【成才之路】高考数学 2-3-1等差数列的前n项和课后强化作业 新人教A版5

【成才之路】2013-2014学年高考数学 2-3-1等差数列的前n
项和课后强化作业 新人教A 版必修5
一、选择题
1．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝，则公差d 等于( ) A ．8 B ．16 C ．4 D ．0
[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝
，∴
a 1＋d a 1＋2d ＝1
3
，∴d ＝－2a 1. 又S 4＝4a 1＋4×3
2d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，
∴d ＝8.
2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝( ) A ．45 B ．75 C ．180 D ．300
[答案] C
[解析] 由题设a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450得a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.
3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )
A ．168
B ．156
C ．152
D ．286
[答案] D
[解析] ∵⎩⎪⎨
⎪⎧
a 3＋a 7－a 10＝8
a 11－a 4＝14，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1－d ＝8
7d ＝14，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝2
a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×12
2
d ＝286.
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝5
9
，
则S 9S 5
＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D.12
[答案] A
[解析]
S 9S 5＝9a 55a 3＝95×5
9
＝1，故选A. 5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12
等于( )
A.3
10
B.13
C.18
D.19
[答案] A
[解析] 据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列． 设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ， ∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，
∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ， ∴
S 6S 12＝3k 10k ＝310
. 6．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
[答案] C
[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30
，
∴5a ＝15，∴d ＝3. 二、填空题
7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24 [解析] ∵S 9＝
a 1＋a 9
2
＝72，
∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，
又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24.
8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2
＋n 2
[解析] ∵a n ＝－5n ＋2，
∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)， ∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7) ＝－5(n ≥2)．
∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝
n a 1＋a n
2
＝
n －5n －
2＝－5n 2
＋n 2
.
三、解答题
9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则
S n ＝na 1＋
n n －
2
d .
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
10a 1＋10×92
d ＝100，①100a 1
＋100×99
2
d ＝10.②
①×10－②整理得d ＝－1150，代入①得，a 1＝1 099
100，
∴S 110＝110a 1＋110×109
2d
＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1150
＝110⎝
⎛⎭
⎪⎫1 099－109×11100
＝－110. 能 力 提 升 一、选择题
1．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] C
[解析] 本题考查数列的前n 项和S n 与通项a n 的关系及等差数列的定义．
S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，
∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.
S m ＝a 1m ＋
m m －
2
·1＝0，①
a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2，
∴a 1＝3－m .②
②代入①得3m －m 2
＋m 22－m
2＝0，
∴m ＝0(舍去)，m ＝5，故选C.
2．(2013·安徽文，7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2
[答案] A
[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．
⎩⎪⎨⎪⎧
S 3＝4a 3a 7＝－2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1＋3d ＝4a 1＋8d
a 1＋6d ＝－2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝10
d ＝－2
.
∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.
3．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )
A ．0
B ．4475
C ．8950
D ．10 000
[答案] C
[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝
c 1＋c 100
2
＝
＋2
＝8950.
4．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A ．S 7
B ．S 8
C ．S 13
D ．S 15
[答案] C
[解析] ∵a 2＋a 4＋a 15＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7为常数，∴S 13＝a 1＋a 13
2
＝13a 7
为常数．
二、填空题
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝________.
[答案] 100
[解析] ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →
，且A 、B 、C 三点共线，
∴a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝
a 1＋a 200
2
＝100.
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则S 3等于________． [答案] 14
[解析] 对于S n ＝2a n －2，当n ＝1时，有a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2；当n ＝2时，有S 2
＝2a 2－2，即a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 2＝a 1＋2＝4；当n ＝3时，有S 3＝2a 3－2，即a 1＋a 2＋
a 3＝2a 3－2，所以a 3＝a 2＋a 1＋2，又a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝8，所以S 3＝2a 3－2＝14.
三、解答题
7．(2012～2013学年度陕西汉中市勉县一中高二期中测试)设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.
(1)求通项a n ；
(2)若S n ＝242，求n 的值． [解析] (1)设公差为d ， 则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.
∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S
n ＝
n a 1＋a n
2
＝
n n ＋
2
＝n 2
＋11n ＝242， ∴n 2
＋11n －242＝0， ∴n ＝11.
8．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝
n [1＋
－2n
2
＝2n －n 2
.
进而由S k ＝－35，可得2k －k 2
＝－35. 又k ∈N *
，故k ＝7为所求．
9．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S n n
}的前n 项和，求数列{S n n
}的前n 项和T n .
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则
S n ＝na 1＋1
2
n (n －1)d .
∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
7a 1＋21d ＝7
15a 1＋105d ＝75，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋3d ＝1
a 1＋7d ＝5，
解得a 1＝－2，d ＝1.
∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋1
2
(n －1)， ∵
S n ＋1n ＋1－S n n ＝1
2
， ∴数列{S n n }是等差数列，其首项为－2，公差为1
2
，
∴T n ＝14n 2－9
4
n .。