高中数学第一章1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大(小)值与导数二学案新人教A选修2_220181022342

1．3.3 函数的最大(小)值与导数(二)
学习目标 1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．
知识点用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
类型一由极值与最值关系求参数范围
例1 若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，11) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
考点利用导数求函数中参数的取值范围
题点最值存在性问题
答案 C
解析由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<11.
又当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递减， 且当x ＝2时，f (x )＝－2.∴a ≤2. 综上，－1<a ≤2.
反思与感悟 函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
跟踪训练1 若函数f (x )＝x 3
－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D
解析 由题意得，函数f (x )＝x 3
－6bx ＋3b 的导数f ′(x )＝3x 2
－6b 在(0,1)内有零点， 且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且(3－6b )>0， ∴0<b <1
2
，故选D.
类型二 与最值有关的恒成立问题
例2 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1处都取得极值．
(1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；
(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2
恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 解 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，
因为f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝43－4
3
a ＋
b ＝0，
解得a ＝－1
2
，b ＝－2，
所以f ′(x )＝3x 2
－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1，
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1. (2)由(1)知，f (x )＝x 3
－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，
当x ＝－23时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝22
27＋c 为极大值，
因为f (2)＝2＋c ，所以f (2)＝2＋c 为最大值．
要使f (x )<c 2
(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2
>f (2)＝2＋c ， 解得c <－1或c >2.
故实数c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 引申探究
若本例中条件不变，“把(2)中对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2
恒成立”改为“若存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2
成立”，结果如何？
解 由典例解析知当x ＝1时，f (1)＝c －3
2为极小值，
又f (－1)＝12＋c >c －3
2，
所以f (1)＝c －3
2
为最小值．
因为存在x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2
成立， 所以只需c 2>f (1)＝c －32，即2c 2
－2c ＋3>0，
解得c ∈R .故实数c 的取值范围为R .
反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2
＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 (－∞，4]
解析 由2x ln x ≥－x 2
＋ax －3，
得a ≤2ln x ＋x ＋3
x .
设h (x )＝2ln x ＋3
x
＋x (x >0)． 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)
x
2
， 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝4. ∴a ≤4.
(2)设L 为曲线C ：y ＝ln x x
在点(1,0)处的切线．
①求L 的方程；
②证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 恒成立中的证明问题 ①解 设f (x )＝ln x x
，
则f ′(x )＝1－ln x x
2
， 所以f ′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.
②证明 设g (x )＝x －1－f (x )，除切点外，曲线C 在直线L 的下方等价于∀x >0且x ≠1，
g (x )>0.
g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2
.
当0<x <1时，x 2
－1<0，ln x <0， 所以g ′(x )<0，
故g (x )在(0,1)上单调递减； 当x >1时，x 2
－1>0，ln x >0， 所以g ′(x )>0，
故g (x )在(1，＋∞)上单调递增； 所以，∀x >0且x ≠1，g (x )>g (1)＝0. 所以除切点外，曲线C 在直线L 的下方.
1．函数f (x )＝x e －x
，x ∈[0,4]的最大值是( ) A ．0 B.1e C.4e D.2
e
考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B
解析 f ′(x )＝e －x
－x e －x
＝e －x
(1－x )， ∴当0≤x ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， 当1≤x ≤4时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝1
e .故选B.
2．函数f (x )＝x ln x 的最小值为( ) A ．e 2
B ．－e
C ．－e －1
D ．－103
考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 C
解析 ∵f (x )＝x ln x ，定义域是(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1
e ，
令f ′(x )<0，解得0<x <1
e
，
∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 故当x ＝1e 时，函数取最小值－1
e
，故选C.
3．已知函数f (x )＝e x
－x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)
D ．(－∞，－1]
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围 答案 A
解析 f ′(x )＝e x
－1， 令f ′(x )>0，解得x >0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，
则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是________．
考点利用导数求函数中参数的取值范围
题点利用导数求恒成立中参数的取值范围
答案 4
解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0<x≤1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，
|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.
5．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．
考点利用导数求函数中参数的取值范围
题点利用导数求恒成立中参数的取值范围
解(1)由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.
又f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·1
x
＋4bx3
＝x3(4a ln x＋a＋4b)，
由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
因此，f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知f (1)＝－3－c 既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，要使f (x )≥－2c 2
(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2
，即2c 2
－c －3≥0. 从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥3
2
或c ≤－1.
故实数c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞.
1．若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．
2．已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 3
－px 2
－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－4 B.4
27，－4 C.4
27
，0 D ．2,0
考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 B 解析 由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
f (1)＝0，f ′(1)＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
p ＋q ＝1，
3－2p －q ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝2，
q ＝－1.
则f (x )＝x 3
－2x 2
＋x ，f ′(x )＝3x 2
－4x ＋1， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝1
3
，
由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝4
27
，f (－1)＝－4，f (1)＝0，
∴f (x )max ＝4
27
，f (x )min ＝－4.
2．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3
＋bx ＋2在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]
上的最小值为( ) A ．0 B.3
2 C ．－2
D ．2
考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求含参数函数的最值 答案 A
解析 因为a ，b 为正实数， 所以f (x )＝ax 3
＋bx ＋2是增函数，
函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2在[0,1]上的最大值f (1)＝a ＋b ＋2＝4，a ＋b ＝2. 在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2＝0.
3．若关于x 的不等式x 3
－3x ＋3＋a ≤0恒成立，其中－2≤x ≤3，则实数a 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－5
D ．－21
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 D
解析 若关于x 的不等式x 3
－3x ＋3＋a ≤0恒成立， 则a ≤－x 3
＋3x －3在[－2,3]上恒成立， 令f (x )＝－x 3＋3x －3，x ∈[－2,3]， 则f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，解得－1<x <1， 令f ′(x )<0，解得x >1或x <－1，
故f (x )在[－2，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减， 而f (－2)＝－1，f (－1)＝－5，f (1)＝－1，f (3)＝－21， 故a ≤－21，故a 的最大值是－21.
4．当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x
－x －2mx >0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e －12 B.⎝
⎛⎭
⎪
⎫e －12，＋∞
C ．(－∞，e ＋1)
D ．(e ＋1，＋∞)
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A
解析 当x ∈(0,3)时，关于x 的不等式e x
－x －2mx >0恒成立，
即为2m ＋1<e
x
x
在(0,3)上的最小值，
令f (x )＝e x x ，则f ′(x )＝e x
(x －1)
x
2
， 当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当1<x <3时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 可得f (x )在x ＝1处取得最小值e ， 即有2m ＋1<e ，可得m <e －12
.
5．若函数f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1，则a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－3,0)
D ．[－3,0]
考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案 D
解析 ∵f (x )＝－x 3
－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝－3x 2
－6x ，
令f ′(x )＝－3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由f (x )＝1，得－x 3－3x 2
＋1＝1， 解得x ＝0或x ＝－3. 当x >0时，f (x )<f (0)＝1， 当x <－3时，f (x )>f (－3)＝1，
又f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1在[a ，＋∞)上的最大值为1， ∴a 的取值范围为[－3,0]．
6．关于函数f (x )＝(2x －x 2
)e x
的命题： ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． 其中正确的命题是( ) A ．①②
B ．①②③
C ．②③
D ．①③
考点 导数在最值问题中的应用 题点 最值与极值的综合应用 答案 A
解析 ①由于e x
>0，所以f (x )>0，
即需2x －x 2
>0解得{x |0<x <2}，①正确． ②因为f (x )＝(2x －x 2
)e x
的定义域是R ，
f ′(x )＝(2－2x )e x ＋(2x －x 2)e x ＝(2－x 2)e x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确． ③由图象(图略)知f (2)为最大值，无最小值，③错误．
7．若函数f (x )＝x 3
－3x 在(a,6－a 2
)上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－7，－1) B ．(－7，－1] C ．(－7，－2)
D ．(－7，－2]
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 D
解析 由题意知f (x )＝x 3
－3x ， 所以f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0， 故x ＝－1是函数f (x )的极大值点，
f (－1)＝－1＋3＝2，令x 3－3x ＝2，解得x ＝2，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a <6－a 2，
a <－1，
6－a 2>－1，
6－a 2
≤2，
解得－7<a ≤－2. 二、填空题
8．已知f (x )＝－x 2
＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [－4，－2]
解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m
2.
由题意得m
2
∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．
9．已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x
的图象始终在函数g (x )＝x －a 图象的上方，则实数a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 (－1，＋∞)
解析 由题意知f (x )－g (x )＝e x
－x ＋a >0，对一切实数x 恒成立， 令h (x )＝e x
－x ＋a ，则h (x )min >0， ∵h ′(x )＝e x
－1， 令h ′(x )＝0得x ＝0，
当x <0时，h ′(x )<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减， 当x >0时，h ′(x )>0，则h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝0时，h (x )取得极小值，即最小值为h (0)＝1＋a ， ∴1＋a >0，即a >－1.
10．已知函数f (x )＝ax 3
－3x ＋1，且对任意x ∈(0,1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 [4，＋∞)
解析 当x ∈(0,1]时，不等式ax 3
－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x
3.
设g (x )＝3x －1
x
3，x ∈(0,1]，
则g ′(x )＝3x 3－(3x －1)·3x 2
x
6＝－6⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12x
4
.
令g ′(x )＝0，得x ＝1
2
.
当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：
因此g (x )的最大值等于极大值g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．
11．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e x
－ax ，其中a 为正实数，若f (x )在(1，＋∞)上无最小值，且g (x )在(1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 最值存在性问题 答案 [1，e]
解析 ∵f (x )＝ax －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1
x
，
若f (x )在(1，＋∞)上无最小值， 则f (x )在(1，＋∞)上单调， ∴f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 或f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，
∴a ≥1x 或a ≤1x ，而函数y ＝1
x
在(1，＋∞)上单调递减，
∴当x ＝1时，函数y 取得最大值1， ∴a ≥1或a ≤0，而a 为正实数，故a ≥1，① 又∵g (x )＝e x －ax ，∴g ′(x )＝e x
－a ，
∵函数g (x )＝e x
－ax 在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )＝e x
－a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤(e x
)min 在区间(1，＋∞)上恒成立． 而e x
>e ，∴a ≤e.② 综合①②，a ∈[1，e]． 三、解答题
12．已知函数f (x )＝x 3
－ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；
(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求实数c 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f ′(x )＝3x 2
－2ax ＋b ，
∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝2a
3，－1×3＝b
3
，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝－9.
(2)由(1)知f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ＋c ，
令f ′(x )＝3x 2
－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
而f (－1)＝c ＋5，f (3)＝c －27，f (－2)＝c －2，
f (6)＝c ＋54，
∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |. 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.
故实数c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝
ax 2＋x ＋a
e
x
，若当x ∈[0,2]时，f (x )≥1
e
2恒成立，求a 的取值范围．
考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 f ′(x )＝－ax 2
＋(2a －1)x ＋1－a
e x
＝
－(ax ＋1－a )(x －1)
e
x
. 当a ＝0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1.
在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递
减．
又f (0)＝0，f (2)＝2
e ，故函数
f (x )的最小值为f (0)＝0，结论不成立．
当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－1
a
.
若a <0，则f (0)＝a <0，结论不成立． 若0<a ≤1，则1－1
a
≤0.
在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．
只需⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)≥1e 2，f (2)≥1
e
2
，得到⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥1
e 2
，a ≥－1
5，
所以1
e
2≤a ≤1.
若a >1，则0<1－1a
<1，函数在x ＝1－1
a
处有极小值，
只需⎩⎪⎨⎪⎧
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ≥1e 2
，f (2)≥1
e
2
，得到⎩⎨⎧
2a －1≥11e
a
--
，
a ≥－1
5
.
因为2a －1>1，11e
a
--
<1，所以a >1.
综上所述，a 的取值范围是a ≥1
e 2.
四、探究与拓展
14．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A ．1 B.12 C.52 D.2
2
考点 利用导数求函数的最值 题点 利用导数求不含参数函数的最值 答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示， 由图可以看出|MN |＝y ＝t 2
－ln t (t >0)．
y ′＝2t －1t
＝
2t 2
－1
t ＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋
22⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －22t
.
当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t >
22时，y ′>0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，＋∞上单调递增． 故当t ＝
2
2
时，|MN |有极小值也是最小值． 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 已知最值求参数
解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x
－a .
若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a >0，则当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞时，f ′(x )<0.
所以f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．
综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
当a >0时，f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增，
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；
当a >0时，f (x )在x ＝1a
处取得极大值且为最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1a
＝－ln
a ＋a －1.
因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.
令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。