3 垂径定理

OA2 AC 2
=5 cm，
A
●
1.两条弦在圆心的同侧
A C
●
O
B D
O
B D
C
M
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
例1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为 弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F， EF=90m.求这段弯路的半径。
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
O A C O B A C B D A O B
C
D
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。
归纳小结
M
A
. O
B
A
A
C
. E
O
. O
N
D B
C
D
B
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径 定理创造条件.
4.如图(1)所示，水平放置的一个油管的截面半径为13 cm，其中有油部分油面宽AB为24 cm，求截面上有油部
分油面高CD. 解析:根据垂径定理,易知AC,BC的长,连接OA,根 据勾股定理即可求出OC的长,进而可求出CD的值. 解:如图(2)所示，连接OA.根据垂径定理,得AC=BC=12 cm. 在Rt△OAC中，OA=13 cm，AC=12 cm. 根据勾股定理，得OC= ∴CD=OD-OC=8 cm. ∴油面高CD为8 cm.
解：设桥拱所在圆的半径为Rm,则OD=(R-7.2)m ∵OC⊥AB
1 1 AD AB 37.4 18.7 2 2
根据勾股定理，得 OA²=AD² +OD² 即 R²=18.7²+(R-7.2)² 解这个方程，得R≈27.9 ∴桥拱所在圆的半径约为27.9m
随堂练习
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条 弦所夹的弧相等吗？为什么？
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
B
O
A
∴AM=BM,
M└
●
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B O C A × O
D
C
E √
D C
O A ×
D
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦
想一想 平分弦的直径有什么特点？
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
┗
●
B O
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
M
●
可以发现图中有:

D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
探索： 垂直于弦的直径有什么特点？
• AB是⊙O的一条弦.

C M└
●
A
B O
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的 想法和理由.

D
我们发现图中有:

即
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC,
垂 径 定 理
B
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
A
M└
●
O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒=BC, ⌒ ⌒ ⌒ =BD. ∴AC AD
D
定理
垂直于弦的直径平分 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
判断：
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
作业： 习题3.3 第 2，3题
3.如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD=8， OP=3，则☉O的半径为 5 .
1 2
解析:连接OC，∵CD⊥AB，CD=8，∴PC= · CD= 在Rt△OCP中，∵PC=4,OP=3， ∴OC=
1 ×8=4， 2
PC 2 OP 2 42 32 5. 故填5.
1 1 ∴CF= CD= ×600=300(m). 2 2 根据勾股定理，得 OC² =CF² +OF²
∵
OE ┴ CD
C E F O D
即 R² =300² +(R-90)² .
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m
随堂练习
1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥 的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离） 为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精 确到0.1米）。
可推得
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
已知：AB是⊙O的一条弦.CD是⊙O的一条 直径，并且CD⊥AB,垂足为M. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： AM=BM, AC=BC, AD=BD. 证明：连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. C
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
挑战自我垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?为什么？ • 老师提示:
N
这两条弦在圆中位置有两种情况: 2.两条弦在圆心的两侧
九年级数学· 下 新课标[北师]
第三章
圆
学习新知
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复习提问：
1、圆的对称性
圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有 无数条对称轴.它还是中心对称图形，对称中心为圆心。
2、等对等定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。