(完整版)七年级下学期相期末压轴题易错题复习数学试题(一)培优试题

一、解答题
1．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()2,0，()2,0-，现将线段AB 先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC ，连接AD ，BC ． （1）如图1，求点C ，D 的坐标及四边形ABCD 的面积；
图1
（2）如图1，在y 轴上是否存在点P ，连接PA ，PB ，使PAB ABCD S S =△四边形？若存在这样的点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，在直线CD 上是否存在点Q ，连接QB ，使1
4
QCB ABCD S S =△四边形？若存在这样的点，直接写出点Q 的坐标；若不存在，试说明理由．
图2
（4）在坐标平面内是否存在点M ，使23MAB ABCD
S S =
△四边形？若存在这样的点M ，直接写出点M 的坐标的规律；若不存在，请说明理由．
解析：（1）()1,3C -，()3,3D ，12ABCD S =四边形；（2）存在，()0,6P -或()0,6P ；（3）存在，()1,3Q 或()3,3Q -；（4）存在，M 的纵坐标总是4或4-．或者：点M 在平行于x 轴且与x 轴的距离等于4的两条直线上；或者：点M 在直线4y =或直线4y =-上 【分析】
（1）根据点的平移规律，即可得到对应点坐标； （2）由PAB
ABCD S S =四边形，可以得到6OP =，即可得到P 点坐标；
（3）由14QCB
ABCD
S S =四边形，可以得到2CQ =，结合点C 坐标，就可以求得点Q 坐标； （4）由23MAB
ABCD
S S =
四边形，可以AB 边上的高的长度，从而得到点M 的坐标规律． 【详解】
（1）∵点()2,0A ，点(2,0)B -
∴向上平移3个单位，再向右平移1个单位之后对应点坐标为(3,3)D ，点(1,3)C - ∴2(2)4AB =--= ∴=43=12ABCD S ⨯四边形 （2）存在，理由如下： ∵=12PAB ABCD S S =△四边形 即：1
2
AB OP =12
∴6OP =
∴()0,6P -或()0,6P （3）存在，理由如下： ∵14QCB ABCD
S S =
△四边形 即：1
1234
QCB S =⨯=△
∵13
22QCB S CQ OE CQ ==△
∴2CQ = ∵(1,3)C - ∴()1,3Q 或()3,3Q - （4）存在：理由如下： ∵23MAB ABCD
S S =
△四边形 ∴2
12=83
MAB S =⨯△
设MAB △中，AB 边上的高为h
则：1
82AB h =
∴4h =
∴点M 在直线4y =或直线4y =-上 【点睛】
本题考查直角坐标系中点的坐标平移规律，由点到坐标轴的距离确定点坐标等知识点，根据相关内容解题是关键．
2．在平面直角坐标系中，已知长方形，点
，. （1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若
，求
的度数；
（2）若把长方形向上平移，得到长方形
.
①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系； ②若
，求
的面积与
的面积之比.
解析：（1）55°或35°；（2）①；②.
【解析】
【分析】
（1）分两种情况：①在Rt△FEC中，求出∠FEC=90°-10°=80°，然后根据点在第二象限的角平分线上，得出∠POE=45°，对顶角相等，即可得出∠CPO=180°-80°-45°=55°；②由已知条件，得出∠CEO=45°，又根据∠CEO=∠CPE+∠PCB，得出∠CPO；
（2）①首先设长方形向上平移个单位长，得到长方形，然后列出和的面积，即可得出两者的数量关系；
②首先根据已知条件判定四边形是平行四边形，经过等量转化，即可得出和
的面积，进而得出其面积之比.
【详解】
（1）分两种情况:
①令PC交x轴于点E，延长CB至x轴，交于点F，如图所示：
由已知得，，∠CFE=90°
∴∠FEC=90°-10°=80°，
又∵点在第二象限的角平分线上，
∴∠POE=45°
又∵∠FEC=∠PEO=80°
∴∠CPO=180°-80°-45°=55°
②延长CB,交直线l于点E，
由已知得，，
∵点在第二象限的角平分线上，
∴∠CEO=45°
∴∠CEO=∠CPE+∠PCB
∴∠CPO=45°-10°=35°.
故答案为55°或35°.
（2）如图，
①设长方形向上平移个单位长，得到长方形
∴
②∵长方形，
∴
∵，
令交于E，
则四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵
由①得知，
∴
∴.
【点睛】
此题主要考查等量转换和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握，即可解题.
3．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.
(1)直接写出点C的坐标.
(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=2
3
S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明
理由.
(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点
C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.
解析：(1)C(-2，0)；(2)点P坐标为(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明见解析.【分析】
(1)由点A坐标可得OA=4，再根据C点x轴负半轴上，AC=6即可求得答案；
(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根据S△POB=2
3
S△ABC，可得OP=6，即可写出点P的坐标；
(3)先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC，然后根据点M在射线CH上，分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.
【详解】
(1)∵A(4，0)，
∴OA=4，
∵C点x轴负半轴上，AC=6，
∴OC=AC-OA=2，
∴C(-2，0)；
(2)∵B(2，3)，
∴S△ABC=1
2×6×3=9，S△BOP=1
2
OP×2=OP，
又∵S△POB=2
3
S△ABC，
∴OP=2
3
×9=6，
∴点P坐标为(0，6)或(0，-6)；
(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明如下：
∵把点C往上平移3个单位得到点H，C(-2，0)，
∴H(-2，3)，
又∵B(2，3)，
∴BH//AC；
如图1，当点M在线段HC上时，过点M作MN//AC，
∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，
∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；
如图2，当点M在射线CH上但不在线段HC上时，过点M作MN//AC，
∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，
∴∠HBM=∠BMN，
∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，
∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；
综上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.
【点睛】
本题考查了点的坐标，三角形的面积，点的平移，平行线的判定与性质等知识，综合性较强，正确进行分类并准确画出图形是解题的关键.
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，三角形OAB的边OA、OB分别在x轴
正半轴上和y轴正半轴上，A（a，0），a是方程
22
1
32
a a
+-
-=的解，且△OAB的面积为
6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）将线段OA沿轴向上平移后得到PQ，点O、A的对应点分别为点P和点Q（点P与点B不重合），设点P的纵坐标为t，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S；
（3）在（2）的条件下，设PQ交线段AB于点K，若PK=8
3
，求t的值及△BPQ的面积．
解析：（1）B（0，3）；（2）S=
()
()
2603
263
t t
t t
⎧-+
⎪
⎨
-
⎪⎩
＜＜
；
＞
（3）4
【分析】
（1）解方程求出a的值，利用三角形的面积公式构建方程求出b的值即可解决问题；（2）分两种情形分别求解：当点P在线段OB上时，当点P在线段OB的延长线上时；（3）过点K作KH⊥OA用H．根据S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH，构建方程求出t，即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵
22
1 32
a a
+-
-=，
∴2（a+2）-3（a-2）=6，∴-a+4=0，
∴a=4，
∴A（4，0），
∵S△OAB=6，
∴1
2
•4•OB=6，
∴OB=3，
∴B（0，3）．
（2）当点P在线段OB上时，S=1
2•PQ•PB=1
2
×4×（3-t）=-2t+6．
当点P在线段OB的延长线上时，S=1
2•PQ•PB=1
2
×4×（t-3）=2t-6．
综上所述，S=
()
()
2603 263
t t
t t
⎧-+
⎪
⎨
-
⎪⎩
＜＜
＞
．
（3）过点K作KH⊥OA用H．
∵S △BPK +S △AKH =S △AOB -S 长方形OPKH ， ∴12PK •BP +1
2AH •KH =6-PK •OP ， ∴
12
×83×（3-t ）+1
2（4-83）•t =6-83
•t ， 解得t =1， ∴S △BPQ =-2t +6=4．
【点睛】
本题考查三角形综合题，一元一次方程、三角形的面积、平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．
(1)求点D 的坐标：
(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ；
(3)在y 轴上是否存在点P ，使S △PAB =S 四边形OCDB ；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
解析：（1）()4,2（2）7（3）点P 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【详解】
试题分析：⑴抓住CD ∥x 轴，可以推出C D 、纵坐标相等，而134CD AB ==--=是C D 、横坐标之差的绝对值，以此可以求出点D 的坐标，根据图示要舍去一种情况.
⑵四边形OCDB 是梯形，根据点的坐标可以求出此梯形的上、下底和高，面积可求. ⑶存在性问题可以先假设存在，在假设的基础上以S △PAB = S 四边形OCDB 为等量关系建立方程，以此来探讨在y 轴上是否存在着符合条件的点P .
试题解析：⑴.∵CD ∥x 轴, ∴C D 、纵坐标相等; ∵()0,2C ∴点D 的纵坐标也为2.
设点D 的坐标为(),2m ，则0CD m m =-=. 又134AB =--=，且CD AB =， ∴4CD m ==，解得：124,4m m ==-.
由于点D 在第一象限，所以4m =，所以D 的坐标为()4,2. ⑵.∵ CD ∥x 轴，且()()()()00,0,3,0,0,2,4,2B C D
∴044,033,22CD OB CO =-==-===
∴S 四边形OCDB = ()()11
234722
CO OB CD ⨯⨯+=⨯⨯+=.
⑶.假设在y 轴上存在点P ,使S △PAB = S 四边形OCDB . 设P 的坐标为()0,n ，则PO n =，而4AB = ∴S △PAB =11
4222
AB OP n n ⨯⨯=⨯⨯=.
∵S △PAB = S 四边形OCDB ，S 四边形OCDB 7= ∴27n = ，解得；1277
,22
n n ==-.均符合题意.
∴在y 轴上存在点P ,使S △PAB = S 四边形OCDB . 点P 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
6．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为m 厘米，小正方形ODEF 的边长为n 厘米，且|m ﹣4|+2n -＝0．
（1）求点B 、点D 的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x 轴向右平移，如图2．设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S 平方厘米．
①当t ＝1.5时，S ＝ 平方厘米；
②在2≤t ≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米； ③在小正方形平移过程中，若S ＝2，则小正方形平移的时间t 为 秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x 轴向右平移，在平移过程中，
连接AD ，过D 点作DM ⊥AD 交直线BC 于M ，∠DAx 的角平分线所在直线和∠CMD 的角平分线所在直线交于N （不考虑N 点与A 点重合的情形），求∠ANM 的大小并说明理由． 解析：（1）(4,4),(0,2)B D ；（2）①3，②4，③1或5；（3）45︒，理由见解析 【分析】
（1）由非负性的性质以及算数平方根的性质可得出,m n 的值，可答案可求出； （2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积； ②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离和时间； （3）过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，设CMG DMG y ∠=∠=，则
,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，得出902ADQ OAD y ∠=∠=︒-，得出
902DAx y ∠=︒+，得出1
452
NAx DAx y PNA ∠=∠=︒+=∠，
45ANM PNA PNM ∠=∠-∠=︒．
【详解】 解（1）
()2
420m n -+--=，
2,4n m ∴==， (4,4),(0,2)B D ∴；
（2）①当 1.5t =秒时，小正方形向右移动1.5厘米，
2 1.53S ∴=⨯=（平方厘米）；
②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，
面积为：224⨯=（平方厘米）；
③如图2，小正方形平移距离为415+=（厘米），
∴小正方形平移的距离为1厘米或5厘米，
1t ∴=或5t =，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒； （3）如图3，过D 作//DQ x 轴，过N 作NP //x 轴，
MN 平分CMD ∠,
设CMG DMG y ∠=∠=，
则,2PNM NMB y MDQ CMD y ∠=∠=∠=∠=，
DM AD ⊥，
902ADQ OAD y ∴∠=∠=︒-，
180180(902)902DAx AOD y y ∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，
AN 平分DAx ∠，
1
452NAx DAx y PNA ∴∠=∠=︒+=∠，
4545ANM PNA PNM y y ∴∠=∠-∠=︒+-=︒． 【点睛】
本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平移的性质．
7．如图，已知点()2,A a ，点()6,B b ，且a ，b 满足关系式24(2)0a b -+-=．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）如图1，点()P m n ,是线段AB 上的动点，AE x ⊥轴于点E ，PH x ⊥轴于点H ，
BF x ⊥轴于点F ，连接PE 、PF ．试探究m ，n 之间的数量关系；
（3）如图2，线段AB 以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段11A B ．若线段11A B 交y 轴于点C ，当三角形1A CO 和三角形1B CO 的面积相等时，求移动时间t 和点C 的坐标．
解析：（1）2,4,6,2A B ；（2）210m n +=；（3）2t =，点C 的坐标为()0,3 【分析】
（1）由题意易得40,20a b -=-=，然后可求a 、b 的值，进而问题可求解； （2）由（1）及题意易得4,4,2AE EF BF ===，然后根据APE
PEF
PBF
AEFB S S S
S
=++四边形建立方程求解即可；
（3）分别过点11,A B 作1A P y ⊥轴于点P ，1B Q y ⊥轴于点Q ，由题意易得
()()1122,4,62,2A B t t --，然后可得11A P B Q =，进而可求t 的值，最后根据（2）可得三角形1B CO 的面积为3，则问题可求解． 【详解】 解：（1）∵
()2
420a b -+-=，
∴40,20a b -=-=， ∴4,2a b ==， ∴点()2,4A ，点()6,2B ；
（2）由（1）可得点()2,4A ，点()6,2B ，
∵AE x ⊥轴于点E ，PH x ⊥轴于点H ，BF x ⊥轴于点F ， ∴////AE PH BF ，4,624,2AE EF BF ==-==， ∵()P m n ,，
∴2,,6EH m PH n HF m =-==-， ∵APE
PEF
PBF
AEFB S S S
S
=++四边形，且()1
2
AEFB S AE BF EF =
+⋅四边形， ∴
()()()1111
424424262222
m n m ⨯+⨯=⨯⨯-+⨯+⨯⨯-， 化简得210m n +=；
（3）分别过点11,A B 作1A P y ⊥轴于点P ，1B Q y ⊥轴于点Q ，如图所示：
∵线段AB 以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段11A B ，时间为t ， ∴()()1122,4,62,2A B t t --，
∵三角形1A CO 和三角形1B CO 的面积相等， ∴
1111
22
A P OC
B Q O
C ⋅=⋅， ∴11A P B Q =，
∴2262t t -=-， 解得：2t =， ∴()()112,4,2,2A B -，
由（2）可得三角形11A B O 的面积为11
24221242622
AEFB S -⨯⨯-⨯⨯=--=四边形，
∴三角形1B CO 的面积为3， 即
232
CO
=， ∴3CO =， ∴()0,3C ． 【点睛】
本题主要考查图形与坐标、算术平方根与偶次幂的非负性及等积法，熟练掌握图形与坐标、算术平方根与偶次幂的非负性及等积法是解题的关键． 8．已知，AB ∥CD ，点E 为射线FG 上一点．
（1）如图1，若∠EAF ＝25°，∠EDG ＝45°，则∠AED = ．
（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E 在FG 延长线上时，DP 平分∠EDC ，∠AED ＝32°，∠P ＝30°，求∠EKD 的度数．
解析：（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠，证明见解析；（3）122° 【分析】
（1）过E 作//EF AB ，根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，即可求得AED ∠；
（2）过过E 作//EM AB ，根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠，
180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；
（3）设EAI x ∠=，则3BAE x ∠=，通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒，由角平分线定义及
//AB CD 得到33224x x =︒+-︒，求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．
【详解】
解：（1）过E 作//EF AB ，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
25EAF AEH ∴∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒， 70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒，
故答案为：70︒；
（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠． 理由如下： 过E 作//EM AB ，
//AB CD ，
//EM CD ∴，
180EAF MEH ∴∠+∠=︒，180EDG AED MEH ∠+∠+=︒， 180EAF MEH ∴∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，
EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；
（3）:1:2EAP BAP ∠∠=， 设EAP x ∠=，则3BAE x ∠=，
32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒，DKE AKP ∠=∠，
又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒，
22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒，
DP 平分EDC ∠，
224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒，
//AB CD ，
EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，
即33224x x =︒+-︒，解得28x =︒，
28226EDK ∴∠=︒-︒=︒， 1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键． 9．如图，已知直线//AB 射线CD ，100CEB ∠=︒．P 是射线EB 上一动点，过点P 作
PQ//EC交射线CD于点Q，连接CP．作PCF PCQ
∠=∠，交直线AB于点F，CG平分ECF
∠．
（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求PCG
∠的度数；
（2）若点P，F，G都在点E的右侧，30
EGC ECG
∠-∠=︒，求CPQ
∠的度数；
（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使:4:3
EGC EFC
∠∠=？若存在，求出CPQ
∠的度数；若不存在，请说明理由．
解析：（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°
【分析】
（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；
（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据
PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E 的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，
∴∠ECQ=80°，
∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，
∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝1
2∠QCF+1
2
∠FCE=1
2
∠ECQ=40°；
（2）∵AB∥CD
∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，
∴∠EGC+∠ECG=80°，
又∵∠EGC-∠ECG=30°，
∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，
∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=1
2
（80°-50°）=15°，∵PQ∥CE，
∴∠CPQ=∠ECP=65°；
（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，①当点G、F在点E的右侧时，
则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=3
2 x，
∵∠ECD=80°，
∴x+x+3
2x+
3
2
x=80°，
解得x=16°，
∴∠CPQ=∠ECP=x+x+3
2
x=56°；
②当点G、F在点E的左侧时，
则∠ECG=∠GCF=x，
∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，
∴180°-4x=80°+x，
解得x=20°，
∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，
∴∠PCQ＝1
2
∠FCQ＝60°，
∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
10．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝1
3
∠ABF，∠CDM＝1
3
∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝1
n
∠ABF，∠CDM＝1
n
∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系
解析：（1）65°；（2）3606
α︒-︒
；（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】
（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，连结MF ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M 的度数；
（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°． 【详解】
解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，连结MF ，
//AB CD ，
//////EG AB FH CD ∴，
ABF BFH ∴∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，
360ABE BEG GED CDE ∴∠+∠+∠+∠=︒，
100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒， 260ABE CDE ∴∠+∠=︒，
ABE ∠和CDE ∠的角平分线相交于E ，
130ABF CDF ∴∠+∠=︒， 130BFD BFH DFH ∴∠=∠+∠=︒，
BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线，
12MBF ABF ∴∠=∠，1
2MDF CDF ∠=∠，
65MBF MDF ∴∠+∠=︒， 1306565BMD ∴∠=︒-︒=︒；
（2）如图1，13
ABM ABF ∠=∠，1
3CDM CDF ∠=∠，
3ABF ABM ∴∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，
ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，
6ABE ABM ∴∠=∠，6CDE CDM ∠=∠， 66360ABM CDM BED ∴∠+∠+∠=︒，
BMD ABM CDM ∠=∠+∠， 6360BMD BED ∴∠+∠=︒，
3606
BMD α︒-︒
∴∠=
； （3）由（2）结论可得，22360n ABM n CDM E ∠+∠+∠=︒，M ABM CDM ∠=∠+∠， 则2360n M BED ∠+∠=︒． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
11．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且
100EOF ∠=︒．
（1）求BEO OFD ∠+∠的值；
（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出
EMN FNM ∠-∠的值；
（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且
50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．
解析：（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）5
3
．
【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；
（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合
260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得
11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即可得关于n 的方程，计算可求解n 值． 【详解】
证明：过点O 作OG ∥AB ，
∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，
∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，
∴∠260BEO DFO +∠=︒；
（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，
∵EM 平分∠BEO ，FN 平分∠CFO ， 设BEM OEM x CFN OFN y ∠=∠=∠=∠=，， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒
∴21802260BEO DFO x y ∠+∠=+︒-=︒，
∴x -y =40°，
∵MK ∥AB ，NH ∥CD ，AB ∥CD ， ∴AB ∥MK ∥NH ∥CD ，
∴EMK BEM x HNF CFN y KMN HNM ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，， ∴EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠+∠=∠+∠-∠+∠（） x KMN HNM y =+∠-∠-
=x -y =40°，
EMN FNM ∠-∠的值为40°；
（3）如图，设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，
∵AB ∥CD ， ∴AKF KFD ∠=∠，
∵AKF EHK HEK EHK AEG ∠=∠+∠=∠+∠， ∴KFD EHK AEG ∠=∠+∠， ∵50EHK NMF ENM ∠=∠-∠=︒， ∴50KFD AEG ∠=︒+∠， 即50KFD AEG ∠-∠=︒，
∵AEG n OEG ∠=∠，FK 在∠DFO 内，DFK n OFK ∠=∠．
∴1
180180CFO DFK OFK KFD KFD n
∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ，
1
AEO AEG OEG AEG AEG n ∠=∠+∠=∠+∠，
∵260BEO DFO ∠+∠=︒， ∴100AEO CFO ∠+∠=︒，
∴11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即(180)1KFD AEG n ⎛⎫
⎪⎝∠⎭+-∠︒＝， ∴115080n ⎛⎫
⎪⨯⎭
︒︒⎝+＝，
解得
5
3
n ．
经检验，符合题意，
故答案为：5
3
．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．12．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD 与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出
∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出
∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD ∥O ′E ′，
∴OF ∥O ′E ′，
∴∠AOF =180°-∠OCD ，∠BOF =∠E ′O ′O =180°-∠BO ′E ′，
∴∠AOB =∠AOF +∠BOF =180°-∠OCD +180°-∠BO ′E ′=360°-（∠OCD +∠BO ′E ′）=α， ∴∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α；
（3）∠AOB =∠BO ′E ′．
证明：∵∠CPO ′=90°，
∴PO ′⊥CP ，
∵PO ′⊥OB ，
∴CP ∥OB ，
∴∠PCO +∠AOB =180°，
∴2∠PCO =360°-2∠AOB ，
∵CP 是∠OCD 的平分线，
∴∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，
∵由（2）知，∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α=360°-∠AOB ，
∴360°-2∠AOB +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，
∴∠AOB =∠BO ′E ′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
13．问题情境：
（1）如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，119PCD ∠=︒．求APC ∠度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P 作//PE AB ，请你接着完成解答．
问题迁移：
（2）如图3，//AD BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，PCE β∠=∠．试判断CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？（提示：过点P 作//PF AD ），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你猜想CPD ∠、α∠、β∠之间的数量关系并证明．
解析：（1）见解析；（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由见解析；（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠；②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠．理由见解析
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC =113°；
（2）过过P 作//PF AD 交CD 于F ，，推出////AD PF BC ，根据平行线的性质得出180BCP ，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况：①点P 在BA 的延长线上，②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合）），根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）过P 作//PE AB ，
//AB CD ，
////PE AB CD ∴，
=180APE PAB ，180CPE PCD ∠+∠=︒，
128PAB ∠=︒，119PCD ∠=︒
52APE ∴∠=︒，61CPE ∠=︒，
5261113APC ∴∠=︒+︒=︒；
（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由如下：
如图3，过P 作//PF AD 交CD 于F ，
//AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，
180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠，
180BCP β∴∠=︒-∠
又ADP α∠=∠
=180CPD DPF CPF ；
（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠； 理由：如图4，过P 作//PF AD 交CD 于F ，
//AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，
180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠，
180BCP β∴∠=︒-∠，
又ADP α∠=∠，
180CPD CPF DPF αβ∴∠=∠-∠=︒-∠-∠；
②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠．
理由：如图5，过P 作//PF AD 交CD 于F ，
//AD BC ，
////AD PF BC ∴，
ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，
180BCP PCE ∠+∠=︒，PCE β∠=∠，
180BCP β∴∠=︒-∠，
又ADP α∠=∠
180CPD DPF CPF αβ∴∠=∠-∠=∠+∠-︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
14．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b ，且,a b ABC //是直角三角形，90BCA ∠=︒，操作发现：
（1）如图1．若148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，若30,1A ∠=︒∠的度数不确定，同学们把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．
（3）如图3，若∠A =30°，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．
解析：（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析
【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°，∠1=∠DBC ，则∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°，∠PCA =∠CAM =30°，∠2=∠BCP =60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1=48°，∠BCA =90°，
∴∠3=180°-∠BCA -∠1=180°-90°-48°=42°，
∵a ∥b ，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B 作BD ∥a ．如图2所示：
则∠2+∠ABD =180°，
∵a ∥b ，
∴b ∥BD ，
∴∠1=∠DBC ，
∴∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C 作CP ∥a ，如图3所示：
∵AC 平分∠BAM
∴∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，
又∵a ∥b ，
∴CP ∥b ，∠1=∠BAM =60°，
∴∠PCA =∠CAM =30°，
∴∠BCP =∠BCA -∠PCA =90°-30°=60°，
又∵CP ∥a ，
∴∠2=∠BCP =60°，
∴∠1=∠2．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
15．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．
（1）若20n =时，则BED ∠=___________；
（2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；
（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）
解析：（1）60°；（2）n °+40°；（3）n °+40°或n °-40°或220°-n °
【分析】
（1）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； （2）同（1）中方法求解即可；
（3）分当点B 在点A 左侧和当点B 在点A 右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E 作EF ∥AB ，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．
【详解】
解：（1）当n =20时，∠ABC =40°，
过E 作EF ∥AB ，则EF ∥CD ，
∴∠BEF =∠ABE ，∠DEF =∠CDE ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠BEF =∠ABE =20°，∠DEF =∠CDE =40°，
∴∠BED =∠BEF +∠DEF =60°；
（2）同（1）可知：
∠BEF =∠ABE =n °，∠DEF =∠CDE =40°，
∴∠BED =∠BEF +∠DEF =n °+40°；
（3）当点B 在点A 左侧时，由（2）可知：∠BED =n °+40°；
当点B 在点A 右侧时，
如图所示，过点E 作EF ∥AB ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC =2n °，∠ADC =80°，
∴∠ABE =12∠ABC =n °，∠CDG =1
2∠ADC =40°，
∵AB ∥CD ∥EF ，
∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=n°，∠CDG=1
2
∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，
∴∠ABG=1
2∠ABC=n°，∠CDE=1
2
∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．。