北师版数学高一-人教A必修一 2.2对数函数错例辨析

第2版远离误区 对数函数错例辨析 河南省滑县第六高级中学（456400）王红敢 对数函数是函数这一章的重点内容之一，也是学习中的一个难点内容，初学这部分知识如果没有掌握对数函数的图象与性质，常会出现各种各样的错误，下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力．
一﹑求函数的解析式中的错误
例1已知函数f(x 2－3)＝lg x 2
x 2-4
，求f(x)的解析式. 错解1：由x 2
x 2-4
＞0，得x ＞2或x ＜－2，∴函数f(x)的定义域为{x|x ＞2或x ＜－2}. 错解2：令x 2－3＝t ，是x 2＝t ＋3，代入函数式可得：f(t)＝lg t+3t-1，由t+3t-1
＞0，得t ＜－3或t ＞1，
∴函数f(x)的定义域为{x|t ＜－3或t ＞1}.
辨析：错解1把函数f(x 2－3)与f(x)混淆为同一函数.若令F(x)＝f(x 2－3)＝lg x 2
x 2-4
，令x 2－3＝t ，得f(t)＝t+3t-1
，就会发现F(x)与f(x)是两个不同的函数，它们具有不同的定义域和对应法则，因此求的是F(x)的定义域，而不f(x)的定义域.错解2在用换元法时没有考虑自变量t 受到x 2－3的取值范围的限制.
正解：正确的解法为：先求f(x)的表达式，令x 2－3＝t ，因x 2
x 2-4
＞0，故x ＞2或x ＜－2，则x 2＝t ＋3，此时由抛物线性质知t ＞－3，∴f(t)＝t+3t-1，由t+3t-1
＞0，得t ＜－3或t ＞1，此时f(x)的定义域就是t 的取值范围，故f(x)的定义域为{x|x ＞1}.
特别提醒：本题所求复合函数外层函数定义域，根据复合规律知实质上是求内层函数的值域.因此，解答复合函数问题时，分清内、外层函数是关键.
二﹑求解函数定义域中的错误
例2已知函数f(x)＝log a (－x 2＋log 2a x)的定义域为(0,12
)，则实数a 的取值范围是________. 错解：函数f(x)＝log a (－x 2＋log 2a x)的定义域为(0,12)，即当x ∈(0,12
)时，－x 2＋log 2a x ＞0恒成立，即关于x 的不等式log 2a x ＞x 2在(0,12
)上恒成立，令y 1＝log 2a x ，y 2＝x 2，如图，y 2过点P(12,14)，因y 1＞y 2在(0,12
)上恒成立，故
应有y 1、y 2在(0,12)上的图象的位置关系为y 1在y 2上方，∴116≤2a ＜1，即132≤a ＜12
，∴a 的取值范围是[132,12
). 辨析：产生错误的原因在于对定义域的定义的理解.当a 的范围确定时，f(x)的定义域为
(0,12
)，与－x 2＋log 2a x ＞0互为充要条件，并非仅仅是充分条件而已.当a 变化时，函数定义域也随之变化，此题定义是确定的，因此a 的值也是一个确定的值.
正解：由条件知，log 2a x ＞x 2的解集为(0,12
)，令y 1＝log 2a x ，y 2＝x 2，如图，由图易知y 2过点P(12,14)，因为在(0,12)上y 1＞y 2，则在(0,12)上y 1的图象在y 2的图象上方，所以，log 2a 12＝(12)2，即a ＝132
. 特别提醒：要注意区分“函数定义域为区间A ”与“函数在区间A 上恒成立”：两个概念十分相似，易误认为是同一个问题，事实上“函数在A 上恒有意义”中的A 是f(x)的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A ”中的A 是函数的定义域，其解法是已知不等式解集求参数问题.
三、求解函数值域中的错误
例3.若函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R ，求实数a 的取值范围.
错解：因函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R ，故x 2＋ax ＋1＞0对x ∈R 恒成立，而f(x)＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2，它便是所求的a 的取值范围.
辨析：以上解答与下列问题混为一谈：若函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，求实数a 的取值范围.事实上，当值域为R 时，它表示函数值x 2＋ax ＋1可取遍全体正实数，因而函数x 2＋ax ＋1的最小值不大于0；而当函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的定义域为R 时，它表示对一切实数x ，函数值x 2＋ax ＋1恒正，因而它们是两类不同的问题.
正解一：∵函数y ＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R ，∴x 2＋ax ＋1当x ∈R 时，可取遍全体正实数，∴x 2＋ax ＋1的最小值不大于0，∴△＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2，这就是所求a 的取值范围.
正解二：同上，x 2＋ax ＋1的最小值不大于0，∵x 2＋ax ＋1＝(x ＋a 2)2＋1–a 24
，∴x 2＋ax ＋1的最小值为1–a 24
≤0，解得a ≥2或a ≤－2，这就是所求a 的取值范围. 特别提醒：破解问题时，应注意问题的细微区别，防止犯似曾相识的错误.“函数的值域为A ”与“f(x)∈A 恒成立”与上题有类似的地方.这两例的辨析启示我们，在平时的学习中，应认真比较各种问题间的区别，防止就题论题且不加区别.。