高三数学一轮复习精品课件：第2课时 定点、定值、范围、最值问题

得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
x2＋2y2－2＝0，
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，x1＋x2＝181k22＋k 9，
x1x2＝18－k21＋6 9，Q→A＝(x1，y1－1)，Q→B＝(x2，y2－1)，
Q→A·Q→B＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－43k(x1＋x2)＋196＝
பைடு நூலகம்
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
(2)过动点 M(0，m)(m＞0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，
P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的
垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B.
①设直线 PM，QM 的斜率分别为 k，k′，证明kk′为定值. ②求直线 AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a＝4，2c＝2 2. 所以 a＝2，b＝ a2－c2＝ 2. 所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)①证明 设 P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0). 由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，－2m).
所以直线 PM 的斜率 k＝2mx－0 m＝xm0. 直线 QM 的斜率 k′＝－2mx0－m＝－3xm0 . 此时kk′＝－3.所以kk′为定值－3. ②解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由①知直线 PA 的方程为 y＝kx＋m.
y＝kx＋m， 则直线 QB 的方程为 y＝－3kx＋m.联立x42＋y22＝1，
(1＋k2)·9＋－1186k2－43k·9＋121k8k2＋196＝0， ∴Q→A⊥Q→B，即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0，1).
考点二 定值问题 【例 2】 (2016·山东卷)已知椭圆 C：ax22
＋by22＝1(a＞b＞0)的长轴长为 4，焦距 为 2 2. (1)求椭圆 C 的方程；
由xx22＋ ＋yy2＋＝131，2＝196，得xy＝ ＝01， ， 故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q(0，1). 下面证明 Q(0，1)为所求： 若直线 l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx－13， A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝kx－13，
解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰 直角三角形，∴b＝c.又斜边长为 2，即 2c＝2，故 c＝b ＝1，a＝ 2，椭圆方程为x22＋y2＝1. (2)当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ＋y＋132＝196； 当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2 ＝1.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
考点突破
课堂总结
解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1， 且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又 a2＝b2＋c2，所以 a2＝3. 所以椭圆的方程为x32＋y2＝1. (2)由题意设 P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设 l 方程为 x＝t(y－m)， 由P→M＝λ1M→Q知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意 y1≠0，∴λ1＝ym1－1. 同理由P→N＝λ2N→Q知 λ2＝ym2－1.
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0， 由 x0x1＝22mk22＋－14，可得 x1＝（2（2km2＋2－1）2）x0， 所以 y1＝kx1＋m＝（2k（2k2m＋2－1）2）x0＋m. 同理 x2＝（2（ 18mk22＋－12））x0，y2＝－（61k8（k2m＋2－ 1）2） x0 ＋m. 所以 x2－x1＝（2（18mk22＋－12））x0－（2（2km2＋2－1）2）x0 ＝（18－k23＋2k12）（（m22－k2＋2）1）x0，
第2课时 定点、定值、范围、最值问题
考点一 定点问题 【例 1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞0，b＞0)过点 (0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列. 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q，P，与椭圆分别交 于点 M，N，各点均不重合且满足P→M＝λ1M→Q，P→N＝λ2N→Q. (1)求椭圆的标准方程； (2)若 λ1＋λ2＝－3，试证明：直线 l 过定点并求此定点.
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变 化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关.
【训练 1】 (2017·雅安中学月考)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞ b＞0)的两焦点在 x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连 线构成斜边长为 2 的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程； (2)过点 S0，－13的动直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，试问： 在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB 为直 径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，① 联立xx2＝＋t（3y2y＝－3m，）得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴由题意知 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，② 且有 y1＋y2＝t22＋mt32 ，y1y2＝t2tm2＋2－33，③ 将③代入①得 t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1. 由题意 mt＜0，∴mt＝－1，满足②， 得 l 方程为 x＝ty＋1，过定点(1，0)，即 Q 为定点.