人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知抛物线()2
0y ax bx c a =++<过()30A -,
、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．不能确定
2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．根据下列表格中的对应值：
x
1.98 1.99
2.00 2.01 2y ax bx c =++
-0.06
-0.05
-0.03
0.01
判断方程（，，，为常数）一个根的范围是（）A ．1.00 1.98x << B ．1.98 1.99x << C ．1.99 2.00x <<
D ．2.00 2.01x <<
4．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．无法确定
5．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≤
B ．1
2
m <
C ．102
m <<
D ．12m <<
6．下列各图象中有可能是函数()2
0y ax a a =+≠的图象（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2
y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y >>
B ．213y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
9．如果将抛物线23y x =+先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)1y x =++ C ．21y x =+
D ．2(1)1y x =-+
10．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7-
6- 5- 4-
3-
2-
y
27- 13-
3-
3
5
3
则当时，的值为（）A ．5
B ．3-
C ．13-
D ．27-
11．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+
B ．2(1)1y x =-+
C ．2(2)2y x =-+
D ．2(1)3y x =-+
12．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．小明研究抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数）性质时得到如下结论： ①这条抛物线的顶点始终在直线y =x +1上；
②当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围为a ≥2；
③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2a ，则y 1＞y 2； ④只存在一个a 的值，使得抛物线与x 轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形；
其中正确结论的序号是____．
14．关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解是13x =，则抛物线
22y x x k =-++与x 轴的交点坐标是____．
15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．
16．将抛物线2(3)2y x =--向左平移3个单位后的解析式为______． 17．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，
23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是
___________．
18．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．
19．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕着点A （2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为_____．
20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．
三、解答题
21．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，
OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b 、c 的值．
（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．
（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段
NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
22．已知二次函数2(2)1y x =--，
（1）确定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）如图，观察图象确定，x 取什么值时，①y ＞0，②y ＜0，③y ＝0．
23．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）． （1）写出y 与x 之间的函数解析式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．
24．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．
（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．
25．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y （万个）与销售价格x （元/
个）的变化满足1
8
10
y x
=-+；同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（2）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
26．阅读下列材料：
我们知道，一次函数y kx b
=+的图象是一条直线，而y kx b
=+经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式0
Ax By C
++=（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）.如图1，点()
P m n,到直线l：0
Ax By C
++=的距离（d）计算公式是：
22
A m
B n C
d
A B
⨯+⨯+
=
+
．
例：求点()
1,2
P到直线
51
126
y x
=-的距离d时，先将
51
126
y x
=-化为
51220
x y
--=，再由上述距离公式求得
()()
()2
2
51122221
13
512
d
⨯+-⨯+-
==
+-
．
解答下列问题：
如图2，已知直线
4
4
3
y x
=--与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线245
y x x
=-+上的一点()
3,2
M．
（1）请将直线
4
4
3
y x
=--化为“0
Ax By C
++=”的形式；
（2）求点M到直线AB的距离；
（3）抛物线上是否存在点P，使得PAB
△的面积最小？若存在，求出点P的坐标及
PAB △面积的最小值；若不存在，请说明理由．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系． 【详解】
解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=
31
2
-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小， 即y 1＞y 2． 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
2．B
解析：B 【分析】
根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题； 【详解】
∵ ()()2
2356y x x x x =--=-+，
∴ △=24b ac -=25-24=1＞0
∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键；
3．D
解析：D 【分析】
根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】
由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大， 当 2.00x =时，0.030y =-<， 当 2.01x =时，0.010y =>，
∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，
∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4．B
解析：B 【分析】
本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系． 【详解】
解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2， 在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，
∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点， 2＜3＜4， ∴y 1＜y 2． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键
5．B
解析：B 【分析】
由2
35y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y
轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ． 【详解】
解：∵2
35y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >
∴1m m <-，下面解此不等式．
第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0； 第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12
m <
；
第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解； 综上所述得12
m <． 故选：B ． 【点睛】
此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．
6．B
解析：B 【分析】
从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案． 【详解】
解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴； 当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
7．A
解析：A 【分析】
根据二次函数的对称性、增减性即可得． 【详解】
由二次函数的性质可知，当1x ≥-时，y 随x 的增大而减小， 抛物线2
(1)y x =-+的对称轴为1x =-，
∴0x =时的函数值与2x =-时的函数值相等，即为1y ， ∴点()10y ,在此抛物线上，
又
点()21,B y ，()32,C y 在此抛物线上，且1012-<<<，
123y y y ∴>>，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的对称性、增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
8．C
解析：C 【分析】
由抛物线2
2
2(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后
根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小． 【详解】
∵222(1)1y x x m x m =++=++-， ∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，
又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上， ∴231y y y >>． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可． 【详解】
解：抛物线y=x 2+3的顶点坐标为（0，3），
向下平移2个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，1）， 所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+1)²+1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
10．D
解析：D 【分析】
首先观察表格可得二次函数2
y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案． 【详解】 解：
二次函数2
y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，
∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)
32
x -+-=
=-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-，
∴当1x =时，27y =-．
故选：D ． 【点睛】
此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】
解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）， ∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2）， ∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12．D
解析：D 【分析】
先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案． 【详解】
解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；
C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．
二、填空题
13．②③④【分析】由题意易得顶点坐标为（a ﹣a+1）所以这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上抛物线开口向下对称轴为直线x=a 由此可判定②由可判定③假设存在一个a 的值使得函数图象的顶点与x 轴的两个交
解析：②③④ 【分析】
由题意易得顶点坐标为（a ，﹣a +1），所以这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，由此可判定②，由
12
2
x x a +>可判定③，假设存
在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，进而可求解．
【详解】
解：抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数），
①∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），
∴这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，
故结论①错误；
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，
当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴a 的取值范围为a ≥2，
故结论②正确；
③∵x 1+x 2＞2a ， ∴122
x x a +>， ∵抛物线对称轴为直线x =a ，
∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离，
∴y 1＞y 2，
故结论③正确；
④假设存在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，
解得：x 1=a ，x 2=a ．
∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，∴|﹣
a +1|=|a ﹣（a ）|，
解得：a =0或1，
当a =1时，二次函数y =﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在a =0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，
故结论④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14．（30）（-10）【分析】设一元二次方程的另一个根为利用根与系数的关系即可求得进而得到对应的函数与轴的交点坐标【详解】设一元二次方程的另一个根为∵即解得：∴抛物线与轴的交点坐标为（30）（-10）故
解析：（3，0），（-1，0）
【分析】
设一元二次方程220x x k -++=的另一个根为2x ，利用根与系数的关系即可求得2x ，进而得到对应的函数2
2y x x k =-++与x 轴的交点坐标． 【详解】
设一元二次方程220x x k -++=的另一个根为2x ， ∵12b x x a
+=-，即232x +=， 解得：21x =-，
∴抛物线22y x x k =-++与x 轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），
故答案为：（3，0），（-1，0）．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x 轴交点的坐标．解题时，注意二次函数22y x x k =-++与一元二次方程2
2y x x k =-++间的转化关系． 15．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94
【分析】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．
【详解】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：
y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，
解得：a ＝34
-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：
y ＝34
-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x ＝0，则y ＝94
． 即水管AB 的长为
94m ， 故答案为：94
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
16．【分析】根据得到该抛物线的顶点坐标为(3-2)将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0-2)即可得到解析式；【详解】∵抛物线∴顶点坐标为(3-
2)∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0-2)∴平
解析：22y x =-
【分析】
根据2(3)2y x =--得到该抛物线的顶点坐标为(3，-2)，将该点向左平移3个单位后得到的点的坐标为(0，-2)，即可得到解析式；
【详解】
∵抛物线2(3)2y x =--
∴顶点坐标为(3，-2)，
∴向左平移3个单位后得到新的坐标为(0，-2)，
∴平移后的解析式22(33)22y x x =-+-=-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握二次函数平移的方法是解题的关键； 17．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
18．18【分析】先建立平面直角坐标系以直线DE 为x 轴y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线设AB 与y 轴交于H 求出OC 的长然后设该抛物线的解析式为：根据条件求出解析式再令y=0求出x 的值即可得到DE 的长度【详解
解析：18
【分析】
先建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，设AB 与y 轴交于H ，求出OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：2
y ax k =+，根据条件求出解析式，再令y =0，求出x 的值，即可得到DE 的长度．
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE 为x 轴，y 轴为经过点C 且垂直于AB 的直线，
设AB 与y 轴交于点H ，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B （6，5），C （0，9）
设该抛物线的解析式为：2y ax k =+，
∵顶点C （0，9），
∴抛物线29y ax =+，
代入B （6，5）
得5=36a +9，解得19
a =-， ∴抛物线解析式为2199y x =-
+， 当y=0时，21099
x =-
+， 解得x =±9， ∴E （9，0），D （-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用问题，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，是一道非常典型的试题．
19．y ＝﹣2(x ﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可【详解】解：抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3的顶点为（13）设绕
解析：y ＝﹣2(x ﹣3)2﹣3
【分析】
由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标，进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可．
【详解】
解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点为（1，3），设绕着点A（2，0）旋转180°得到（x，y），
∴1
2x
+
＝2，3
2
y
+
＝0，
解得x＝3，y＝﹣3，
∴绕着点A（2，0）旋转180°得到（3，﹣3），
故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣3）2﹣3．
故答案为：y＝﹣2(x﹣3)2﹣3．
【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．20．（）【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于AB两点与y轴交于点C 得A（10）B（20）C（02）过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M过点M作MG⊥x轴于点G易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角
解析：（715 ,
24
）
【分析】
根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析
式为y＝1
2
x+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC
∴∠OBC＝45°，
如图，
过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，∴∠COB＝∠MGB＝90°
∴∠CBO +∠MBG ＝90°
∴∠MBG ＝45°
∴MG ＝BG
∴等腰直角三角形OCB ∽等腰直角三角形GBM ∴BC BM ＝OC BG ∵tan ∠DCB ＝
MB BC ＝3 ∴
123BG
= ∴BG ＝6
∴MG ＝6 ∴M （8，6）
设直线CM 解析式为y ＝kx +b ，
把C （0，2），M （8，6）代入，
解得k ＝12
，b ＝2 所以直线CM 的解析式为y ＝12
x +2 联立2122
32
y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得1102x y =⎧⎨=⎩，2272154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴D （715,24
） 故答案为（
715,24）． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
三、解答题
21．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；
（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；
（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，
【详解】
解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，
∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12
b -
=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，
解得3c =-或0c
（舍去）； ∴3c =-．
（2）设点F 坐标为(0,)m ，
∵对称轴是直线:1l x =，
∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，
由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E （1，-4），
∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，
∴直线BE 的表达式为26y x =-，
∵点F '在BE 上，
∴2262m =⨯-=-，
即点F 坐标为(0,2)-．
（3）存在点Q 满足题意．
设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，
∵PQN APM S
S =， ∴1(1)(3)2
n n +- ()21232
n n QR =-++⋅， ∴1QR =，
①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()
2,4n n n -，N
点坐标为()2,23n n n --，
∴()2242323RN n n n n n =----=-+
∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，
∴当3n 2=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，
同理21RN
n =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12
n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,24⎛⎫-
⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
22．（1）开口方向：向上，对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，-1）；（2）①1x <或3x >时y>0，②13x <<时，y<0；③x=1或x=3时，y=0．
【分析】
（1）根据顶点式可直接推出抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）令y=0，求出关于x 的方程的解，结合图象即可解答．
【详解】
解：（1）由于二次项系数为正数，则抛物线开口向上；
根据顶点式可知，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-1）．
（2）令y=0，则原式可化为（x-2）2-1=0，
移项得，（x-2）2=1，
开方得，x-2=±1，
解得x 1=1，x 2=3．
则与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
如图：①当x ＜1或x ＞3时，y ＞0；
②当x=1或x=3时，y=0；
③当1＜x ＜3时，y ＜0．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟悉顶点式及正确画出图象，利用数形结合是解题的关键． 23．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．
【分析】
（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；
（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．
【详解】
（1）由题意可得：30020y x =+；
（2）由题意可得：()()2
203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，
∵让利给顾客，
∴3x =，
即当售价为57元时，利润最大，
∴最大利润为6120元；
（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，
解得10x =（舍去），25x =，
故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．
24．（1）S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2，9000元．
【分析】
（1）根据矩形的面积公式和已知条件列出S 与x 之间的函数关系式并确定自变量x 的取值范围即可；
（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法求出函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵矩形的一边长为x 米，
∴另一边长为
1222
x -米，即（6﹣x ）米， ∴S ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ，
即S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6； （2）根据（1）得：S ＝x （6﹣x ）＝﹣（x ﹣3）2+9，
则矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2．
则此时最大费用为9×1000＝9000（元）．
【点睛】
本题考查了二次函数在几何图形中的应用，根据题意确定S 与x 之间的函数关系式成为解答本题的关键．
25．（1）211020010
z x x =-
+-，当销售价格50元/个时，最大利润为50万元；（2）4060x ≤≤，40．
【分析】 （1）总净利润=单件利润×销售量-40，首先求出单件利润（x-20），然后乘以销售量y ，将解析式化为顶点式即可求解；
（2）令（1）中解析式的值为40，然后作出函数图像示意图，根据示意图即可求解x 的取值范围，然后结合销售量和销售价的关系即可判断x 的值．
【详解】
（1）根据题意得：()2040z x y =--
＝()12084010x x ⎛⎫--
+- ⎪⎝⎭ ＝211020010
x x -+- 将其化为顶点式：211020010x x -
+- ＝()
2110020010x x ---
＝()21502500
20010x ⎡⎤-
---⎣⎦ ＝()21505010
x --+ ∴销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （2）当公司要求净得利润为40万元时，即()21x 50504010-
-+= 解得：x 1＝40，x 2＝60
如图，通过观察函数y ＝()21505010
x -
-+的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60 而y 与x 的函数关系式为：1810
y x =-
+，y 随x 的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，在本类题型中，将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
26．（1）43120x y ++=；（2）点M 到直线AB 的距离为6；（3）存在，413,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，△PAB 面积最小值为
656
． 【分析】
（1）根据题意可直接进行化简；
（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；
（3）设点()2,45P a a a -+，根据题意可得点P 到直线AB 的距离，然后根据三角形面积计算公式可得2327422
PAB S
a a =-+，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）由443y x =-
-可得：43120x y ++=； （2）由公式22A m B n C
d A B ⨯+⨯+=+()3,2M 可得：
点M 到直线AB 的距离为：22312
3065
43d 3⨯4+⨯2+===+； （3）存在点P ，使△PAB 的面积最小，理由如下：。