(完整版)圆中常见的辅助线的作法分类大全.docx

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.分析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。

AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 如果 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．分析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，所以需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，所以连结 MN 可得∠ BMN=90 °。

（ 1） 证明：连结 MN ，则∠ BMN=90 °=∠ ACB A∴△ ACB ∽△ NMBBCAB∴BMBNM∴ AB · BM=BC · BN（ 2） 解：连结 OM ，则∠ OMC=90 ° ∵ N 为 OC 中点∴ MN=ON=OM ，∴∠ MON=60 °CBN O∵ OM=OB ，∴∠ B= 12 ∠ MON=30 °∵∠ ACB=90 °，∴ AB=2AC=2 ×3=6【例 4】如图， AB 是⊙ O 的直径， AB=4，弦 BC=2,∠ B =C3． 遇到 90°的圆周角时A BO常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例 5】如图， AB 、AC 是⊙ O 的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6， AC=8，⊙ O 的半径是ACBO5． 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（ 2）常常添加连结圆上一点和切点作用： 1 、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

2 、利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。

【例 6】如图，AB是⊙ O的直径，弦 AC与 AB成 30°角，CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证：AC=CD．6．遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（ 1）直线经过半径的外端，（ 2）直线垂直于这条半径，所以 ,在证明直线是切线时 , 往往需要通过作恰当的辅助线 ,才能顺利地解决问题 .下面是添辅助线的小规律 .1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径 .例 7．已知：如图，AB 是⊙ O 的直径， AD ⊥ AB 于 A ， BC ⊥ AB 于 B ，若∠ DOC= 90 ° .求证： DC 是⊙ O 的切线 .分析： DC 与⊙ O 没有交点，“无点作垂线” ，过圆心 O 作 OE⊥ DC ，只需证半径，若能证 OE=OA 即可 .而 OE 、OA 在△ DEO 、△ DAO 中，≌△ DAO OE 等于圆的半径 .因为 AO 为需证明△ DEO证明：作 OE ⊥DC 于 E 点，取 DC 的中点 F，连结 OF.又∵∠ DOC= 90 °.∴ FO=FD∴∠ 1=∠ 3.∵AD ⊥ AB ，BC ⊥AB, ∴ BC ∥AD, ∴ OF 为梯形的中位线 .∴OF∥ AD . ∴ ∠ 2=∠ 3. ∴∠ 1=∠ 2.∴DO 是∠ ADE 的角平分线 . ∵ OA ⊥ DA ， OE⊥ DC ，∴OA=OE= 圆的半径 . ∴ DC 是⊙ O 的切线 .2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例 8．已知：如图，AB 为⊙ O 的直径， BC 为⊙ O 的切线，切点为B， OC 平行于弦AD ，求证： CD 是⊙O 的切线 .分析： D 在⊙ O 上，有点连圆心，连结DO ，证明 DO⊥ DC 即可 .证明：连结DO，∵ OC∥ AD∴∠ DAO=∠ COB，∠ ADO=∠DOC而∠ DAO= ∠ ADO ∴∠ DOC= ∠ COB ，又 OC=OC ，DO=BO ∴△ DOC ≌△ BOC∴∠ ODC= ∠ OBC，∵ BC 为⊙ O 的切线，切点为 B∴∠ OBC=9 0°，∴∠ ODC=9 0°，又D在⊙ O上，∴ CD 是⊙ O 的切线 .【例 7】如图所示，已知AB是⊙O 的直径，AC⊥L于C， BD⊥L于 D，且 AC+BD=AB。

求证：直线L 与⊙O相切。

【例 8】如图，△ ABO中， OA=OB，以 O为圆心的圆经过AB中点 C，且分别交OA、OB于点 E、 F．求证： AB是⊙ O切线；7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③A全等、相似三角形。

DOP【例 9】如图， P 是⊙ O外一点， PA、 PB分别和⊙ O切于 A、B， C 是弧 AB上CE 任意一点，过 C 作⊙ O的切线分别交PA、 PB于 D、 E，若△ PDE的周 B长为 12，则 PA长为 ______________8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。

【例 10】如图，△ ABC 中，∠ A=45 °， I 是内心，则∠ BIC=【例 11】如图， Rt△ABC 中， AC=8 ， BC=6 ，∠ C=90 °，⊙ I 分别切AC ，BC， AB 于 D ，E， F，求 Rt △ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离．第 4 页共 6 页作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

[ 课后冲浪 ]1．已知： P 是⊙ O外一点， PB， PD 分别交⊙ O 于 A、 B 和 C、 D，且 AB=CD.求证：PO平分∠ BPD．..2．如图，ABC中，∠ C=90°，圆 O 分别与 AC、BC相切于M、N，点 O在 AB上，如果 AO=15 ㎝， BO=10㎝，A求圆 O的半径 .oMC N B3．已知：□ABCD的对角线AC、 BD 交于 O 点， BC切⊙ O于 E 点 . 求证： AD 也和⊙ O相切 .A D. OBCE4．如图，学校 A 附近有一公路 MN，一拖拉机从 P 点出发向 PN方向行驶，已知∠ NPA=30°， AP=160 米，假使拖拉机行使时， A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向 PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由 . 如果拖拉机速度为 18 千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5．如图， A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， OA=2， AB 是圆 O 的切线， B 是切点，弦 BC∥ OA，连结 AC，求阴影部分的面积 .C BO.A我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线 .”切线证明法，规律记心间 .。