专题51 新定义和阅读理解型问题
新定义与阅读理解创新型问题
新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共4小题）1．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝73．（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b={a−b(a≥2b)a+b−6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟二．填空题（共11小题）5．（2020•临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为．6．（2020•十堰）对于实数m ，n ，定义运算m *n＝（m +2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝．7．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b√a−b ，如：3⊕2=√3+2√3−2=√5，那么12⊕4＝．8．（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是．9．（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为．10．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．11．（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为．12．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝．13．（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．14．（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是；（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是．15．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C 的坐标表示为 ．三．解答题（共35小题）16．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA、S △OBC S △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ． ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．17．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB =AB AC，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．18．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．19．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD̂=BD̂，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．20．（2020•陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究̂上一点，且PB̂=2PÂ，连接AP，BP．∠APB的平（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．21．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．22．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．23．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．24．（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．25．（2020•连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把⊙O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BĈ围成的封闭图形的面积为S 1，P A 、PD 、AD ̂围成的封闭图形的面积为S 2，△PBD 的面积为S 3，△P AC 的面积为S 4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S 1、S 2、S 3、S 4的等式（写出一种情况即可）．26．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．27．（2020•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y =6xx 2+1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y=6xx2+1…−1513−2417−125﹣30312524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6xx2+1＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．28．（2020•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=−12x2+2的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…−23a﹣2﹣4b﹣4﹣2−1211−23…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y=−12x2+2的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y=−12x2+2有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−12x2+2＜−23x−103的解集．29．（2020•内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m ≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=m n．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．30．（2020•重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2，所以14是“差一数”；19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 31．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min {a ，b }的意义为：当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ；当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ，如：min {4，﹣2}＝﹣2，min {5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min {﹣1，3}＝ ； （2）当min {2x−32，x+23}=x+23时，求x 的取值范围． 32．（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值． 【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】33．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x +y =7，x +2y =8，则x ﹣y ＝ ，x +y ＝ ；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x 、y ，定义新运算：x *y ＝ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．34．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x ﹣2|的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．35．（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，请判断S 1，S 2，S 3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①a 2+b 2+c 2+d 2＝ ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 ．36．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比√5−12≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN 的形状； （2）求证：BM BN=BN BE，且其比值k =√5−12；（3）由对称性知AO ⊥BE ，由（1）（2）可知MN BM也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．37．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究（1）如图2，在Rt △ABC 中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ABD ，Rt △ACE ，Rt △BCF ，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为 ； 推广验证（2）如图3，在Rt △ABC 中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ABD ，△ACE ，△BCF ，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D ＝∠E ＝∠F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠E ＝∠C ＝105°，∠ABC ＝90°，AB ＝2√3，DE ＝2，点P 在AE 上，∠ABP ＝30°，PE =√2，求五边形ABCDE 的面积．38．（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN 绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．39．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC 于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）40．（2020•齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD 边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．41．（2020•德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是： ； （2）AD 的取值范围是 ； 方法运用：（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ．（4）如图3，在矩形ABCD 中，AB BC=12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且EFBE=12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG ．42．（2020•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．43．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接AF ，CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是 ．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN ＝DM ，连接CN ） ②求证：AF ⊥DM ；③若旋转角α＝45°，且∠EDM ＝2∠MDC ，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）44．（2020•天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 ． 理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2√3，则它的面积为 ；（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ，在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝20，求线段MN 的长． 类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示）45．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2√2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）AC 2.8 2.7 2.6 2.32 1.50.4BC0.40.8 1.2 1.62 2.4 2.8AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.94 3.9 3.2（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC 最大．推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）；（Ⅳ）；问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B ﹣﹣E ﹣﹣F ﹣﹣G ﹣﹣A 是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，AG ＝BE ＝1厘米．∠E ＝∠F ＝∠G ＝90°．平行光线从AB 区域射入，∠BNE ＝60°，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．46．（2020•临沂）已知⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2．以O 1为圆心，以r 1+r 2的长为半径画弧，再以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接O 1A ，O 2A ，O 1A 交⊙O 1于点B ，过点B 作O 2A 的平行线BC 交O 1O 2于点C ．（1）求证：BC 是⊙O 2的切线；（2）若r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，求阴影部分的面积．47．（2020•天津）将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （2，0），点B 在第一象限，∠OAB ＝90°，∠B ＝30°，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）．（Ⅰ）如图①，当OP ＝1时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ ＝OP ，点O 的对应点为O '，设OP ＝t ．①如图②，若折叠后△O 'PQ 与△OAB 重叠部分为四边形，O 'P ，O 'Q 分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O 'D 的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O 'PQ 与△OAB 重叠部分的面积为S ，当1≤t ≤3时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．48．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．49．（2020•达州）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．。
阅读理解和新定义运算问题
阅读理解和新定义运算问题新定义运算问题与阅读理解不同，但存在一定的关联，它们都可以用来改善学生的阅读和写作技能，从而更好地掌握阅读理解的知识。
新定义运算问题是一种新的教学方式，目的是通过提问来帮助学生理解文中的关键词和概念，继而提高自己的语言技能。
这种新定义运算问题的目的是提高学生的研究和理解技能，以及为学生提供更多的成就感和自信，激发并培养他们对文本内容的分析和解释能力。
新定义运算问题的设计基于阅读理解的基本策略，如寻找关键词、理解文章的内容、发现文章的论述、判断文章的观点等。
另外，新定义运算问题还包括语法方面的问题，如搭配问题、句子结构问题等。
新定义运算问题的例子有：根据文章提供的信息回答问题，在文章中找出并描述某个概念，根据给定的内容提出有关问题，推断文章中出现的词语意思等。
与传统的阅读理解不同，新定义运算问题不仅考查学生对文本内容的理解，还考查学生结合知识点及语言特性，将文本内容和所提供的信息紧密结合起来，以便产生新的理解。
新定义运算问题的好处颇多，不仅可以提高学生的阅读理解能力，还可以帮助学生掌握如何使用语言表达思想及自我表达的技巧，加强他们的分析判断能力，提高他们的语义理解能力，养成他们理解语句的习惯，并让他们学会在解决语言难题时自如应对。
另外，新定义运算问题可以丰富学生的词汇量，同时也激发学生对文本内容更深入的理解和思考，帮助学生从文章中抽取和构建信息，从而有助于学生提高自己的阅读理解能力。
新定义运算问题的应用要求教师正确理解学生的当前能力并重视学生的发展，从而更好地满足学生不同学习需求。
在运用新定义运算问题时，要注意控制问题难度，使学生在完成任务时处于良好的动力状态，同时以便利的过程来培养学生的长期学习成功感，最大限度地激发学生的学习兴趣。
总之，新定义运算问题可以有效地改进学生的阅读理解能力，除了加强他们对阅读理解的技能，还能帮助他们培养良好的习惯，掌握良好的技能，从而提升自己的阅读能力和文章写作能力。
2021年中考数学专题复习：新定义和阅读理解题
2021年中考数学专题复习：新定义和阅读理解题“新定义”题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等．在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．阅读理解题源于课本，高于课本，既考查阅读能力，又综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答．一、新定义1．对于任意两个不相等的数a，b定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝a＋ba－b，如：3⊕2＝3＋23－2＝5，那么12⊕4＝________．2．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为()A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝________.4．用⊕定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m⊕n＝m2n－mn－3n，如：1⊕2＝12×2－1×2－3×2＝－6.(1)求(－2)⊕3；(2)若3⊕m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．5．定义：分数nm(m，n为正整数且互为质数)的连分数1a1＋1a2＋1a3＋…(其中a1，a2，a3，…为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1)，记作n m ＝⊕ 1a 1＋1a 2＋1a 3＋…，例如719＝⊕1197＝12＋57＝12＋175＝12＋11＋25＝12＋11＋152＝12＋11＋12＋12，719的连分数为12＋11＋12＋12，记作719＝⊕12＋11＋12＋12，则________＝⊕11＋12＋13.6．定义一种新运算⎠⎛b a n·x n －1dx ＝a n －b n ，例如⎠⎛n k 2xdx ＝k 2－n 2，若⎠⎛5mm －x －2dx ＝－2，则m＝( )A ．－2 B. －25 C ．2 D.257．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝x ＋2C ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x8．对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝－x 2－10x ＋m(m≠0)有两个不相等的零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，关于x 的方程x 2＋10x －m －2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4(x 3＜x 4)，则下列关系式一定正确的是( A )A ．0＜x 1x 3<1 B.x 1x 3>1 C ．0<x 2x 4<1 D.x 2x 4>1二、阅读理解题1．阅读理解：已知两点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则线段MN 的中点K(x ，y)的坐标公式为：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.如图，已知点O 为坐标原点，点A(－3，0)，⊕O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点P(a ，b)，则有a ，b 满足等式：a 2＋b 2＝9.设B(m ，n)，则m ，n 满足的等式是( )A ．m 2＋n 2＝9 B.922322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n mC ．(2m ＋3)2＋(2n)2＝3D ．(2m ＋3)2＋4n 2＝9 2．已知点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离可表示为d ＝||kx 0＋b －y 01＋k 2，例如：点(0，1)到直线y ＝2x ＋6的距离d ＝||2×0＋6－11＋22＝ 5.据此进一步可得两条平行线y ＝x 和y ＝x －4之间的距离为________．3．阅读材料：设a→＝(x 1，y 1)，b→＝(x 2，y 2)，如果a→⊕b→，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空，已知a→＝(4，3)，b→＝(8，m)，且a→⊕b→，则m ＝________. 4．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0且a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为指数式52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)，理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ⊕M·N ＝a m ·a n ＝a m＋n，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N) 又⊕m ＋n ＝log a M ＋log a N ， ⊕log a (M·N)＝log a M ＋log a N. 根据阅读材料，解决以下问题：(1)将指数式34＝81转化为对数式___________________________________；(2)log a MN ＝__________.(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0) (3)拓展运用：计算log 69＋log 68－log 62＝________. 5．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依次类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n .所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1＝1，a 2＝3，公差为d ＝2.根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d 为________，第5项是________．(2)如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n …，是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…，a n －a n －1＝d ，….所以 a 2＝a 1＋da 3＝a 2＋d ＝(a 1＋d)＋d ＝a 1＋2d ， a 4＝a 3＋d ＝(a 1＋2d)＋d ＝a 1＋3d ， ……由此，请你填空完成等差数列的通项公式： a n ＝a 1＋(________)d.(3)－4041是等差数列－5，－7，－9…的第________项． 6．阅读下面的材料：如果函数y ＝f(x)满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， (1)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＜f(x 2)，则称f(x)是增函数； (2)若x 1＜x 2，都有f(x 1)＞f(x 2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1)－f(x 2)＝6x 1－6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6（x 2－x 1）x 1x 2. ⊕0＜x 1＜x 2，⊕x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.⊕6（x 2－x 1）x 1x 2＞0.即f(x 1)－f(x 2)＞0. ⊕f(x 1)＞f(x 2)．⊕函数f(x)＝6x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f(x)＝1x2＋x(x ＜0)，f(－1)＝1（－1）2＋(－1)＝0，f(－2)＝1（－2）2＋(－2)＝－74. (1)计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________；(2)猜想：函数f(x)＝1x 2＋x(x ＜0)是________函数(填“增”或“减”)．参考答案一 1.2 2.C 3.1.14．解：(1)(－2)※3＝(－2)2×3－(－2)×3－33＝43＋23－33＝3 3.(2)∵3※m ≥－6，∴32·m －3m －3m ≥－6. 解得：m ≥－2.将解集表示在数轴上如下：5.710 6.B 7.B 8.A二 1.D 2.22 3.6 4.(1)4＝log 381(或log 381＝4) (2)log a M －log a N (3)2 5.(1)5 25 (2)n －1 (3)2019 6.(1)－269 －6316 (2)增。
阅读理解和新定义运算问题
阅读理解和新定义运算问题阅读理解（readingcomprehension）和新定义的计算问题（novelcalculationproblems）是当今人工智能领域的研究热点。
从社会角度来看，读理解能够帮助人们更好地理解复杂的文字信息，提高行业领域的综合素养，从根本上解决时代问题，提高社会效率。
新定义的计算问题可以更好地帮助机器解决复杂的计算问题，从而更快完成相应的任务。
基于此，本文将重点讨论“阅读理解和新定义运算问题”这一研究领域，以“让机器更好地理解和处理信息”为研究方向，具体涉及到的内容有：文本的理解介绍、阅读理解的任务和技术、新定义计算问题的简介等。
当然，本文还将给出研究中可能遇到的技术难题，以及可能的改进策略。
文本的理解介绍文本理解（natural language understanding）是人工智能系统从文本输入中提取有意义的知识，经过分析和处理，以达到提取信息、形成结论、解释信息等目的。
学术界一般将文本理解分为三个层次：词汇层次、句子层次、文章层次。
其中，词汇层次的文本理解是最基本的，也是最重要的，它以单词级别的形式提取句子的词汇特征，为后面的句子和文章层次的理解提供前提。
在句子层次的文本理解中，技术会分析句子的结构和层次关系，以及句子的语义结构，提取句子的结构和语义特征，建立句子理解功能。
最后，在文章层次的文本理解中，技术会以句子为基础，上下文对齐，提取文章的结构和语义特征，建立文章理解功能。
阅读理解的任务和技术阅读理解能够通过文本理解任务，帮助人们更好地理解文字信息，提高阅读理解能力。
目前，阅读理解任务主要分为三类：答案抽取、细粒度抽取和内容理解等。
其中，答案抽取任务中，读者要从文本中抽取特定信息，如实体、事件、关系和概念等；细粒度抽取任务中，读者要从文本中抽取细粒度信息，如指代消解等；内容理解任务中，读者要结合文本的所有内容，加深对信息的理解，如正确的回答图像问题，给出抽象的解释等。
阅读理解和新定义
材料阅读题、新定义专题（1）1、定义一种新的运算a ﹠b=a b ，如2﹠3=23=8，那么试求（3﹠2）﹠2= ．2、定义运算a ⊗b =a （1﹣b ），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a ⊗b =b ⊗a ；③若a +b =0，则（a ⊗b ）+（b ⊗a ）=2ab ； ④若a ⊗b =0，则a =0．其中正确结论序号是 ．3、对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（ ）. A.40 B.45 C.51 D.564、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d，定义a b c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =__________．5、读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 =______．6、定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a (a －b )+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2⊕5＝2⨯(2－5)+1＝2⨯(－3)+1＝－5（1）求（－2）⊕3的值（2）若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来.7．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC 的相似线最多有条．8.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1，-1)，(0，0)，，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个。
中考数学真题-新定义与阅读理解创新型问题
新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．42．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．53．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x <B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．27．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠ B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠ D ．54k ≥8．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b++=+，那么我们称这一对数,a b为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．3二、填空题9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若()()1122,,,a x y b x y →→==，则1212a b x x y y →→⋅=+．例如(1,3),(2,4)a b →→==，则123421214a b →→⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1),(3,4)a x x b x →→=+-=-，且23x -……，则a b →→⋅的最大值是________．10．（辽宁省丹东市2021年中考数学试题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB AC BC ===P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________；若2,4AB BC AC ===，P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________．11．（浙江省宁波市2021年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．12．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；①当2m =时，函数图象过原点；①当0m >时，函数有最小值；①如果0m <，当12x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ．已知1rad,60αβ==︒，则α与β的大小关系是α________β．14．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O ，在正方形外有一点,2P OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的取值范围为__________．15．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．三、解答题16．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．17．（江苏省常州市2021年数学中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M-、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．18．（湖南省张家界市2021年中考数学真题试题）阅读下面的材料： 如果函数()y f x =满足：对于自变量x 取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数； （2）若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数． 例题：证明函数2()(0)f x x x =>是增函数． 证明：任取12x x <，且1>0x ，20x >则2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+- ①12x x <且1>0x ，20x > ①120x x +>，120x x -<①1212()()0x x x x +-<，即12())0(f x f x -<，12()()f x f x < ①函数2()(0)f x x x =>是增函数． 根据以上材料解答下列问题：（1）函数1()(0)f x x x =>，1(1)11f ==，1(2)2f =，(3)f =_______，(4)f =_______； （2）猜想1()(0)f x x x=>是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．19．（山东省枣庄市2021年中考数学真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数()20x y x x-=≠的图象与性质进行探究．因为221x y x x-==-，即21y x =-+，所以可以对比函数2y x =-来探究． 列表：（1）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m = ，n = ；描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y x=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来： （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x <时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ①函数2x y x-=的图象是由2y x =-的图象向 平移 个单位而得到．①函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 20．（内蒙古赤峰市2021年中考数学真题）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且x 1≠x 1，y 2≠y 2，若M 、N 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M 、N 的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M 、N 的“相关矩形”． （1）已知点A 的坐标为()2,0．①若点B 的坐标为()4,4，则点A 、B 的“相关矩形”的周长为__________；①若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的解析式； （2）已知点P 的坐标为()3,4-，点Q 的坐标为()6,2-， 若使函数ky x=的图象与点P 、Q 的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k 的取值范围．21．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如 下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：__________； ①方程()211x --=-的解为：__________；①若方程()21x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是__________．（2）延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y <≤时，自变量x 的取值范围．22．（2021·江西中考真题）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ¢，如下表：①补全表格；①在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '． 形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”． 探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；①在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；①若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值． 23．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________； （2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．24．（2021·四川中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若x a N =（0a >且1a ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式32log 9=可以转化为指数式239=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0,1,0,0)a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>，理由如下：设log ,log a a M m N n ==，则,n m M a N a ==．m n m n M N a a a +∴⋅=⋅=．由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又log log a a m n M N +=+log ()log log a a a M N M N ∴⋅=+．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①2log 32=___________；①3log 27=_______，①7log l =________； （2）求证：log log log (0,1,0,0)aa a MM N a a M N N=->≠>>； （3）拓展运用：计算555log 125log 6log 30+-．25．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．26．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：3507m =，因为372(50)+=⨯+，所以3507是“共生数”：4135m =，因为452(13)+≠⨯+，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记()3nF n =．求满足()F n 各数位上的数字之和是偶数的所有n ． 27．（2021·四川中考真题）已知平面直角坐标系中，点P （00,x y ）和直线Ax ＋By ＋C ＝0（其中A ，B 不全为0），则点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d可用公式d =来计算．例如：求点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离，因为直线y ＝2x ＋1可化为2x －y ＋1＝0，其中A ＝2，B ＝－1，C ＝1，所以点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离为：5d ==== 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M （0，3）到直线9y =+的距离；（2）在（1）的条件下，①M 的半径r ＝ 4，判断①M与直线9y =+的位置关系，若相交，设其弦长为n ，求n 的值；若不相交，说明理由．28．（2021·湖北中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>= 猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）． 猜想证明：①20≥①①0=，即a b =时，0a b -=，①a b += ①0≠，即a b ¹时，0a b ->，①a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？29．（2021·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知ABC 中，AB =AC =m ，BC =n ，()0180BAC αα∠=︒<<︒，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究EFAP的值和β的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： （问题发现）小明研究了60α=︒时，如图1，求出了EFPA =___________，β=___________； 小红研究了90α=︒时，如图2，求出了EFPA=___________，β=___________； （类比探究）他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EFPA； （归纳总结）最后他们终于共同探究得出规律：EFPA=__________(用含m 、n 的式子表示)；β=___________ (用含α的式子表示)． （2）求出120α=︒时EFPA的值和β的度数．30．（2021·山东中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．猜想：22AB CD +与22AD BC +有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE ，BG ，GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．31．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．32．（2021·江苏中考真题）如图，在①O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD①AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH①QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：①OAD＝60°；①求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的①O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时①Q 的度数．。
阅读理解及定义型问题(复习讲义)(原卷版)--中考数学重难点题型专题汇总
阅读理解及定义型问题（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01新定义型阅读理解题常见的两种类型1.新定义概念型阅读题:解新定义概念型阅读题,要把握新概念的现实模型,理解新概念的形2.新定义运算型阅读题:把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键.【特别提醒】(1)正确理解新定义运算的含义,认真分析题目中的定义,严格按照新定义的运算顺序进行运算求解,切记不可脱离题目要求.(2)在新定义的算式中,若遇有括号的也要先算括号里面的.(3)材料中的新概念、新运算与我们已学过的概念、运算有着密切的联系,注意“新”“旧”知识之间的联系与转化.考点02新公式应用型阅读题新公式应用型阅读题常见的三种类型1.新数学公式型:通过阅读材料,给出新的数学公式,根据新的数学公式解决所给问题.2.新变换法则型:通过阅读材料,给出新的数学变换法则,根据新的变换法则解决所给问题.3.新规定型:通过阅读材料,给出新的规定,根据新规定解决所给问题.【知识归纳】新公式应用型阅读题的解题策略1.通过对所给材料的阅读，从中获得新的数学公式或某种新的变换法则.2.分析新公式的结构特征及适用范围.3.将新公式转化为已学知识，寻找解决问题的突破口，进而利用新公式解决问题.解一元一次不等式的注意事项解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本类似，只是注意在不等式的两边同乘或同除一个负数时，不等号的方向要发生改变．在数轴上表示不等式的解集时，要注意“分界点”和“方向”，大于向右画，小于向左画，含等于号的画成实心点，不含等于号的要画成空心圆圈．考点03新解题方法型阅读题新解题方法型阅读题常见的两种类型1.以例题的形式给出新方法:材料中首先给出一道例题及其解题方法,然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题.这类新方法型阅读题在中考中最为常见,值得关注.2.以新知识的形式给出新方法:先给出体现一个新解题方法的阅读材料,通过阅读体会新方法的实质,然后用新方法解决相关的问题.【特别提醒】(1)认真阅读题目,理解掌握新的解题方法是解决新问题的关键.(2)体会转化思想在解新方法型阅读题中的作用,理解新方法并进行转化,用我们熟悉的知识来解决新问题.【知识归纳】解答数字规律题的步骤(1)计算前几项，一般算出四五项.(2)找出几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等.(3)用代数式表示出规律或是得出循环节(即几个数一个循环).(4)验证你得出的结论.考点04归纳概括型阅读题归纳概括型阅读题常见的三种类型1.等式型:通过对给出的几个等式中数的变化,分析、类比、推断、猜测,归纳出等式存在的一般性规律,再用含字母的等式表示一般规律.2.代数式型:通过对给出的几个代数式中数和字母的变化,分析、类比、猜测,归纳出代数式存在的一般性规律,再用含字母的代数式表示一般规律.3.三角函数式型:通过对给出的几个三角函数式中数或字母的变化,分析、类比、猜测,归纳出三角函数式存在的一般性规律,再用数或含字母的式子表示一般规律.1.（2022·重庆）对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．32．3=3=3=，…，3n =个根号，一般地，对于正整数a ，b ，如果满足n a = 个根号时，称(),a b 为一组完美方根数对．如上面()3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①(4,12是完美方根数对；②()9,91是完美方根数对；③若(),380a 是完美方根数对，则20a =；④若(),x y 是完美方根数对，则点(),P x y 在抛物线2y x x =-上．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b ⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝74．（2020·随州）将关于x 的一元二次方程0=q +px -x 2变形为q -px x 2=，就可以将2x表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如=-=⋅=)(23q px x x x x …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：0=1-x -x 2，且x＞0，则3x +2x -x 34的值为（）A.51- B.53- C.51+ D.53+5．，，…若2的位置记为(1,2)(2,3)，则的位置记为________．6.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕⊕12⊕4＝______．7．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________．8.定义[a ，b ，c ]为函数y ＝a x 2+bx c +的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________9.若记y=f（x）=221x x +，其中f（1）表示当x=1时y 的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y 的值，即f（12）=22111212512f ==+（（（）；…；则f（1）+f（2）+f（22111212512f ==+（（（））+f（3）+f（13）+…+f（2011）+f（12011）=．10．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；又如：4325M =，∵225229+=，2943≠，∴4325不是“勾股和数”．(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()9c d G M +=，()()()103a cb d P M -+-=．当()G M ，()P M 均是整数时，求出所有满足条件的M ．11.请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．引例：设a，b，c 为非负实数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a＋b＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c 的正方形来研究．解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，则AB＝a 2＋b 2，BC＝b 2＋c 2，CD＝a 2＋c 2，显然AB＋BC＋CD≥AD，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a＋b＋c)．探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x 2＋4＋y 2＋9的最小值(图②仅供参考)；探究二：若a，b 为正数，求以a 2＋b 2，4a 2＋b 2，a 2＋4b 2为边的三角形的面积．12．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214(214)2147304÷++=÷= ，∴214不是“和倍数”．(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数A 是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A ，最小的两位数记为()G A ，若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A．13.阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们]还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2－2x=0可以通过因式分解把它转化为x(x x=0和x 2+x－2=0，可得方程x 3+x 2－2x=0的解(1)问题:方程x 3+x 2－2x=0的解是x 1=0，x 2=______．x 3=______．(2)拓展:用“转化”思想求方程x x =+32的解;(3)应用:如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA、AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP 的长．14.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、OBC ABCS S V V 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；②若1CME S ，求正方形ABCD 的面积．15．（2022·湖南娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm ，即3cm PQ =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4cm PB =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120∠=︒PBC ，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k x =⋅∆，k 是劲度系数，x ∆是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则0x x x ∆=-．。
新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(学生版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.2852(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-33(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<05(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<56(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)10(2023·北京·统考中考真题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．11(2023·重庆·统考中考真题)对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7-1=6，3-1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8-1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记P M =3a +b +c +d ，Q M =a -5，若P MQ M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为．12(2023·四川乐山·统考中考真题)定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ,y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)若P (3,m )是“和谐点”，则m =．(2)若双曲线y =kx(-3<x <-1)存在“和谐点”，则k 的取值范围为．13(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y =(x -2)20≤x ≤3 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c 0≤x ≤3 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．14(2023·重庆·统考中考真题)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab -bc =cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53-32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a 312，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题15(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两个实数根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．材料2：已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n +mn 2的值．16(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．18(2023·山西·统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F, G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654-1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交EH ,FG 于点P ,Q ，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，交HG 于点N ．∵H ,G 分别为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ．(依据1)∴DN NM =DG GC．∵DG =GC ，∴DN =NM =12DM ．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE ∥GF ，即HP ∥GQ ．∵HG ∥AC ，即HG ∥PQ ，∴四边形HPQG 是平行四边形．(依据2)∴S ▱HPQG =HG ⋅MN =12HG ⋅DM ．∵S △ADC =12AC ⋅DM =HG ⋅DM ，∴S ▱HPQG =12S △ADC ．同理，⋯任务：(1)填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中，分别连接AC ,BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 长度的关系，并证明你的结论．19(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．20(2023·湖南张家界·统考中考真题)阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2-S1=(a+b)2-a2=(a+b)+a⋅(a+b)-a=(2a+b)⋅b=b+2a b例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3-S2=，S4-S3=；(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出S n+1-S n等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，⋯，t n=S n+1-S n，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．21(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD 和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．22(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ，在点M 11,1 ，M 22,2 ，M 33,3 中，是矩形ABCD “梦之点”的是；(2)点G 2,2 是反比例函数y 1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是，直线GH 的解析式是y 2=．当y 1>y 2时，x 的取值范围是．(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线y =-12x 2+x +92上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断△ABC 的形状，并说明理由．23(2023·北京·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A -1,0 ，B 1-22,22，B 222,-22 ①在点C 1-1,1 ，C 2(-2,0)，C 30,2 中，弦AB 1的“关联点”是．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M 0,3 ，N 655,0 ．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．26(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A =∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．当∠ABE=∠A 时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．27(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．28(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC的一条三等分线．29(2023·河南·统考中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在(2)的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．30(2023·甘肃兰州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点A 1,2 ，B 3,2 ，P 2,2 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．(1)如图2，已知点A 1,0 ，B 3,0 ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过G -1,0 ，T 0,33两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC ⊥y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，OC =5，点P 是△ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；(3)如图4，以A 1,0 ，B 2,0 ，C 2,1 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y =-x +b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．31(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9 -6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．。
新定义与阅读理解问题 九年级数学专项训练(含解析)
新定义与阅读理解问题一、单选题A．1B．4C．6D()(A．113︒B．92二、填空题16．定义一种新的运算：a☆三、解答题17．若定义一种运算：a b∆()(32-=--+⨯-2Δ32(3)23参考答案：1．A【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出4-※2的值．【详解】解：根据新定义得：4-※22422=-⨯+84=-+4=-，故选：A 2．B【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★，()336x +⨯=-解方程即可．【详解】解：根据新定义得()31012x =★★()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★()3104x +=★()36x =-★()336x +⨯=-5x =-故选：B 3．D【分析】据提供的“F ”运算，对正整数n 分情况(奇数、偶数)循环计算，由于449n =为奇数应先进行F ①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F ”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F ”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：344951352⨯+=，故选：A．8．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由10．12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．11．5【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x 的值即可．【详解】解：当4x ≥时，则1629x +=，解得13x =，不符合题意；当4x <时，则2429x +=，解得15=x ，25x =-（舍去），综上，x 的值为5．故答案为：5．12．3-【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数21y x =-+的“衍生函数”是解题的关键．【详解】解：由定义知，一次函数21y x =-+的“衍生函数”为()()210210x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∵点()2,P m -在一次函数的“衍生函数”图象上，20x =-<，∴()2213m =⨯-+=-．故答案为：3-．13．1【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键．由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，即()3434120a ⨯+++=，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O就是三角形的内心，过C时，且在等腰直角三角形∴当O、、过点O分别作弦CG CF DE。
阅读型题目——新定义
解答这类问题，只有在理解有关阅读材料 的内容基础上，才能进行正确解答.学会数学阅 读尤为重要，学习过程中要加强数学三种语言 相互转化能力的训练.
新定义
方法提炼：
解决此类问题必须理解清楚有关 概念定义），公式，规律，方法等 等，明确几何元素之间的数量关系和 位置关系，在没有明确确定几何元素 的数量关系或涉及运动变化时，要全 面考虑问题，必要时进行分类讨论.
【2019年滚动迁移】中考专题复习资料
阅读型题目--新定义
阅读型题目
【专题解读】
这类题目给学生呈现没有学过的数学知识、 数学规律、数学方法等情境，要求考生通过自 主阅读、自主操作、独立思考等方式进行即时 学习，然后进行概括、归纳、抽象，并运用所 学知识解决相关的问题.
试题旨在考查通过数学阅读获取知识，从 已有的知识出发，建构新的知识的能力.
中考数学专题51新定义及阅读理解型问题含解析.doc
2019-2020 年中考数学专题51新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：ab＞0 ；b定义运算“※”为： a※ b 求1※ 2 的值 .ab＜0 .b1小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1， b=-2 ，又 b＜ 0，所以 1※（ -2 ）= 2 ．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（ 1）计算： 2※ 3= ；5（ 2）若 5※ m=6，则 m= ．（ 3）函数 y=2※ x（x≠0）的图象大致是（）y y y y2【答案】解：（） 3O xOx O xO 1 x （ 2）± 6（ 3） D【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题（ 2）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=c， AC=b， BC=a，且 b>a，若 Rt △ ABC是奇异三角形，求? a： b：c；（ 3）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O 上一点（不与点 A， B 重合）， D 是半圆ADB的中点， C， D 在直径AB的两侧，若在⊙ O内存在点 E，使 AE=AD， CB=CE．①求证：△ ACE是奇异三角形；②当△ ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题．（ 2） a： b： c=1：2：3．（3）①见解析②60°或120°．【解析】2： 1 ．然后分两种情况讨论 .试题解析：解：（ 1）真命题．（ 2 分）（ 3）在 Rt ABC中， a2+b2=c2，①证明：∵ AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=∠ ADB=90°，在 Rt2 2 2 ACB中， AC+BC=AB；在 Rt2 2 2 ADB中， AD+BD=AB．∵ D 是半圆ADB的中点，∴AD BD ，∴ AD=BD，（ 6 分），2 2 2 2（ 7 分）∴ AB =AD+BD=2AD，2 2 2又∵ CB=CE． AE=AD，∴ AC+ CE=2AE．∴ ACE是奇异三角形．（ 8 分）考点： 1. 命题； 2. 勾股定理； 3. 圆周角定理及推论；4. 直角三角形的性质 .3. 阅读理解：对于任意正实数a 、 ，∵ ( a－ b ) 2 ≥ 0，∴a － 2 ab ＋ ≥ 0，∴ ＋ ≥ 2 ab ，只有当abb a b＝ b 时，等号成 立 .结论：在 a ＋ b ≥2 ab（ a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值 p ，则 a+b ≥2p，只有当 a ＝ b 时， a ＋ b 有最小值 2 p.根据上述内容，回答下列问题：（ 1）若 m ＞ 0，只有当 m ＝时， m ＋ m 有最小值；若 ＞ 0，只有当 ＝时， 2 ＋ m 有最小值.m mm1（ 2）如图，已知直线 L 1： y ＝ 2 x ＋ 1 与 x 轴交于点 A ，过点 A 的另一直 线 L 2 与双曲线 y ＝ x（ x >0）相交于点 B （2， m ），求直线 L 2 的解析式 .（ 3）在（ 2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作∥y 轴交直线L1 于点 ，试CDD求当线段最短时，点 、 、 、 D 围成的四边形面积 .CD A B Cm18【答案】（1）当m m有最小值为 2；当m 2时，2m1时，m有最小值为 8（ 2）yx2（ 3） 23∴A（ -2 ，0）y 8(x 0)又点 B（ 2， m）在x 上，∴ m4, B(2, 4)设直线L2的解析式为：y kx b ，则有，解得：2k b0 2k b 4k 1b 2∴直线L2的解析式为：y x 2；1 6 4 1(5 6) 22 2 12 11234.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
题库-新定义与阅读理解题
新定义与阅读理解题类型一 新法则、运算学习型1.我们规定：若(,),(,),m a b n c d ==则.m n ac bd =+如(1,2),(3,5),m n ==则13+25=13.m n =⨯⨯(1)已知(2,4),(2,-3),m n ==求m n ；(2)已知(,1),(,1)m x a n x a x =-=-+求,y m n =问,y m n =的函数图象与一次函数1y x =-的图象是否相交，请说明理由.解：(1)22+4(3)=8;m n =⨯⨯--(2)不相交，理由如下：2()(1)m n x a x =-++=22(21)1x a x a --++，∴22(21)1y x a x a =--++,与一次函数y=x-1联立得：22(21)11,x a x a x --++=-化简得22220,x ax a -++=∵2224(2)4(2)80,b ac a a -=--+=-<∴方程无实数解，两函数图象无交点.2.对x ，y 定义一种新运算 T ，规定：T (x,y )＝2ax by x y++(其中a 、b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，；例如T （0,1）=01201a b b ⨯+⨯=⨯+.已知T (1,-1) =-2,T (4,2)=1． (1)求a,b 的值；(2)若T (m ,m +3) =-1，求m 的值.解：(1)(1,1)2,21a b T --==--即a -b =-2 ,T (4,2)=42182a b +=+,即2a +b =5 ,解得a=1,b=3;(2)根据题意得3(3)12(3)m mm m++=-++，解得127m=-，经检验，127m=-是方程的解.3.定义新运算：（a，b）⊗（c，d）=（ac，b d），（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）*（c，d）=a2+c2-b d .（1）求（1，2）*（3，-4）的值；（2）已知（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），分别求出p与q的值；（3）在（2）的条件下，求（1，2）⊕（p，q）的结果；（4）已知x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，求（x，5）*（y，xy）的值．解：(1)∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4） =1+9+8 =18；(2)∵（a，b）⊗（c，d）=（ac，bd），∴（1，2）⊗（p，q）=（p，2q），∵（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），∴p=2，2q=-4，∴q=-2；(3)∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），∴（1，2）⊕（p，q） =（1，2）⊕（2，-2） =（3，0）；(4)∵x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，∴x2+y2=3，xy=1，∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（x，5）*（y，xy） =x2+y2-5xy =3-5 =-2．4. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad ).如图①，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A =BC AB=底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题:(1)sad 60°= ___________,sad 90°=____________;(2)如图②，已知sin A =35,其中∠A 为锐角，试求sad A 的值.第4题图解：(1)1，2；(2)∵sin A =35,BC ⊥AC,∴设AB =5a ,BC =3a ，则AC =4a ，如解图，在AB 上取AD =AC =4a ,作DE ⊥AC 于点E ，则DE =AD ·sin A =4a ·35=125a ,AE =AD ·cos a =4a ·45=165a，CE =4a 165-a =45a ，CD =2222412410()()555a a CE DE a +=+=，∴sad A =105CD AC =.第4题解图类型二 新概念学习型1.观察下表我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x +y ，回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为_________,第4格的“特征多项式”为_________,第n 格的“特征多项式”为_________;(2)若第1格中的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16. ①求x ,y 的值；②在①的条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值，若没有，请说明理由.解：(1)16x +9y ,25x +16y ,(n +1)2x +n 2y ;(2)①依题意得4109416x y x y +=-⎧⎨+=-⎩， 解得247267x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ②有，理由如下：设最小值为W ，依题意得：22222426(1)(1)77W n x n y n n =++=-++ 224824777n n =-- 22312(12)77n =--， ∴有最小值3127-，相应的n 值为12.2.已知抛物线21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，且满足111222(0,1)a b c k k a b c ===≠，则抛物线12,y y 互为“友好抛物线”. (1)若y 2有最大值8，则y 1也有最大值，这样的说法对吗，为什么？(2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解，写出至少2条结论.解：(1)不对.理由如下： 如果y 2的最值是m ,则y 1的最值是221112221244844a c b a c b k k a a --==, 当k>0时,y 1有最大值为8k ;当k<0时,y 1有最小值为8k .(2)①当a 1与a 2符号相反时其开口方向相反,当12a a ≠时,两抛物线开口大小不同,②y 1与y 2的对称轴相同; ③如果1y 与x 轴有2个不同的交点，则y 2与x 轴也有两个不同的交点.（写出2条合理结论即可）3.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，AB 为半圆的直径，求这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长.第3题图解：如解图，连接AC ，BC ，第3题解图∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∴点D的坐标为（0，-3），∴OD=3，设y=0，则0=x2-2x-3，解得：x=-1或x=3，∴A（-1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=3，∴CD=CO+OD=3+3.4.定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”.（1）请根据定义判断下列命题的真假；（请在真命题后的括号内打“√”，假命题后的括号内打“×”）①等腰直角三角形一定不存在匀称中线. ( )②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线. （2）已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC,若△ABC是“匀称三角形”，求BC:AC:AB的值；（3）拓展应用：如图②，△ABC是O的内接三角形，AB>AC,∠BAC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，连接CD交O于M，连接AM.①请根据题意用实线在图②中补全图形；②若△ADC是“匀称三角形”，求tan∠AMC的值.第4题图解：(1)①√；②√.(2)∵∠C=90°，AC>BC,如解图①，由（1）可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线，设D为AC的中点，则BD为匀称中线.设AC=2a，则CD=a，BD=2a.∵∠C=90°，∴BC=3a，∴AB=22a a a+=，(2)(3)7∴BC:AC:AB=3:2:7;第4题解图①(3)①根据题意补全图形如解图②；第4题解图②②∵△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△ADE ，∴∠DAE =∠BAC =45°，AD =AB ,∴∠DAC =90°，AD>AC ,∵△ADC 是匀称三角形，∴AD ：AC =2:3，即AB :AC =2:3,如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，第4题解图③则∠AHC =∠BHC =90°，设AC =3k ，则AH =CH =26322kk =，AB=2k , ∴BH =646222k k k --=， ∴tan B =632625462k CH BH k +==-, 在O 中，由∠AMC =∠B 得tan ∠AMC =tan B=3265+. 类型三 新解题方法型 1.如果我们要计算231222++++++99100…22的值，我们可以用如下的方法：解：设231222++S =++++99100…22，①等式两边同乘以2，则有：231012222+++2S =+++99100…22，②②-①得，101221,S S -=-即231011222++21++++=-99100…22.【理解运用】计算：(1)231333++++++99100…33；(2)2313333+-+-+-99100…3.解：(1)设231333++S =++++99100…33，①等式两边同乘以3，得：231013333+++3S =+++99100…33，②②-①得，101231,S =- 即101312S -=, 则原式=101312-. (2)设2313333+S =-+-+-99100…3，①等式两边同乘以3，得：23433333S =-+-+100101…-3+3,②②+①得，101431,S =+ 即101314S +=, 则原式=101314+. 2. 阅读材料：已知方程210a a +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为x ，则x =2a , ∴2xa =， 把2x a =代入210a a +-=，得2()()1022x x +-=，化简得2240x x +-=，所以所求方程为2240x x +-=.这种代换法求新方程的方法，我们称为“换根法”.根据以上阅读材料，解决下列问题：（1）已知方程220a a +-=，求关于m 的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为___________;（2）已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.解：(1)220m m --=；【解法提示】设所求方程的根为m ，则m =-a ,∴a =-m ,把a =-m 代入220a a --=中，得2()20m m ---=，所以所求方程为220m m --=；(2)设所求方程的根为n ，则1(0)n x x=≠， 所以1(0)x n n =≠， 把1x n =代入2ax bx c ++=0中， 得211()()a b c n n++=0， 化简得：20cn bn a ++=，当c =0时，20ax bx +=，方程20ax bx +=有一个根为0（0没有倒数，舍去），所以c ≠0，∴所求方程为20(0)cn bn a c ++=≠.3. 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积. 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 所示，这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.第3题图(1)△ABC 的面积等于___________;思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为5217(0)a a a a >、2、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积；探索创新(3)若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、2244m n +（0,0,m n >>且m n =），试运用构图法求出这个三角形的面积. 解：（1）72；(2)画图如解图①：第3题解图①21112422243222ABC S a a a a a a a a a =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=；(3)构造△ABC 如解图②所示，第3题解图11134432225222ABC S m n m n m n m n mn =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 4. 阅读下列材料：已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦（HerOn,约公元50年）解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中给出了计算公式------海伦公式：()()()S p p a p b p c =---（其中A ,B ,C 是三角形的三边长，2a b c p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明.例如：在△ABC 中，a =3,b =4,c =5,那么它的面积可以这样计算：∵a =3,b =4,c =5, ∴62a b c p ++==， ∴()()()63216S p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=.事实上，对于已知任意三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.根据上述材料，解答下列问题：如图，△ABC 中，BC =5，AC =6，AB =9.(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 得内切圆半径r .第4题图解：(1)∵BC =5，AC =6，AB =9, ∴(569)102p ++==， ∴10(105)(106)(109)102S =⨯---=；(2)如解图，连接AO ,BO ,CO ,第4题解图∵ABC AOB BOC AOC S S S S =++, ∴111102956222r r r =⨯+⨯+⨯， 即956()102222r ++=， ∴10102r =， 解得2r =，∴△ABC 的内切圆半径为2.。
中考数学专题-新定义与阅读理解创新型问题-(解析版)
新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可． 【详解】 令(),y min a b =,当2123x x x +≤-++时，即220x x --≤时，1y x =+， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w ≤时，12x -≤≤， ∴1y x =+（12x -≤≤）， ∴y 随x 的增大而增大， ∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++， 令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0）， ∴当0w >时，2x >或1x <-， ∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-）， ∴2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1， ∴当2x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当x =2时，2y x 2x 3=-++=3， ∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0； ∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3． 故选C ． 【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．2．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．5【答案】C 【分析】由已知可得a +b =6，5S ab ==-，把b =6-a 代入S 的表达式中得：256S a a -+S 的最大值．【详解】 ∴p =5，c =4，2a b cp ++= ∴a +b =2p -c =6∴55S ab ==-由a +b =6，得b =6-a ，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =--=-+-设2+65y a a =--，当2+65y a a =--取得最大值时，S 也取得最大值 ∴22+65(3)4y a a a =--=--+ ∴当a =3时，y 取得最大值4∴S =故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a +b =6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为[],a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3 B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--【答案】D 【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解． 【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++， ∴直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称， ∴点A ，B ，O 在同一直线上， ∴直线23y x m =-++经过原点， ∴m +3=0， ∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--， ∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--． 故选：D 【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y -£-£恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①【答案】A 【分析】分别求出12y y -的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出12y y -的范围，逐一判断各个选项，即可求解． 【详解】解：∴∴15y x =-，232y x =+，∴()()1253227y y x x x -=--+=--，当12x ≤≤时，12119y y -£-£-， ∴函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上不是“逼近函数”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当34x ≤≤时，1211y y -£-£，函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；∴∴211y x =-，222y x x =-， ∴()()22122112x x x y y x x -=--=-+--，当01x ≤≤时，12314y y -£-£-， ∴01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；∴∴15y x =-，224y x x =-，∴()()12225554x y y x x x x --=--=-+-，当23x ≤≤时，12514y y £-£， ∴23x ≤≤不是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 故选A 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键． 5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x < B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从212x x +≥-和212x x +<-两种情况列出关于x 的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当212x x +≥-时， 即13x ≥时，(21)(2)21x x x +*-=+， 则213x +>， 解得1x >，∴此时原不等式的解集为1x >； 当212x x +<-时， 即13x <时，(21)(2)2x x x +*-=-， 则23x ->， 解得1x <-，∴此时原不等式的解集为1x <-；综上所述，不等式(21)(2)3x x +*->的解集是1x >或1x <-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x 的不等式．6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N =．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B 的元素通过分析，与A 的元素对应分类讨论即可． 【详解】解：∴集合B 的元素1,ba a，a ，可得， ∴0a ≠， ∴10≠a，0b a =，∴0b =，当11a =时，1a =，{}1,0,1A =，{}1,1,0B =，不满足互异性，情况不存在， 当1a a=时，1a =±，1a =（舍），1a =-时，{}1,0,1A =-，{}1,1,0B =-，满足题意， 此时，=1b a -． 故选：Ｃ 【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。
中考压轴题新定义和阅读理解型4
中考压轴题新定义和阅读理解型问题新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题．本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题．原创模拟预测题1．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．考点：全等三角形的判定与性质；新定义；阅读型．原创模拟预测题2．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A ．考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；新定义；动点型；综合题． 原创模拟预测题3．在平面直角坐标系中，任意两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），规定运算：①A ⊕B=（12x x +，12y y +）；②A ⊗B=1212x x y y +；③当12x x =且12y y =时，A=B ，有下列四个命题：（1）若A （1，2），B （2，﹣1），则A ⊕B=（3，1），A ⊗B=0；（2）若A ⊕B=B ⊕C ，则A=C ；（3）若A ⊗B=B ⊗C ，则A=C ；（4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ）成立，其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【解析】考点：命题与定理；点的坐标；新定义；阅读型．原创模拟预测题4．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．学科网①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=； ③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误． 故答案为：②③．考点：新定义；根与系数的关系；压轴题；阅读型．原创模拟预测题5．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE=DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH ∽ ． ∴DE DH DHAD =，即DH2=AD×DE ． 又∵DE=DC∴DH2= ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】（1）△HDE ，AD×DC ；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析． 【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定方法，得到△ADH ∽△HDE ；根据等量代换，可得DH2=AD×DC ．（2）先把平行四边形ABCD 转化为等积的矩形ADMN ，然后再作正方形DFGH 与矩形ABMN 等积，所以正方形DFGH 与平行四边形ABCD 等积．[来源:Z §xx §]（3）先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC 转化为等积的矩形MBCD ；然后延长MD 到E ，使DE=DC ，以ME 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，则DH 即为与△ABC 等积的正方形的一条边．（4）先根据由AG ∥EH ，得到AG=2EH ，再由CF=2DF ，得到CF•EH=DF•AG ，由此得出S △CEF=S △ADF ，S △CDI=S △AEI ，所以S △BCE=S 四边形ABCD ，即△BCE 与四边形ABCD 等积．试题解析：（1）如图①，连接AH ，EH ，∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH∽△HDE ，∴DE DH DH AD ，即DH2=AD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=AD×DC ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积，故答案为：△HDE ，AD×DC ；（3）如图③，延长MD 到E ，使DE=DC ，连接MH ，EH ，∵矩形MDBC 的长等于△ABC 的底，矩形MDBC 的宽等于△ABC 的高的一半，∴矩形MDBC 的面积等于△ABC 的面积，∵ME 为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH ⊥ME ，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED ，∴△MDH ∽△HDE ，∴MDDH DHDE =，即DH2=MD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=MD×DC ，∴DH 即为与△ABC 等积的正方形的一条边；（4）如图④，延长BA 、CD 交于点F ，作AG ⊥CF 于点G ，EH ⊥CF 于点H ，△BCE 与四边形ABCD 等积，理由如下：∵AG ∥EH ，∴12EH EF AG AF ==，∴AG=2EH ，又∵CF=2DF ，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．考点：相似形综合题；阅读型；新定义；压轴题；操作型．原创模拟预测题6．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．【解析】试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；学科网③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴AE AF，∴∠AB′E=∠AB′F=12∠EB′F=45°．考点：四边形综合题；新定义；阅读型；探究型；压轴题．原创模拟预测题7．知识迁移我们知道，函数)(00，02>>≠+-=n ,m a n )m x (a y 的图像是由二次函数2ax y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到．类似地，函数)n m k (n m x k y 0，0，0>>≠+-=的图像是由反比例函数x k y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为（m ，n ）．理解应用函数113+-=x y 的图像可以由函数x y 3=的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ．灵活运用如图，在平面直角坐标系xOy 中，请根据所给的x y 4-=的图像画出函数224---=x y 的图像，并根据该图像指出，当x 在什么范围内变化时，y ≥1-？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x ，发现该生的记忆存留量随x 变化的函数关系为441+=x y ；若在t x =（t ≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x 变化的函数关系为a x y -=82．如果记忆存留量为21时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x 为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】（1）理解应用：1，1，（1，1）；（2）灵活应用：当﹣2≤x ＜2时；（3）实际应用：当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【解析】试题分析：理解应用：由“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：灵活应用：由平移规律作出图象；实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．试题解析：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数113+-=x y 的图象可由函数x y 3=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．故答案为：1，1，（1，1）；灵活应用：将x y 4-=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数224---=x y 的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：由y=﹣1，得4212x --=--，解得x=﹣2．由图可知，当﹣2≤x ＜2时，y≥﹣1；[来源:]实际应用：当x=t 时，144y t =+，则由144y t =+=12，解得：t=4，即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，∴点（4，1）在函数a x y -=82的图象上，则814a =-，解得：a=﹣4，∴284y x =+，当284y x =+=12，解得：x=12，即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．考点：反比例函数综合题；新定义；阅读型；综合题；压轴题．原创模拟预测题8．阅读与应用：阅读1：a 、b 为实数，且a ＞0，b ＞0，因为2)0a b ≥，所以20a ab b -≥从而2a b ab +≥（当a=b 时取等号）．阅读2：若函数m y x x =+；（m ＞0，x ＞0，m 为常数），由阅读1结论可知：2m x m x +≥所以当m x x =，即x m =时，函数m y x x =+的最小值为m阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x ，则另一边长为4x ，周长为2（4x x +），求当x= 时，周长的最小值为 ；问题2：已知函数11y x =+（1x >-）与函数22210y x x =++（1x >-），当x= 时，21y y 的最小值为 ；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）【答案】（1）2，8；（2）2，6；（3）700，24．试题解析：问题1：4x x =（0x >），解得x=2，x=2时，4x x +有最小值为24⨯=4．故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；问题2：∵11y x =+（1x >-），22210y x x =++（1x >-），∴21y y =9(1)1x x +++，9(1)1x x +=+，解得x=2，x=2时，9(1)1x x +++有最小值为29=6； 问题3：设学校学生人数为x 人，则生均投入=24900100.01x x x ++=4900100.01x x ++=490000100.01()x x ++，490000x x =（0x >），解得x=700，x=700时，490000x x +有最小值为2490000，故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．考点：二次函数的应用；阅读型；最值问题；压轴题．。
新定义型问题和阅读理解型问题.doc
新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考考点
考点一：规律题型中的新定义
考点二：运算题型中的新定义
考点三：探索题型中的新定义
考点四：开放题型中的新定义
考点五：阅读材料题型中的新定义
阅读理解型问题
一、中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
二、解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
三、中考考点
考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题。
阅读理解及新定义问题
例题1
阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫作虚数单
位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实
部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、
乘法运算类似．
例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；
专题突破一
阅读理解及新定义型问题
阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，
实现自主探索主动发展的基础．
阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别
致．这类问题，主要考查解题者的心理素质、自学能力和阅读理解能力，
考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括
点拨
解
解
x2＋x＋1 1 y＝ ＝ x ＋ ＋ 1 ≥ 2 x x
1 x· ＋ 1 ＝ 3 ， x
1 当 x＝ x，即 x＝1 时，y 的最小值为 3.
(2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家 庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险
n ＋n 费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为 万 10
由 “ 等宽曲线 ” 的定义知 AB ＝ BC ＝ AC ＝ 2cm ，即可得
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据弧长公式计算．
解 如图 3，由题意知：AB＝BC＝AC＝2cm， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60° ， ∴ AB 在以点 C 为圆心，2cm 为半径的圆上， 60·π·2 2π ∴ AB 的长＝ 180 ＝ 3 ， 2π ∴莱洛三角形的周长为 3 ×3＝2π(cm)． 故答案为：2π.
中考数学全面突破《新定义及阅读理解型问题》练习题含答案
题型4 新定义及阅读理解型问题题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝1a－b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是( )A. x＝4B. x＝5C. x＝6D. x＝72.对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3.若关于x 的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是( )A. 0B. 2C. 3D. 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( )①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大．其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a ≥b ）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________． 6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________．8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程． 证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)； (2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q(p ，q 是正整数，且p ≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x ≤y ≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7， 所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝3x＋9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y＝－2x＋4与y＝－2x－6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形；(2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′.【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________；(4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)；(5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B【解析】根据题意a⊗b＝1a－b2，则x⊗(－2)＝1x－（－2）2＝1x－4，又∵x⊗(－2)＝2x－4－1，∴1x－4＝2x－4－1，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的根，∴原方程x⊗(－2)＝2x－4－1的解是x＝5.2. B【解析】当x＋3≥－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝x＋3，此时x ≥－1，∴y≥2；当x＋3＜－x＋1时，max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1，此时x＜－1，∴y＞2.综上y的最小值为2.3. B【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log212＝－1，故③正确．4. C【解析】∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，若a@b＝0，则(a＋b)2－(a－b)2＝0，∴(a＋b)2＝(a－b)2, ∴a＋b＝±(a－b)，∴a＝0或b＝0，∴①正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，∴a@(b＋c)＝[a＋(b＋c)]2－[a－(b＋c)]2＝[a＋(b ＋c)＋a－(b＋c)][a＋(b＋c)－(a－b－c)]＝4ab＋4ac，∵a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＋a2＋2ac＋c2－a2＋2ac－c2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，∴②正确；∵a@b＝(a＋b)2－(a －b)2＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab，当a＝b＝0时，满足a@b＝a2＋5b2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c，则2c＝2a＋2b，b＝c－a，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝4a(c－a)＝－4(a－12c)2＋c2，∴当a＝12c时，4ab有最大值是c2，即a＝b时，a@b的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32.7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN ·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )， ∴MB ＝MG. 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF 是“匀称三角形”． 理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD 、OD ， ∵AB 是⊙O 直径， ∴AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ， ∴D 是BC 中点， ∵O 是AB 中点， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC.∵DF 切⊙O 于D 点， ∴OD ⊥DF ， ∴EF ⊥AF ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ，易证Rt △BDG ≌Rt △CDF(AAS )， ∴BG ＝CF ， ∵BE CF ＝53， ∴BE BG ＝53， ∵BG ∥AF(或Rt △BEG ∽Rt △AEF)， ∴BE BG ＝AE AF ＝53.在Rt △AEF 中，设AE ＝5k ，则AF ＝3k ， 由勾股定理得，EF ＝4k ，∴AF ＋EF ＋AE 3＝3k ＋4k ＋5k 3＝4k ＝EF ，∴△AEF 是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m 是一个完全平方数，∴m ＝p ×q ，当p ＝q 时，p ×q 就是m 的最佳分解， ∴F(m)＝p q ＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y ＋x)－(10x ＋y)＝18， 得y ＝x ＋2(y ≤9)，∴t ＝10x ＋y ＝10x ＋x ＋2＝11x ＋2(1≤x ≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个， ∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179， ∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22. (2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2， 又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切． (3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25， ∴这两条直线之间的距离为2 5. 12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD ′＝60°，∠PAO ＝60°.∵∠DAP ＝∠DAD ′－∠PAD ′＝60°－∠PAD ′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD ′，∴∠DAP ＝∠D ′AO. ∵∠D ＝∠D ′，AD ＝AD ′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO＝60°. ∵∠EAP＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∠E′AO＝∠PAO－∠PAE′＝60°－∠PAE′，∴∠EAP＝∠E′AO(ASA)．∵∠E＝∠E′，AE＝AE′，∴△EAP≌△E′AO，∴AP＝AO，又∵∠PAO＝60°，∴△AOP是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC，AD′，CD′.∵AE′＝AB，∠E′＝∠B＝180°×（5－2）＝108°，E′D′＝BC，5∴△AE′D′≌△ABC(SAS)，∴AD′＝AC，∠AD′E′＝∠ACB，∴∠AD′C＝∠ACD′，∴∠OD ′C ＝∠OCD ′， ∴OC ＝OD ′，∴BC －OC ＝E ′D ′－OD ′，即BO ＝E ′O. ∵AB ＝AE ′，∠B ＝∠E ′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE ′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°， 在△OAB 和△OAD ′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OA BA ＝D ′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D ′AO ， 由(1)知∠D ′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ， ∵∠EAB ＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE ＋∠BAO ＝48°， 同理可证得∠OAB ＝∠PAE ，∴∠OAB ＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，AO ＝AP ，且∠PAO ＝60°，故△AOP 是等边三角形．(5)60°－180°n(n ≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n 边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB ＝180°（n －2）n－60°2，化简得∠OAB ＝60°－180°n(n ≥3)．13. 解：(1)由题意得n ＝1， ∴抛物线y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y ＝mx ＋1，得m ＝－1， ∴m ＝－1，n ＝1.(2)由题意设“路线”L 的解析式为y ＝a(x －h)2＋k ， ∵顶点Q 的坐标在y ＝6x 和y ＝2x －4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6hk ＝2h －4， 解得h ＝－1或3，∴顶点Q 的坐标为(－1，－6)或(3，2)， ∴y ＝a(x ＋1)2－6或y ＝a(x －3)2＋2， 又∵“路线”L 过P(0，－4)，代入解得a ＝2(顶点为(－1，－6))， a ＝－23(顶点为(3，2))，∴y ＝2(x ＋1)2－6或y ＝－23(x －3)2＋2，即y ＝2x 2＋4x －4或y ＝－23x 2＋4x －4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k 2－2k ＋12a ，4ak －（3k 2－2k ＋1）24a )，设带线l ：y ＝px ＋k ，代入顶点坐标得p ＝3k 2－2k ＋12，∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y轴于点(0，k)，∵k ≥12＞0，∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0，∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k＋3，令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2， ∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2， 故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。
(浙江专版)2022中考数学专题6新定义与阅读理解型问题(精讲本)课件
解：②如图②，延长 CB 到 F，使得 BF＝BC，延长 CD 到 G， 使得 CD＝DG，连结 FG，分别与 AB，AD 交于点 M，N，过 G 作 GH⊥BC，与 BC 的延长线交于点 H.则 BC＝BF＝5，CD ＝DG＝1，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴CM＝FM，CN＝GN， ∴△MNC 的周长＝CM＋MN＋CN＝FM＋MN＋GN＝FG 的 值最小，∵四边形 ABCD 是“直等补”四边形，∴∠A＋ ∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠HCG＝180°，∴∠A＝∠HCG， ∵∠AEB＝∠CHG＝90°，∴GBHE ＝CAHE ＝CAGB ，∵AB＝5， BE＝4，∴AE＝ AB2－BE2 ＝3，∴G4H ＝C3H ＝52 ，∴GH ＝85 ，CH＝65 ，∴FH＝FC＋CH＝556 ，∴FG＝ FH2＋GH2 ＝8 2 ，∴△MNC 周长的最小值为 8 2 .
新定义与阅读理解型问题主要分为三类：新定义型、模仿 学习型、归纳探索型． 解题策略：解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析 →理解→解决问题”，具体做法： ①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词； ②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和 方法，提取有价值的数学信息； ③对有关信息进行归纳整合，并运用方程、不等式、函数 或几何等数学模型来解答．
(3)解：线段 AD，CD 和 BD 之间数量关系为：AD2＋CD2 ＝BD2，理由如下：∵对余四边形 ABCD 中，∠ABC＝ 60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△BAF，连结 FD，如图所示， 可证∠FAD＝90°，∴AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋CD2＝ BD2.
4．(2021·鄂州)数学课外活动小组的同学在学习了完全平 方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术 平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过 程并解决问题．
专题：与新定义或新定理有关的阅读理解
专题五十：与新定义或新定理有关的阅读理解典例分析例.（2022青岛中考）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在ABC 和A B C '''V 中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''V 是等高三角形．【性质探究】如图①，用ABC S ，A B C S '''分别表示ABC 和A B C '''V 的面积．则11,22ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△，∵AD A D ''=∴::ABC A B C S S BC B C ''=''△△．【性质应用】（1）如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；（2）如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABCS =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；（3）如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABC Sa =，则CDE S =△__________．专题过关1.（2022嘉兴中考）小东在做九上课本123页习题：“1也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB 的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造DPE，使得DPE∽CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．2．（2022常州中考）（8分）如图，点A在射线OX上，OA＝a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°（0＜n≤360）到OA′，那么点A′的位置可以用（a，n°）表示．（1）按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为；（2）在（1）的条件下，已知点B的位置用（3，74°）表示，连接A′A、A′B．求证：A′A＝A′B．3.（2022北京中考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM =（2）O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）4．（2022常州中考）（10分）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．5.（2022郑州外国语三模）阅读下列材料，并完成相应的任务．任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．（2）请将证明过程补充完整．=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．（3）善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD CF6.（2022河南西平一模）阅读以下材料，并完成相应的任务：西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知ABC 内接于⊙O ，点P 在⊙O 上（不与点A 、B 、C 重合），过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，F 求证：点D ，E ，F 在同一条直线上以下是他们的证明过程：如图1，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ，QF ，则12PQ CQ PC EQ FQ ====（依据1），∴E ，F ，P ，C 四点共圆．∴180FCP FEP ∠+∠=︒（依据2）．又∵180ACP ABP ∠+∠=︒，∴FEP ABP ∠=∠．∵90BDP BEP ∠=∠=︒，∴B ，D ，P ，E 四点共圆．∴DBP DEP ∠=∠（依据3）．∵180ABP DBP ∠+∠=︒，∴180FEP DEP ∠+∠=︒（依据4）．∴点D ，E ，F 在同一条直线上．任务：（1）填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；③依据3指的是______；④依据4指的是______．（2）善于思考的小英发现当点P 是BC 的中点时，BD CF =．请你利用图2证明该结论的正确性．7.（2022河南桐柏一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知：如图1，______．求证：______．证明：如图2，作BAE CAD ∠=∠，交BD 于点E ，……∴ABE △∽ACD △，∴AB DC AC BE ⋅=⋅，……∴ABC ∽AED ，∴AD BC AC ED ⋅=⋅，∴()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅．（1）请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程；（2）如图3，已知正五边形ABCDE 内接于O ，1AB =，求对角线BD 的长．8.（2022河南社旗一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes 公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Birni （973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据AI-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是弧ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明CD AB BD =+的部分证明过程．证明：如图2，在CD 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是弧ABC 的中点，…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等边三角形ABC 内接于O ，D 为弧AC 上一点，15ABD ∠=︒，CE BD ⊥于点E ，2CE =，连接AD ，则△DAB 的周长是___________．9.（2022河南商水二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．（1）如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；（2）如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，AB =C 到AB 边的距离；（3）如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EF DE 的值．阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al-Binmi （973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD AB BD =+，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG AB =，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA MC =，L任务：（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；（2）如图3，已知等边ABC 内接于⊙O ，4AB =，D 为AC 上一点，45ABD ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，请直接写出BDC 的周长．在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．任务：（1）如图1，AB为⊙O的任一弦．①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______；②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由．（2）下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整．证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，连接OP，OQ，MG，NG，OG，由任务（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即22GC CF MC MCGE ED NE NE===，又C E∠=∠，取PO的中点O′，在四边形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四点在以O′为圆心的一个圆上，∴∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等），同理：∠3=∠4，_______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________12.（2022焦作一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，OA为，交大圆O于点C，连接OC，交小圆O于点D，半径作大圆O，连接OA交小圆O于点B，过B作BC OA连接AD，则AD是小圆O的切线．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．证明：13.（2022河南滑县一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及________；②依据2指的是________．（2）请将证明过程补充完整．=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．（3）善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD CF14.（2022郑州一模）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式12111R R R =+计算：当17.5R =，25R =时，R 的值为多少；②如图，在AOB 中，120AOB ∠=︒，OC 是AOB 的角平分线，7.5OA =，5OB =，用你所学的几何知识求线段OC 的长．15.（2022太原二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系．定义：如图1，若ABC 内一点P 满足PAC PCB PBA ∠=∠=∠，则称P 为ABC 的布罗卡尔点．若设PAC PCB PBA α=∠=∠=∠，则称α为布罗卡尔角．人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．任务：（1）等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心；（2）若设等边三角形的面积为S ，边长为a ，布罗卡尔角为β，求证：23tan 4a S β⋅=；（3）如图2，在等腰直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，若P 是它的一个布罗卡尔点，满足PAC PBA PCB ∠=∠=∠，AP =，求BP CP +的值．16.（2022鄂州中考）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y ＝ax 2（a ＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M 到定点F （0，14a ）的距离MF ，始终等于它到定直线l ：y ＝﹣14a上的距离MN （该结论不需要证明），他们称：定点F 为图象的焦点，定直线l 为图象的准线，y ＝﹣14a 叫做抛物线的准线方程．其中原点O 为FH 的中点，FH=2OF=12a，例如，抛物线y ＝12x 2，其焦点坐标为F （0，12），准线方程为l ：y ＝﹣12．其中MF=MN ，FH=2OH=1．（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y ＝2x 2的焦点坐标和准线l 的方程：，．（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线y ＝18x 2上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐标；（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线l 于点A 、B 、C ．若BC ＝2BF ，AF ＝4，求a 的值；（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段AB 分为两段AC 和CB ，使得其中较长一段AC 是全线段AB 与另一段CB 的比例中项，即满足：AC AB ＝BC AC ＝12．后人把12这个数称为“黄金分割”把点C 称为线段AB 的黄金分割点．如图4所示，抛物线y ＝14x 2的焦点F （0，1），准线l 与y 轴交于点H （0，﹣1），E 为线段HF 的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点．当MH MF 时，请直接写出△HME 的面积值．17．（2022遂宁中考）（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．18．（2022常州中考）（8分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．19.（2022河北中考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．20.（2022赤峰中考）阅读下列材料定义运算：min ,a b ，当a b ≥时，min ,a b b =；当a b <时，min ,a b a =．例如：min 1,31-=-；min 1,22--=-．完成下列任务（1）①()0min 3,2-=_________；②min 4-=_________.（2）如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数22y x b =-+的图像交于A 、B 两点．当20x -<<时，()()2min ,213k x b x x x x -+=+--．求这两个函数的解析式．。
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y x O
y
x O
y x
O
y
x
O
A B C D
专题51 新定义和阅读理解型问题
新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）=．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：2※3= ；
（2）若5※m=，则m= ．
（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ）
【答案】解：（1）
（2）±6
（3）D
【解析】
考点：规律探索应用，反比例函数的图像
2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△A CE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【答案】（1）真命题．（2）a：b：c=1：：．（3）①见解析②60°或120°．
【解析】
： 1．然后分两种情况讨论.
试题解析：解：（1）真命题．（2分）
（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，
①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；
在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．
∵D是半圆的中点，∴，
∴AD=BD，（6分），
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，（7分）
又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．
∴ΔACE是奇异三角形．（8分）
考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.
3.阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a ＝b时，等号成立.
结论：在a＋b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a＝b时，a＋b有最小值2. 根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m＝时，m＋有最小值；
若m＞0，只有当m＝时，2m＋有最小值 .
（2）如图，已知直线L1：y＝x＋1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝
（x>0）相交于点B（2，m），求直线L2的解析式.
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积.
【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，有最小值为8 （2）（3）23
∴A（-2，0）
又点B（2，m）在上，
∴
设直线的解析式为：，
则有，
解得：
∴直线的解析式为：；
4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
目前，已破译出“正做数学”的真实意思是“祝你成功”。
若“正”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是，破译的“今天考试”真实意思是。
【答案】对应文字横坐标减1，纵坐标减2；努力发挥。
【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。
5. 对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]44,31, 2.53⎡⎤==-=-⎣⎦
，现对82进行
如下操作：18293829313823⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−→=−−−→=−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
第次第2次第3次，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，①对121只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】①3；②255。
【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。
6. 初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m,n) 表示第m 行第n 列的座位，新学
期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m,n) ，如果调整后的座位为(i,j) ，则称该生作了平移
[][]a,b m i,n j =-- ,并称a b +为该生的位置数。
若当m n 36⋅=时，m n +取得最小值，则该生位置数的最
大值为 ▲ 。
【答案】10。
【考点】坐标与图形的平移变化，坐标确定位置。
7.阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。
例如：（1）()()()am an bm bn am bm an bn m a b ()n a b a b m (n )()+++=+++=+++=++，
（2）()
()()()2
22222x y 2y 1x y 2y 1x y 1x y 1x y 1---=-++=-+=++--。
试用上述方法分解因式224x 2x y y --- 。
【答案】()()2x y 2x y 1+--。
【考点】分组分解法因式分解。
【分析】()()()()()()22224x 2x y y 4x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 1---=--+=+--+=+--。
8.设a 、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m ，n]上的“闭函数”． （1）反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y x b =-+是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数2y x 4x 7=--是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值． 【答案】解：（1）反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。
理由如下： ∵反比例函数2014
y x
=在第一象限，y 随x 的增大而减小，且
当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，
∴当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数2014
y x
=
是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。
（3）∵()2
2y x 4x 7x 211=--=--，
∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是11-，且当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；
当x ＞2时，y 随x 的增大而增大。
①当b≤2时，此二次函数y 随x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，
22
a 4a 7b
b 4b 7a
⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，两式相减， 得()()()()()22a b 4a 4b b a a b a b 3a b 0a b a b 30--+=-⇒-+--=⇒-+-= ∵a b 0-≠，∴a b 30b 3a +-=⇒=-。
∴22a 4a 73a a 3a 100--=-⇒--=
解得，a 5b 2=⎧⎨=-⎩或a 2b 5=-⎧⎨=⎩
（均不合题意，舍去）。
②当a ＜2＜b 时，此时二次函数2y x 4x 7=--的最小值是11-=a ，根据“闭函数”的定
义得
【考点】新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。