ππZ 3k k ϕ-
=∈，即()π
πZ 3k k ϕ=+∈， 又π2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
对于A ，πππsin 2sin00663f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；
对于B ，5π5πππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；
对于A ，令π
23t x =+，因为[]0,πx ∈，所以π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 显然1sin 2t 在π7π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内只有5π6，13π6两个解，即方程()12
f x =在[]0,π上只有两个解，故C
错误；
对于A ，当ππ,62x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，π2π4ππ3π2,,33322x ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为sin y x =在π3π,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以函数()f x 在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确.
故选：ABD.
关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变1
ω
，纵变A ”在解题中的应用.
13．5
6
先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，即得所求．
从中随机抽取2个球，所有的抽法共有246C =种，
事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，
而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为22241
6
C C =，
故事件“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于15166
-=， 故答案为5
6
.
本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1减去此概率的值，属于简单题. 14．4
求得焦点F 的坐标，直线l 的方程，与抛物线的方程联立，即可求出A 、B 两点坐标；由导
数的几何意义，求得切线PA ，PB 的方程，求得交点P 的坐标，求得M ，N 的坐标，可得MN ，
再由三角形的面积公式，计算可得所求值．
解：抛物线2:4C x y =的焦点为()0,1F 且直线l 的倾斜角为 60 ，
则 l k 所以直线l
方程为)10y x -=-，
即1y =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设A 在第一象限，
联立2+1
=4y x y ⎧⎪⎨⎪⎩
， 消去y
得2 40x --=
解得1
4x =
、24x =， 代入直线方程，
则(4,7A +
、(4,7B -，
因为直线1 l 与抛物线相切于点A ， 即21 4y x =
，则1 2
y x '=，
所以(
)
1 1
422
l k ==
，同理可得2 2l k ， 则可得直线 1 l
方程为(
)()724y x ⎡⎤-+=-⎣⎦ ，即
)
27y x =
--，
则其与 x 轴交点，
令
)270x --= ，
则2x =
，所以)
20M
， ，
直线 2
l
的方程为(
)()724y x ⎡⎤--=-⎣⎦
，即
)27y x =-+，
则其与 x 轴交点，
令
)
270x -+= ，
则2x =
，所以)
20N
，， 所以
4MN =，
联立1l 、2l
的方程
)
)
=
7=2y x y x ---⎧⎪
⎨
⎪⎩ ，
解得=1
x y -⎧⎪⎨⎪⎩， 即P
点坐标为()
1-，
11
11422
PFMN FMN
PMN
S S
S
MN MN MN =+=⨯⨯+⨯⨯==． 故答案为：4． 15．9
4
-
化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可． 解：f （x ）＝（x 2+x ）（x 2﹣5x +6） ＝x （x +1）（x ﹣2）（x ﹣3） ＝[x （x ﹣2）][（x +1）（x ﹣3）] ＝（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x ﹣3），
不妨令t ＝x 2﹣2x ≥﹣1，则()239
3()24
y t t t =-=--（t ≥﹣1），
所以当32
t =
时，f （x ）的取最小值9
4-．
故答案为9
4
-
本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 16．()5,+∞
根据函数的对称性可求得m 的值，将问题转化为()1111g x x x x x
=+
+-+-与y a =有6个不同交点的问题，通过分类讨论和导数的方式得到()g x 单调性和极值，进而确定()g x 的图象，采用数形结合的方式得到结果. ()()11
f m x m x x a f x m x x
-=-+
++-=-，f x 图象关于2
m
x =
对称， 又()f x 的六个零点之和为3，∴362
m
=，解得：1m =， ()1111f x x x a x x
∴=+
+-+--， 令()1111g x x x x x
=+
+-+-，则()g x 与y a =有6个不同交点， ()1111,112
1121,11x x x g x x x x x ⎧++<<⎪⎪-∴=⎨⎪++->⎪-⎩
；
当112
x <<时，()()()2222
1121011x g x x x x x -'=-+=>--，()g x ∴在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1x >时，()()()4322
22112421
211x x x g x x x x x -+-'=--=--， ()3204g '=>，322029g ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭
又2
1y x =
与()211y x =-在()1,+∞上单调递减，()'∴g x 在()1,+∞上单调递增，
03,22x ⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，且当()01,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；
()g x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
152g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0314523g x g ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭
，
结合()g x 对称性可得其大致图象如下图所示：
由图象可知：若()g x 与y a =有6个不同交点，则5a >， 即实数a 的取值范围为()5,+∞. 故答案为：()5,+∞.
方法点睛：解决函数零点问题的基本方法：
（1）直接法：求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离变量法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数
()y g x =的图象的交点问题.
17．（∠）
1718；（∠）见解析；（∠）13
18
. 试题分析：
（∠）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为
17
18
. （∠）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；
（∠）结合(∠)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318
.
试题解析：
（∠）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117
133218
P A =-⨯⨯=.
（∠）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()1111
1033218P X =-=⨯⨯=,
()2112
023329
P X ==⨯⨯⨯=,
()2212
103329P X ==⨯⨯=,
()1111
2033218P X ==⨯⨯=,
()2112
3023329P X ==⨯⨯⨯=,
()2212
403329
P X ==⨯⨯=.
随机变量X 的分布列是:
（∠）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918
P B =+++=. 18．(1)()3222602V x x x =-+，()0,30x ∈ (2)当20cm x =时，包装盒的容积最大是380002
（1）设包装盒的高为(cm)h ，底面边长为(cm)a ，分别将,a h 用x 表示，求出函数的解析式，注明定义域即可．
（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可． （1）
解：设包装盒的高为(cm)h ，底面边长为(cm)a ， 则2a x =，2(30)h x -，030x <<，
所以()232322(30)22602V x a h x x x x ==-+=-+，()0,30x ∈； （2）
解：由()3222602V x x x =-+，
可得()(20)V x x '=-，
当(0,20)x ∈时，()0V x '>；当(20,30)x ∈时，()0V x '<， 所以函数()V x 在()0,20上递增，在()20,30上递减， ∴当20x
时，()V x 取得极大值也是最大值：
所以当20cm x =时，包装盒的容积最大是3．
19．(1)在(),1ln 2a -∞+上单调递减，在()1ln 2,a ++∞上单调递增 (2)证明见解析
（1）由导数分析单调性求解，
（2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明． (1)
()1e 2x f x ax -'=-，设()()1e 2x g x f x ax -'==-，则()1e 2x g x a -'=-.
当0a >时，令()1
e
20x g x a -'=-=，则1ln 2x a =+，
当(),1ln 2x a ∈-∞+时，()0g x '<，()f x '单调递减； 当()1ln 2,x a ∈++∞时，()0g x '>，()f x '单调递增.
所以()f x '在(),1ln 2a -∞+上单调递减，在()1ln 2,a ++∞上单调递增. (2)
证明：当1a =时，()12e x f x x -=-，()1
e 2x
f x x -'=-，
由（1）可知()f x '的最小值为()1ln 2f '+，而()1ln 22ln 20f '+=-<，又()1
00e
f '=
>， 由函数零点存在定理可得存在()10,1ln 2x ∈+使得()10f x '
=，又()f x '在(),1ln 2-∞+上单调
递减，
所以当()1,x x ∈-∞时，0f x
，当()1,1ln 2x x a ∈+时，()0f x '<，故1x 为()f x 的极大值
点，
又()f x '在()1ln 2,++∞上单调递增，故()f x 在()1ln 2,++∞上不存在极大值点，
所以()f x 存在唯一的极大值点1x ， 20．（1）2
132n n a -=-
；（2）详见解析
（1）由1123n n n a a a +-=-，得1112n n n n a a a a +--=-，根据等比数列通项公式得1
112n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，再根据累加法 得答案；
（2）根据等比数列求和即可得证.
即（1）因为11a =，22a =，1123n n n a a a +-=-， 所以
()111
22
n n n n a a n a a +--=≥-，，211a a -=，
所以1
112n n n a a -+⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，2n ≥，
所以112
3
021111112131222212
n n n n n a a -----=
+
+
++=+=--. 而11a =也符合该式，故2
132n n a -=-.
（2）2
12
n n b -=
，
1121124141212
n
n i n
i b =⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭
-∑ 21．(1)距离最大值为132380x y ++=； (2)AOB 面积的最小值为4，此时直线方程为240x y ++=；
（1）求出直线恒过定点M ，由两点间距离公式即可求出最大值，由两条直线垂直的充要条件求出直线的斜率，即可得到直线方程；
（2）设直线的方程为2(1)y k x +=+，0k <，求出||OA ，||OB ，利用三角形的面积公式结合基本不等式求解最小值，从而求出此时k 的值，得到直线方程． (1)
解：直线方程为(2)(21)340m x m y m -++++=，其中m R ∈， 即(23)(24)0m x y x y -+++++=，
令230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，
故直线经过定点(1,2)M --，
当m 变化时，点(3,4)Q 到直线的距离的最大值为QM =
此时，QM 和直线垂直，所以直线的斜率为112
42331
QM k -=-
=-++，即
22213m m -=-+，解得4
7
=m ， 此时直线的方程为2380x y ++=； (2)
解：因为直线经过定点(1,2)M --，
设直线方程为2(1)y k x +=+，0k <，令0x =则2y k =-，令0y =，则2
1x k
=-， 所以2|||1|OA k
=-，|||2|OB k =-， 所以21121(2)|||||1||2|222AOB
k S
OA OB k k k
-=⋅⋅=--=-， 因为0k <， 则21(2)141[][()()4](2(4)4222AOB
k S
k k k -=
⋅-=-+-+⨯-=， 当且仅当4
k k
-
=-，即2k =-时取等号， 所以AOB 面积的最小值为4，此时直线的方程为22(1)y x +=-+，即240x y ++=． 22．(1)极小值为13ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值
(2)见解析
（1）由导数得出单调性进而得出极值；
（2）由导数得出()g x 在()0,∞+上单调递增，讨论∠1a b <，∠01a b <<两种情况，利用导数证明即可. (1)
2
(21)(1)
()(0)x x f x x x -+'=
>
1()02
f x x '>⇒>；1
()002f x x <⇒<<'
即函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增
所以()f x 的极小值为13ln 22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值.
(2)
221
()ln 1,()ln 21,()x g x x x x g x x x g x x
-'''=-+-=-+-= 1
()02
g x x ''>⇒>
；1()002g x x ''<⇒<<
即函数()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即1()ln 202g x g ⎛⎫
''=> ⎪⎝⎭
所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增 不妨设a b <，则∠1a b <，∠01a b <<
对于∠1a b <，因为函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()(1)0g b g a g >= 所以()()0g a g b +>
对于∠01a b <<，由1ab >得，1
a b >，故()1g a g b ⎛⎫> ⎪⎝⎭
111()()()ln g a g b g g b b b b b b b ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫+>+=-+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，由01a b <<知，10b b -+<
设1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>，则()222
111()1x x x x x x ϕ--+'=--=
而2
2131024x x x ⎛
⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭，所以()0x ϕ'<，即函数1()ln ,(1)x x x x x ϕ=-+>是单调减函数
()(1)0,(1)x g x ϕ<=>，故111()ln 0g g b b b b b b b
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-+-+> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
，即()()0g a g b +>
综上，当1ab >时，()()0g a g b +>.
关键点睛：对于∠，在证明()()0g a g b +>时，关键是利用()1g a g b ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
将双变量变为单变量
问题，再利用导数证明不等式()()0g a g b +>.。