河北省故城县高级中学2017-2018学年高二3月月考(理)试题及答案解析

河北省故城县高级中学2017-2018学年高二3月月考（理）
时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四处备选项中，只有一项是符合题目要求．） 1．复数z ＝1i －1
的模为( )
A.12
B.22
C. 2
D ． 2
2．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”过程应用了 ( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
3． 8个色彩不同的球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有( )
A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．28种
4. 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z
i
＋i·z ＝( )
A ．－2
B ．－2i
C ．2
D ．2i
5. 已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝ ( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
6. 若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A ．20
B ．19
C ．10
D ．9
7. 在(x 2－1
3
x
)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28
8. 已知a n ＝(1
3
)n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
……
记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( ) A ．(13)67 B ．(13)68 C ．(13)111 D ．(13
)112
9. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A ．540种
B ．300种
C ．180种
D ．150种
10. 设k ＝ (sin x －cos x )d x ，若(1－kx )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8 ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．256
11. 甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( )
A ．9局
B ．11局
C ．13局
D ．18局
12. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中相应的横线上．） 13. i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 019的值是________．
14. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋1
2n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形
数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1
2n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，
五边形数 N (n,5)＝32n 2－1
2n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，
……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.
15. 8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有________种 16．若将函数f (x )＝x 5表示为
f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3
＝________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （10分）复数z 1＝
3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝2
1－a
＋(2a －5)i ，若 z －
1＋z 2是实数，求实数a 的值．
18. （12分）若(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )．
求(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)的值．
19. （12分）设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.
(1)证明l 1与l 2相交；
(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．
20．（12分）若在(x ＋124
x
)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．
21. （12分）一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、蓝、白、绿、黑6种颜色， 如图．
(1)6个小扇形分别着上6种颜色，有多少种不同的方法？
(2)从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，有多少种不同的方法？
22.（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
参考答案
1．解析：z ＝i ＋1(i －1)(i ＋1)＝－12－i
2，|z |＝
(12)2＋(12)2＝2
2
. 答案：B
2. 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 故选B. 答案：B
3. 答案 C
解析 从8个球中任取2个有C 28＝28种取法，2球位于同一箱子中有C 1
4＝4种取法，
2球位于不同箱子的取法有28－4＝24种． 4. 答案 C
解析 先根据z 求出z 及z
i
，结合复数的运算法则求解．
∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2
＋i
i ＝1－i.
∴z
i
＋i·z ＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 5. 解析：展开式中x 2项系数为C 25＋a C 1
5＝10＋5a,10＋5a ＝5，a ＝－1，故选D.
答案：D
6. 解析：“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e ，o 选定位置，其余三个相同字母r 位置固定，即所有拼写方式为A 25，“ error”拼写错误的种数为：A 25－1＝19(种)．故应选B. 答案：B
7. 答案 B
解析 由题意知n ＝8，
T r ＋1＝C r 8·(x 2)8－r ·(－13x )r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r
28－r ·1x r 3
＝(－1)r
·C r 8·x 8－r －
r
328－r ， 由8－r －r 3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.
8. 答案 D
解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…，
那么第10行的最后一个数为a 100，
第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.
9. 答案 D
解析 要将5名志愿者分配到3个不同的地方，每个地方至少一人，首先要将这5个人分成
3组，因此有2种分组方案：1,1,3与1,2,2.当按1,1,3方案分组时，有C 35·A 33＝60种方法；当
按1,2,2方案分组时，先进行平均分组，有C 25C 2
3
A 22
＝15种分组方法，因此有15×A 33＝90种方法．所以一共有60＋90＝150种方案．故选D. 10. 答案 B
解析 ∵k ＝ (sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )|π0＝2，
∴(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.
令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝1.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝0. 11. 答案 A
解析 由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9. 12. 答案 C
解析 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. 13. 答案 －1 14. 答案 1 000
解析 方法一：已知式了可化为：
N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－3
2n ，
N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－4
2n ，
N (n,5)＝3
2n 2＋－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，
N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－6
2n ，
由归纳推理，可得N (n ，k )＝
k －22n 2＋4－k
2
n ， 故N (10,24)＝24－22×102＋4－24
2
×10＝1 100－100＝1 000.
方法二：由题意，设N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，1
2为公差的
等差数列，数列{b k }是以12为首项，－1
2为公差的等差数列，所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n
＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000. 15. 答案：35
【解析】 一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定分数)
将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)
则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有C 47＝C 3
7＝7×6×53×2×1＝35种．(插隔板) 所以每盒不空的放法共有35种
16. 解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则
a 3＝C 25(－1)2＝10.
答案：10 17. 答案 a ＝3
解析 z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10) i ＋21－a
＋(2a －5)i
＝(3a ＋5＋21－a
)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝
a －13
(a ＋5)(a －1)
＋(a 2＋2a －15)i.
∵z －
1＋z 2是实数，
∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3. 18. 解：令x ＝0，则得a 0＝(1－2×0)2010＝1.
令x ＝1，则得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(1－2×1)2010＝1. ∴(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010) ＝2009a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010) ＝2009×1＋1＝2010. 19. 证明：(1)假设l 1与l 2不相交，
则l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2， 代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.
这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．
(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ＋1，
y ＝k 2
x －1，
解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2k 2－k 1
，y ＝k 2
＋k
1k 2
－k 1
.
从而2x 2＋y 2＝2(
2k 2－k 1)2＋(k 2＋k 1k 2－k 1
)2
＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2
2＋4k 21＋k 22＋4
＝1，
交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上． 20. 解：(x ＋
124x )n
的展开式中前三项是
T 1＝C 0n (
x )
n
，T 2＝C 1
n (
x )
n －1
·1
24x
， T 3＝C 2n (
x )
n －2
(1
24x
)2
，其系数分别是
C 0n ，1
2C 1n ，1
4C 2
n ，
由2·12C 1n ＝C 0n ＋1
4C 2
n ，
解得n ＝1或n ＝8，n ＝1不合题意应舍去，故n ＝8.当n ＝8
时，T r ＋1＝C r
8(
x )
8－r
·(1
24x
)r
＝C r 8·1
2r ·
，T r ＋1为有
理项的充要条件是16－3r
4∈Z ，所有r 应是4的倍数，故r 可为0、4、8，故所有有理项为T 1＝x 4
，T 5＝358x ，T 9＝1
256x 2.
21. 解：(1)6个小扇形分别着上6种不同的颜色，共有A 66＝720种着色方法．
(2)6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C 26C 56A 55种不同的方法，其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有6C 56A 55；因此满足条件的着色方法共有 C 26C 56A 55－6C 56A 55＝6480种着色方法．
22. 答案 (1)34 (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34
解析 方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝3
4
.
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－1
2sin 2α
＝34sin 2α＋34cos 2α＝3
4. 方法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式为
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.
证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝
1－cos2α2＋1＋cos(60°－2α)
2
－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34·sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。