人教A版高中数学选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 配套练习题

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、单选题
1．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）
A．7种B．9种C．14种D．70种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理求解即可
【解析】分为三类:
从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;
2．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）
A．30 B．14 C．33 D．90
【答案】D
【分析】根据备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，则素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，然后再利用分步计数原理求解
【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，
所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，
⨯⨯=种
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有65390
3．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为（）.
A．24 B．46 C．48 D．120
【答案】D
【分析】完成这件事只需先确定百位数，再确定十位数，最后确定个位数，根据分步计数原理即可求解.
【解析】解：完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，可以先确定百位数，再确定十位数，最后确定个位数，因此要分步求解．
第一步：确定百位数，有6种方法；
第二步：确定十位数，有5种方法；
第三步：确定个位数，有4种方法．
根据分步乘法计数原理，共有6×5×4=120（个）三位数，
所以这个数列的项数为120．
4．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种树为（ ）.
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24 【答案】A
【分析】根据题意，利用分类加法计数原理，即可求解.
【解析】由题意，每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，可得共有6410+=（种）．
5．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A ．180
B ．160
C ．96
D ．60 【答案】A
【分析】按照①→②→③→④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.
【解析】首先对①进行涂色，有5种方法，
然后对②进行涂色，有4种方法，
然后对③进行涂色，有3种方法，
然后对④进行涂色，有3种方法，
由乘法计数原理可得涂色方法种数为 5433180⨯⨯⨯=种
6．已知集合{}1,2,3M =-，{}4,5,6,7N =--，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．10 【答案】C
【分析】分M 中的元素作点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标和N 中的元素作点的横坐标，M 中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.
【解析】分两类情况讨论：
第一类，从M 中取的元素作为横坐标，从N 中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有326⨯=（个）；
第二类，从M 中取的元素作为纵坐标，从N 中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有248⨯=（个），
由分类加法计数原理，所以所求个数为6814+=．
7．核糖核酸RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体．参与形成RNA 的碱基有4种，分别用A ，C ，G ，U 表示．在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA 分子由100个碱基组成，则不同的RNA 分子的种数为（ ）
A ．4100
B ．1004
C ．1002
D ．104 【答案】B
【分析】根据分步乘法计数原理进行计算即可.
【解析】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为1004．故A ，C ，D 错误.
8．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．7 【答案】B
【分析】由题意知与信息0110至多有两个对应的位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110由两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，分别写出结果相加.
【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有2
4C 6=（个）；
②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有1
4C 4=（个）；
③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．
综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有64111++=（个）．
9．如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ，2a ，…，12a ．设112i j k ≤<<≤，若3k j -=且4j i -=，则称i a ，j a ，k a 为大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ，j a ，k a 为小三和弦．用这12个键可以构成的大三和弦与小三和弦的个数之和为（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．15
【答案】C
【分析】由大三和弦满3k j -=，4j i -=，列举出i 和j 的取值；小三和弦满足4k j -=，3j i -=，列举出i 和j 的取值；进而可得答案．
【解析】根据题意可知，大三和弦满3k j -=，4j i -=，所以有5种情况，即1i =，5j =，
8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =．小三和弦满足4k j -=，3j i -=，所以有5种情况，即1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =．故大三和弦与小三和弦个数之和为5510+=，
10．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A ，B ，C 三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（ ）
A ．27
B ．24
C ．18
D ．16
【答案】D
【分析】根据题意，甲不可预约C 医院，则甲可预约A ，B 两家医院，分若甲预约A 医院，乙预约A 医院；若甲预约A 医院，乙预约B 或C 医院；③若甲预约B 医院，乙预约A 或C 医院；若甲预约B 医院，乙预约B 医院，四种情况，即可求解.
【解析】由题意，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约C 医院，则甲可预约A ，B 两家医院，
①若甲预约A 医院，乙预约A 医院，则丙可预约B ，C 医院，共2种情况；
②若甲预约A 医院，乙预约B 或C 医院，则丙可预约A ，B ，C 医院，共2×3＝6种情况； ③若甲预约B 医院，乙预约A 或C 医院，则丙可预约A ，B ，C 医院，共2×3＝6种情况； ④若甲预约B 医院，乙预约B 医院，则丙可预约A ，C 医院，共2种情况，
所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为266216+++=种．
11．几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ；
（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A ．23
B ．24
C ．32
D ．33 【答案】D
【分析】先判断出,,G A B ，按顺序排在前四个位置中的三个位置，C E F >>，D E F >>，且,E F 一定排在后四个位置，然后分I 排在前四个位置中的一个位置与I 不排在前四个位置中的一个位置两种情况讨论，利用分类计数加法原理可得结果.
【解析】不妨设,,,,,,,,A B C D E F G H I 代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置， 根据甲依次撞击到树枝,,A B C ；乙依次撞击到树枝,,D E F ；丙依次撞击到树枝,,G A C ；丁依次撞击到树枝,,B D H ；戊依次撞击到树枝,,I C E 可得G A B >>，
在前四个位置，C E F >>，D E F >>，且,E F 一定排在后四个位置，
（1）若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排
⨯+=种排法；
法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4(34)28
G A B D按顺序排在前四个位置，由于（2）若I不排在前四个位置中的一个位置，则,,,
>>>，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四I C E F
个位置中的一个位置共有5种排法，
+=种.
由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有28533
12．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平倍，这样的平面α的个数为（）
面α的1
2
A．8 B．16 C．32 D．48
【答案】C
【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可. 【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面α的同侧.
当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的2倍.
这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面α）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面α有3×4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各种有两点.。