辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中数学(理)试题

绝密★启用前 辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题 试卷副标题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I
卷的文字说明
一、单选题 1．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a +1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 2．已知m >n ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．m a n b +>+ B ．mc nc > C ．a m a n -<- D ．22ma na > 3．在△ABC 中，3,30b c B ===，则a =（ ） A B ．C D ．2 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=12，则a 3+a 4=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 5．已知∆ABC 的周长为18，且sin A ：sin B ：sin C =4：3：2，则cos A =（ ） A ．23 B ．23- C ．14 D ．14-
6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1055S S =，则1510S S =（ ） A ．73 B ．215 C ．17 D ．5
7．设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为2224a b c S +-=，则∠C 为（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 8．已知等比数列{}n a 满足582a a +=，67·8a a =-则211a a +=（ ） A ．5 B ．-5 C ．7 D ．-7 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 16＜
0，S 17＞0，则S n 的最小值为（ ）
A ．16S B
．17S C ．8S D
．9S
10．设变量x 、y
满足2
0403
x y x y y -≤
⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则2x +3y 的最大值为（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
11．在∆ABC 中，若22B
sinAsinC cos
=，则△ABC 是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
12．已知x ＞0，y ＞0且x +y =1
的最小值是（ ）
A B C ．5+ D ．
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5•a 6=27，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=______． 14．对于x ∈R 恒有意义，则常数m 的取值范围是______
15．若数列{a n }的前n 项和24n n S =-，则{a n }的通项公式是______
16．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是___
三、解答题
………___
_
_
__
_…
…
…
17．求函数223(),(0)x x f x x x -+-=>的最大值，以及此时x 的值． 18．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长． 19．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 4=10，且a 3、a 6、a 10成等比数列． （1）求{a n }
的通项公式； （2）设b n =62n a -，求数列{b n }的前n 项和n S . 20．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 21．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+3x ，其中a ＞0． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞3x+2的解集； （2）若不等式f （x ）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a 的值． 22． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244n S n n =-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：()()()2213M N a a a a -=--+-()
222423a a a a =----223a a =-+()2120a =-+>恒成立，所以M N >．故A 正确．
考点：作差法比较大小．
2．C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可得正确选项．
【详解】
∵m >n ，则取m =1，n =0，a =0，b =2，c =0，可排除A ，B ，D ．
对C ，∵m ＞n ，∴-m ＜-n ，∴a m a n -<-成立，故C 正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
3．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.
【详解】
由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-
可得：2396a a =+-
解得：a =本题正确选项：C
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力.
4．B
【分析】
将S 6转化为用a 3和a 4表达的算式，即可得到a 3+a 4的值．
【详解】
由等差数列{a n }的前n 项和为S n ，得S 6=
1662a a +⨯=3462
a a +⨯=12，解得a 3+a 4=4. 故选：B ．
【点睛】
本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了等差中项的性质，属于基础题．
5．D
【解析】
【分析】
由正弦定理得sinA ：sinB ：sinC =a ：b ：c=4：3：2，可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，由余弦定理可得cosA 的值．
【详解】
∵由正弦定理得：在∆ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =a ：b ：c =4：3：2，∴可设a =4k ，b =3k ，c =2k ，k ＞0， ∴由余弦定理可得：cos A =2222b c a bc
+-=2229416232k k k k k +-⨯⨯=-14． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题．
6．B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可得：S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】
由等比数列的性质可得：S 5，S 10-S 5，S 15-S 10（各项不为0）成等比数列，
不妨设S 5=1，由1055S S =，可得S 10=5．∴（5-1）2=1×（S 15-5），解得S 15=21，则1510S S =215
．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n 项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】
设∆ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，三角形面积为222
4
a b c S +-=， 所以1224abcosC absinC =，整理得tanC =1，由于0＜C ＜π，所以C =4
π． 故选：C
【点睛】
本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 8．D
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可以求出58a a ⋅的值，连同已知582a a +=，可以求出
58,a a 的值，进而求出首项和公比，分类求出211a a +的值。

【详解】
等比数列{}n a 有5867·
·8a a a a ==-，而582a a +=， 联立组成方程组，5855888422a a a a a a =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或58
24a a =-⎧⎨=⎩，设公比为q 当5842a a =⎧⎨=-⎩时，解得14341
2a q q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，1011211817;q a a q a a +=+=-+=-
当5824a a =-⎧⎨=⎩时，解得14322a q q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
，1210111187a q a a a q =+=-=-+，故本题选D 。

【点睛】
本题考查了等比数列的性质、通项公式。

9．C
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的求和公式可得，a 1+a 16＝a 8+a 9＜0，a 1+a 17＝2a 9＞0，从而可得a 8＜0，
a 9＞0，即可判断．
【详解】
∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 16＜0，S 17＞0，()116161602
a a S ⨯+∴=
<，∴a 1+a 16=a 8+a 9＜0， ()117171702
a a S ⨯+∴=>，∴a 1+a 17=2a 9＞0，∴a 8＜0，a 9＞0，∴a 1＜0，d ＞0，则当n =8时，S n 取最小值S 8．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和与等差数列性质的简单应用，属于基础题．
10．A
【解析】
【分析】
先画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数z ＝2x +3y 的几何意义取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】
变量x 、y 满足20403x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩
的平面区域如图所示：
令z =2x +3y 可得y =-23x +3z ，则3
z 为直线2x +3y -z =0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 作直线l ：2x +3y =0，把直线向上平移可得过点A 时2x +3y 最大，由34y x y =⎧⎨+=⎩
可得x =1，y =3，此时z =11．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键，属于基础题．
11．C
【解析】
【分析】
利用倍角公式降幂，再把B 用A 和C 表示，然后利用两角和与差的余弦公式变形求解即可．
【详解】 由22B sinAsinC cos =，得sin A sin C =12
cosB +，则2sin A sin C =1+cos B =1-cos （A +C ）=1-cos A cos C +sin A sin C ，
∴cos A cos C +sin A sin C =1，即cos （A -C ）=1．∵-π＜A -C ＜π，∴A -C =0，得A =C ．∴∆ABC 是等腰三角形．
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形的形状判断，考查三角函数的恒等变换应用，属于基础题．
12．A
【解析】
【分析】
利用“1”的代换的思想，由已知可得
23x y +=（23x y +）（x +y ）=5+23y x x y +，再利用基本不等式可求最值．
【详解】
∵x ＞0，y ＞0且x +y =1，∴23x y +=（23x y +）（x +y ）=5+235y x x y +≥++
当且仅当23y x x y
=且x +y =1，当且仅当x =3y 2-时取等号，
∴
故选：A ．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，基本不等式的性质，考查转化思想，“1”代换的应用，考查计算能力，属于基础题．
13．15
【解析】
【分析】
由等比数列及对数的运算性质可知：log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝log 3（a 1•a 2•…•a 10）＝log 3
（3）15＝15．
【详解】
由等比数列{a n }的性质可得：a 1•a 10=a 2•a 9=…=a 5•a 6，
由对数的运算性质可知：log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3（a 1•a 2•…•a 10）=log 3（27）5=log 3（3）
15=15，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查对数的运算性质，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
14．[0，4）
【解析】
【分析】
由题意，210mx mx -+>恒成立，分m =0及m ≠0两种情况讨论即可．
【详解】
对于x ∈R
0，即mx 2-mx +1＞0恒成立，
当m =0时，2110mx mx -+=>，显然恒成立，
当m ≠0时，要使mx 2-mx +1＞0恒成立，则2040m m m >⎧⎨-<⎩
，解得0＜m ＜4， 综上，实数m 的取值范围为[0，4）．
故答案为：[0，4）．
【点睛】
本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的解法及转化思想，属于基础题．
15．a n =12,12,2n n n --=⎧⎨≥⎩
． 【解析】
【分析】
由题意得11,1,2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，求出n a 即可. 【详解】
∵数列{a n }的前n 项和24n n S =-，∴当1n =时，a 1=S 1=2-4=-2，
当n ≥2时，()
11112424222n n n n n n n n S a S ----==--=---=． 检验：当1n =时，12a =-不适合上式，∴{a n }的通项公式是a n =12,12,2n n n --=⎧⎨≥⎩
． 故答案为：a n =12,12,2n n n --=⎧⎨
≥⎩． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，解题时要认真审题，属于基础题.
16
．
【解析】
【分析】
分两种情况来做，当x 为最大边时，只要保证x 所对的角为锐角即可；当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角即可．
【详解】
分两种情况来做，当x 为最大边时，由余弦定理可知只要22+32﹣x 2＞0即可，可解得
3x ＜当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角即可，则有22+x 2﹣3
2
＞03x ≤
综上可知x 的取值范围为
，
故答案为． 【点睛】
本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论，是基础题
17．max ()1f x =- x =
【解析】 试题分析：
整理函数的解析式为()312f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，结合均值不等式的结论可得当2
x =
时，函数的最大值为1-试题解析：
()312f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
因为0x >，所以32x x
+≥
32x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝
⎭
因此()1f x ≤-
当且仅当32x x =，即232
x =时，等号成立 由0x >
，因而x =时，式中等号成立 因此(
)max 1f x =-
x =
18．120o C =
,c =
【解析】
试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-
⎣⎦，所以120C = （2
）由题意得{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-
=(
)(2222210a b ab a b ab ++=+-=-=
∴AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题
19．（1）a n = n +6； （2）122n n S +=-.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列以及等比数列关系，求出公差，然后求解数列的通项公式即可； （2）化简数列{b n }的通项公式，判断数列是等比数列，然后求数列的和．
【详解】
（1）设数列{a n }的公差为d ，且a 4=10，则a 3=a 4-d =10-d ，
a 6=a 4+2d =10+2d ，a 10=a 4+6d =10+6d ， 由a 3，a 6，a 10成等比数列，得23106a a a =，即（10-d ）（10+6d ）=（10+2d ）2，
整理得10d 2-10d =0，解得d =1或d =0（舍），∵a 4=10，d =1，∴a 1=7，
所以，a n =a 1+（n -1）d =n +6．
（2）由（1）得622n a n
n b -==，当n =1时，b 1=2；当n ≥2时，11222n
n n n b b --==．
故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，()12122212n n n
S +-==--．
【点睛】 本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，等比数列的求和，考查计算能力，属于基础题．
20．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；
(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.
【详解】
(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，
()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.
2221cos 22
b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒. (Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒
-()1sin sin 602
B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B
C +取得最大值1.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
21．（1）{|13}x x x <->或；（2）2a =
【解析】
【分析】
（1）将f （x ）＞3x+2化简，解绝对值不等式；
（2）解不等式f （x ）≤0用a 表示，同一个不等式的解集相等，得到a ．
【详解】
（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+3x ＞3x+2，可化为|x ﹣1|＞2．由此可得 x ＞3或x ＜﹣1．
故不等式f （x ）＞3x+2的解集为{x|x ＞3或x ＜﹣1}．
（2） 由f （x ）≤0得：|x ﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组：30x a x a x ⎧⎨-+≤⎩…或 30
x a a x x <⎧⎨-+⎩…．即 a≤x≤4a ，或x≤﹣2a ， 因为a ＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣
2a }，由题意可得﹣2a ＝﹣1，故a ＝2 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解，属于基础题．
22．（1）
（2）略
【解析】
【详解】
试题分析：（1）当1n =时，111a S ==．
当2n ≥时， ()()22441414n n n n ⎡⎤=-+----+⎣⎦
．
∵不适合上式,
∴
（2）证明: ∵1,12{252,22n n n n
n a b n n ===-≥． 当时，11,2
T =
当2n ≥时，23111252222n n
n T --=++++, ① 234111112725222222n n n n n T +---=+++++． ② ①－②得:
23111211252()222222
n n n n T +-=-+++- 211125(1)222
n n n -+-=-- 得211(2)2
n n n T n -=-≥， 此式当
时也适合． ∴
N ． ∵*210()2n n n ->∈Ν， ∴1n T <．
当2n ≥时，111212123(1)(1)0222n n n n n n n n T T ++++---=---=>， ∴1(2)n n T T n +<≥．
∵12131,1244
T T ==-=， ∴21T T <．
故2n T T ≥，即*1()4n T n ≥
∈N ． 综上，*11()4
n T n ≤<∈N ． 考点：本题主要考查数列的概念，等差数列、等比数列的基础知识，“错位相减法”，“放缩法”证明不等式。

点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。

“分组求和法”、“错位相消法”、“裂项相消法”是高考常常考到数列求和方法。

先求和，再利用“放缩法”证明不等式，是常用方法。