圆锥曲线高考真题专练(含答案)之欧阳美创编

2018年数学全国1卷
设椭圆2
2:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于
,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.
由已知可得，点A 的坐标为或(1,.
所以AM 的方程为
y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以
OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，
则
12x x <<MA ，MB 的斜率之和为
212122
MA MB x x y y
k k +=
+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得
121212(23()42)(2)
MA MB x x x x k k x x k
k k -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=得
2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以，21221222422
,2121
x x x k k k x k -+==++.
则31313222
44128423()4021
k k k k k
k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以
OMA OMB ∠=∠.
综上，OMA OMB ∠=∠. 已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），
P3（–1
），P4（1
C 上.
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：
（1）由于3
P ，4
P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3
P ，
4P 两点.
又由2222
11134a b a b +>+
知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上.
因此2
22
1
11314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22
41a b ⎧=⎪⎨=⎪
⎩. 故C
的方程为2
21
4x y +=.
（2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t
，（t
，）.
则121
k k +-=-，得2t =，不符合题设.
从而可设
l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
21
4x y +=得
由题设可知
22
=16(41)0k m ∆-+>. 设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=2
841km
k -+，x1x2=224441m k -+.
而
12121211y y k k x x --+=
+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=
.
由题设1
21k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)0
4141m km
k m k k --+⋅+-⋅=++.
解得
12m k +=-
.
当且仅当
1
m >-时，
∆>，欲使l ：1
2
m y x m +=-
+，即
1
1(2)2m y x ++=-
-，
所以l 过定点（2，1-） 2016年数学全国1卷
设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）
且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
【答案】（I ）13
42
2=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[
【解析】
试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

试题解析：（I ）因为||||AC AD =，
AC
EB //，故
ADC ACD EBD ∠=∠=∠，
所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以
4||||=+EB EA .
由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E
的轨迹方程为：
13
42
2=+y x （0≠y ）. （II ）当
l
与x 轴不垂直时，设
l
的方程为
)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+
-=134)1(2
2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .
所以3
4)
1(12||1||22212
++=-+=k k x x k MN .
过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k
y ，A 到m 的距离为
1
22
+k ，所以
13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3
41
112||||212++==
k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38
,12[.
当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38
,12[.
2013年数学全国1卷
已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，
l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆
N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.
设动圆P 的圆心为P （x ，y ），半径为R. （Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2
的椭圆(左顶点除外)，其方程为
22
1(2)43
x y x +=≠-. （Ⅱ）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=， 当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得
|AB|= 当l 的倾斜角不为090时，由1r ≠R知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
||||QP QM =1
R
r ，可求得Q （-4，0），∴设l ：(4)y k x =+，由l 于圆M
1=
，解得k = 当k
时，将y x =代入221(2)43x y x +=≠-并整理得
27880x x +-=，解得1,2x
12|x x -=
187
. 当k =
时，由图形的对称性可知|AB|=187
，
综上，|AB|=187
或
|AB|=
2012年数学全国1卷
设抛物线22(0)C x py p =>：的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.
（1）
若90BFD ∠=，ABD ∆
的面积为，求p 的值及圆F 的方程；
（2）
若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与
C 之有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.
【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l
的距离d FA FB === 圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p F
点
,A B
关于点
F
对称得：
22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,)2p A
，直线:02p m y x =
+⇔+=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点)6p
P
直线:06p n y x x p -=
-⇔= 坐标原点到,m n
3=。

已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
12
y x +=在y 轴正半轴上
的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、
B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.
(I)证明：点P 在C 上；
(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、
P 、B 、Q 四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

【解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =+,代入2
2
12
y x +=并化
简得
242210x x --=. …………………
………2分
设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y , 则122626
,44
x x =
= 由题意得3123122
(),()1,2x x x y y y =-+=-
=-+=- 所以点P 的坐标为2
(,1)2
-
-. 经验证点P 的坐标2(1)2--满足方程22
12
y x +=,故点P 在
椭圆C 上…6分
(II)由P (1)-和题设知，Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为
y x =. ①
设AB 的中点为M ,则1
)42
M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为
1
24
y x =
+. ② 由
①、②得
1
l 、
2
l 的交点为
1
(,)88
N -
. …………………………9分
||8
NP ==
,
21||||2
AB x x =-=
||AM =
,
||8
MN ==
,
||8
NA ==
, 故||||NP NA =,
又||||NP NQ =, ||||NA NB =, 所以||||||||NA NP NB NQ ===,
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上.……………12分
如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；
（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、
BD 的交点P 坐标
分析：（I ）这一问学生易下手。

将抛物线2:E y x =与圆
222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2
y ，整理得
227160x x r -+-=．
．．．．．．．．．．．．（＊） 抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、
C 、
D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等
的正根即可.易得15
4)r ∈.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐
标。

因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为11()A x x 、11(,)B x x -、22(,)C x x -、
22()D x x 。

则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-，15
(4)r ∈ 则2112211212||(
||()2
S x x x x x x x x =⋅⋅-=-
216r t -=，则22(72)(72)S t t =+-下面求2S 的最大值。

方法一：利用三次均值求解。

三次均值目前在两纲中虽不
要求，但在处理一些最值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当72144t t +=-，即76
t =
时取最大值。

经检验此时
4)2
r ∈满足题意。

方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。

具体解法略。

下面来处理点P 的坐标。

设点P 的坐标为：(,0)p P x 由A P C 、、
121p
=
得7
6
p x t =
==。

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线
l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k x k x ++=
. 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.
由题设知2244
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =.
因此l 的方程为1y x =-.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16
x y -+-=或
22(11)(6)144x y -++=.
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆
C ：2
212
x y +=上，过
M 做x
轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点
Q 在直线x=-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直
于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 解
（1）设P （x,y ）,M （x0,y0）,设N （x0,0）,
()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=NP
NM
得00
=,=
x x y y 因为M （x0,y0）在C 上，所以22
122
+=x y 因此点P 的轨迹方程为2
22+=x
y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ，
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故
3+3m-tn=0 所以0=OQ PF
，即⊥OQ PF
.学.科网又过点P 存在唯一直线垂
直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 已知椭圆
E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜
率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA⊥NA. （I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .
试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E
的方程为22
143
x y +=，()2,0A -.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
π.因此直线
AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22
143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以
112
7
y =
. 因此AMN ∆的面积1121214422
7
7
49
=⨯⨯⨯=. （II ）由题意
3t >，0k >，()A .
将直线
AM
的方
程
(y k x =+代入
22
13
x y t +=得
(
)2
2
222330tk x
x t k t +++-=.
由
(22
12
3t k x tk ⋅=
+
得)212
33tk x tk
-=
+，
故
1AM x =+=
由题设，直线AN 的
方程为
(1
y x k
=-
，故同理可
得
AN ==
，
由2AM AN =得
22233k
tk k t
=
++，即()()32321k t k k -=-
.
当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
3233
21
32022
k k k k k k k -+-+-=<--， 即32
02k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020
k k -<⎧⎨-
>⎩2k <<.
因此k 的取值范围是)2.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞
0)右焦
点的直线0x y +=交
M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且
OP 的斜率为12
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则221122=1x y a b +，222222=1x y a b
+，2121=1y y
x x ---，
由此可得2212122121
=1b x x y y
a y y x x (+)-=-(+)-.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，001
2
y x =， 所以a2＝2b2.
又由题意知，M 的右焦点为
，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M 的方程为22
=163
x y +.
(2)
由22
0,
1,6
3x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
因此|AB|
.
由题意可设直线CD 的方程为
y
＝3x n n ⎛
+-<<
⎝， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由22
,
16
3y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x2＋4nx ＋2n2－6＝0.
于是
x3,4
.
因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD|
43|x x -=
由已知，四边形ACBD
的面积1||||2S CD AB =⋅=.
当n ＝0时，S
.
所以四边形ACBD
面积的最大值为3
.
已知O 为坐标原点，F
为椭圆2
2
:12
y C x +=在
y 轴正半轴上的
焦点，过F 且斜率为
的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足 0OA OB OP ++=. （I ）证明：点P 在C 上；
（II ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明A P B Q 、、、四点在同一圆上。

解：
（I ） (0,1)F ，l
的方程为1y =+，代入2
2
12
y x +=并化简
得……2分
2410x -=设
()()112233,,,,(,)A x y B x y P x y ，则12x x =
=，
得)
12121221x x y y x x +=
+=++=得
()()31231212
x x x y y y =-+=-
=-+=-所以点P 的坐标
为12⎛
⎫-
- ⎪ ⎪⎝
⎭
，验证得P 在椭圆上。

……6分
（II ）
由1P ⎛
⎫-
⎪ ⎪⎝
⎭
，知Q ⎫⎪⎪⎝⎭，PQ 的垂直平分线1l 的方
程为.y x =设
AB 的中点为
M ，则1?2M ⎫
⎪⎪⎝⎭
，AB
的垂直平分线2l
的方程为1
94
y x =
+⋯⋯分联立1
2l l ⎧⎨⎩
，得1,88N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，……9分
21||2
||4
||||8||||,8
||||,
||||,||||,||||||||,
x AM MN NA NP NA NP NQ NA NB NA N NP AB P NB NQ Q A B x P ===-==
==========故又所以由此可知、、、四点在以N NA 为圆心，为半径的圆上 (12)
分
己知斜率为1的直线l 与双曲线
C ：()22
22100x y a b a b
-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =，证明：
过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
解：
（I ）由题设知，l 的方程为.2+=x y
代入C 的方程，并化简得，
设),(),,(2211y x D y x B
则,4,422222122221a
b b
a a x x a
b a x x -+-=⋅-=①
由)3,1(M 为B D 的中点知,12
2
1=+x x 故
即,322a b =②
故.222a b a c =+=
所以C 的离心率.2==a
c e
（II ）由①、②知，C 的方程为：22
233a y x =-
A （a ，0），F （2a ，0），,02
34,22
2121<+-=⋅=+a x x x x 故不妨设.a ,21≥-≤x a x …………9分 又.17||||=⋅FD BF 故.178452=++a a
解得5
9,1-==a a 或（舍去）
故2||=
BD .64)(2||2122121=-+=-x x x x x x
连结MA ，则由A （1，0），M （1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD ，且MA⊥x 轴，因此以M 为圆主，MA
为半径的圆经地A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。

…………12分
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点，
线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343
y x y x +=+=.
两式相减，并由12
2
1y x y k x -=-得
1122
043
y x y k x +++⋅=. 由题设知
12121,22
x y x y
m ++==，于是 3
4k m =-
.① 由题设得3
02
m <<，故12
k <-.
（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则
331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2
FP =. 于是
1||(22
x
FA x ===-.
同理2||22
x FB =-
.
所以121||||4()32
FA FB x x +=-+=.
故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.
设该数列的公差为d ，则
1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=.②
将34
m =代入①得1k =-.
所以l 的方程为74
y x =-+，代入C 的方程，并整理得
21
71404
x x -+
=. 故121212,28
x x x x +==
，代入②解得||28d =.
所以该数列的公差为
28
或28
-. 已知抛物线C ：y2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 解
（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+ 由2
2
2x my y x
=+⎧⎨
=⎩可得212240则4y my ,y y --==-
又()2
22
12
121212==故=224
y y y y x ,x ,x x =4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4
==-14
y y x x 所以OA⊥OB
故坐标原点O 在圆M 上.
（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m +
故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =
由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故
()()()()121244220x x y y --+++=
即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，
所以2210m m --=，解得11或2
m m ==-.
当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M
，圆M 的方程为()()223110x y -+-=
当12
m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为
91，-42⎛⎫
⎪⎝⎭
，圆M ，圆M
的方程为22
9185
++4216x y ⎛⎫⎛⎫-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．
又因为点(11)T -，在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．
320x y ++=．
（II ）由36032=0
x y x y --=⎧⎨
++⎩，
解得点A 的坐标为(02)-，，
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==
从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
即PM PN -=．
故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，
实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =2c =．
所以虚半轴长b ==
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤．
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否
存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点
B 得坐标为(1,1)-.
设点P 的坐标为(,)x y 由题意得1
11
113
y y x x -+=-+-
化简得2234(1)x y x +=≠±.
故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y .
则直线AP 的方程为001
1(1)1
y y x x --=
++，直线BP 的方程为001
1(1)1
y y x x ++=
-- 令3x =得000431M
y x y x +-=
+，00023
1
N y x y x -+=-.
于是
PMN 得面积
又直线AB 的方程为0x y +=，||
AB =
点P 到直线AB 的距离d =. 于是PAB 的面积
当PAB
PMN S
S =时，得2
000002
0||(3)|||1|
x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，
所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3
x =。

因为220034x y +=
，所以0y = 故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的
坐标为5(,3
. 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，
设点P 的坐标为00(,)x y
则11||||sin ||||sin 2
2
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠.
因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||
||||PA PN PM PB =
所以
000|1||3|
|3||1|
x x x x +-=--
即2200(3)|1|x x -=-，解得0
x 53
=
因为220034x y +=，所以0
9
y =± 故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为5(
,39
±. 已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R .
（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与
曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于
点G ，求证：A ，G ，N
三点共线.
解：（1）原曲线方程可化简得：
22
18852
x y m m +=-- 由题意可得：88528
058
02m m m
m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨
-⎪⎪>⎪-⎩
，解得：752m << （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：2
2(21)16240k
x kx +++=，
2=32(23)k ∆-，解得：232k >
由韦达定理得：21621
M N k
x x k +=+①，224
21
M N x x k =
+，② 设(,4)N
N N x
k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，
MB 方程为：6
2M M kx y x x +=
-，则316M M x G kx ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
，，()2N N AN x x k =+，，
欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即
3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+
将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

已知椭圆22:24C x y +=，
（1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y
=上，且
OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的
结论.
解：（I ）由题意，椭圆C
的标准方程为22
142
x y +=。

所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=。

因此2,a c ==。

故椭圆C
的离心率c e a
==
（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切。

证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠。

因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得
00
2y t x =-。

当0x t =时，2
02
t y =
，代入椭圆C
的方程，得t =，
故直线AB
的方程为x =。

圆心O 到直线AB
的距离d = 此时直线AB 与圆222x y +=相切。

当0x t ≠时，直线AB 的方程为002
2()y y x t x t
--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 圆心0到直线AB 的距离
d =
220024x y +=，0
2y t x =-
故d =
==此时直线AB 与圆222x y +=相切.
已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
，点()0,1P ，
和点(,)(0)A m n m ≠都
在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）； （Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q Q ，使得若存在，求点Q 的坐标；若不不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）由题意知1b =
，
2
c a =，又222a b c =+，解
得
1a b c ===，
所以C 的方程为2
212
x y +=．
PA 的斜率1
PA n k m -=
，所以PA 方程11n y x m -=+， 令0y =，解得1m x n =
-，所以,01m M n ⎛⎫
⎪-⎝⎭
（Ⅱ）(),B m n -，同（I ）可得,01m N n ⎛⎫
⎪+⎝⎭
， 1tan QM
OQM k ∠=
，tan QN ONQ k ∠=，
因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k ⋅=，
设(),0Q t 则
111t t m m n n
⋅=-+--即22
21m t n =-，
又A 在椭圆C 上，所以22
12m n +=，即
22
21m n =-，
所以t =
，故存在()Q 使得OQM ONQ ∠=∠
已知椭圆C ：22
221+=x y a b （0a b >>）
，(,0)A a ，(0,)B b ，
(0,0)O ，△OAB
的面积为1.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.
【答案】（I ）14
22
=+y x ；（II ）见解析.
【解析】
试题分析：（I
，即=c a △OAB
的面积
为1，即12
1=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.
试题解析：（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧+===,,121
,23
222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x .
（II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ， 设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(2
00
--=
x x y y .
令0=x ，得2
200
--
=x y y M
，从而221100
-+=-=x y y BM M .
直线PB 的方程为11
0+-=x x y y . 令0=y ，得1
00
--
=y x x N
，从而12200-+=-=y x x AN N .
所以2
211200
00-+⋅-+
=⋅x y y x BM AN 4=.
当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O
为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11
λμ
+
为定值．
解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y=kx+1（k≠0）．
由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．
依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A （x1，y1），B （x2，y2）．
由（I ）知122
24k x x k -+=-，122
1
x x k =．
直线PA 的方程为
y –2=1122(1)1
y y x x --=--．
令x=0，得点M 的纵坐标为111121221
1
M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121
N kx y x -+=+-．
由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M
y λ-，1N
y μ=-．
所以
2212121212122
224112()111111=2111(1)(1)11
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+
---++=+=+=⋅=⋅
------．
所以11λ
μ
+为定值．
已知椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为
12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，过点2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交与,A B 两
点，且1212//,2F A F B F A F B =。

（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求直线AB 的斜率；
（Ⅲ） 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在∆1AF C 的外接圆上，求n m
的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分
（Ⅰ）解：由1F A //2F B 且1
2FA 2F B =，得2211
EF F B 1
EF FA 2==，从而2
2a 1a 2c
c c c
-=+
整理，得223a c =
，故离心率3
c e a =
= （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写为222236x y c +=
设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，即(3)y k x c =-
由已知设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，则它们的坐标满足方程组
222
(3)
236y k x c x y c
=-⎧⎨+=⎩
消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.
依题意，2248(13)0c k k ∆=->-
<<，得 而 2122
1823k c
x x k +=
+ ① 22122
27623c
k c c x x k -=
+ ②
由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以
1232x c x += ③
联立①③解得
2129223k c c x k -=+，222
9223k c c
x k
+=+ 将12,x x
代入②中，解得3
k =±
. (Ⅲ)解法一：由（Ⅱ）可知1230,2
c x x ==
当3
k =-
时，得)A
，由已知得(0,)C .
线段1AF 的垂直平分线l
的方程为2
22c y x ⎫
-=-+⎪⎝
⎭
，直
线l 与x 轴的交点,02
c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是1AF C ∆外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为22
2x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
直线2F B
的方程为)y x c =-，于是点
H （m ，n ）的坐标满足
方程组
2
22924)
c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪
=-⎩ ， 由0,m ≠
解得533m c n c
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
故5n m =
当k =
时，同理可得
n m = 解法二：由（Ⅱ）可知1230,2
c x x ==
当
k =时，得)A ,由已知得(0,)C
由椭圆的对称性可知B ，2F ，C 三点共线，因为点H （m ，n ）在1AF C ∆的外接圆上，
且12//F A F B ，所以四边形1AF CH 为等腰梯形.
由直线
2F B
的方程为
)
y x c =-,知点H 的坐标为
()m .
因为
1AH CF =，所以222)m a +=，解得m=c
（舍），或53
m c =.
则3
n c =
，所以5n m =
当k =n m =
已知椭圆22
221(0x y a b a b +=>>）的离心率e =，连接椭圆的四个
顶点得到的菱形的面积为4。

（1） 求椭圆的方程；
（2）
设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值
（3）
（1）解：由e c a ==
2234a c =，再由222c a b =-，
得2a b =
（4）
由题意可知， 1224,22
a b ab ⨯⨯==即
（5） 解方程组22a b
ab =⎧⎨=⎩
得 a=2,b=1
（6） 所以椭圆的方程为2
214
x y +=
（7）
(2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x1,,y1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),
（8）
于是A,B
两点的坐标满足方程组22
(2)
14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （9）
由方程组消去
Y 并整理，得
2222(14)16(164)0k x k x k +++-=
（10） 由212
164
2,14k x k
--=+得 （11） 设线段
AB 是中点为M ，则M
的坐标为222
82(,)1414k k
k k -
++ （12） 以下分两种情况： （13） （1）当
k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的
垂直平分线为y 轴，于是
（14） （2）当
K 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为
2
22
218()1414k k Y x k k k
-=+++ （15） 令
x=0，解得02
614k
y k =
+
（16） 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →
→
=--=-） （17）
整理得2072,=k k y ==故 （18）
综上00==y y ± 设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为
F,
, 过点F
且与x
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k
的直线与椭圆交于C, D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
(Ⅰ)解：设(,0)F c -
，由c a =
a =.过点F 且与x 轴垂
直的直线为
x c
=-，代入椭圆方程有
22
2
2()1c y a b
-+=，解
得
3y =±
，于是
33
=
，解得b =，又222a c b -=
，从而
a =1c =，所以椭圆的方程为22
132
x y +=.
（Ⅱ）解：设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，
由方程组22
(1)
132
y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=. 求解可得2
122
623k x x k +=-
+，22
3623k k -+.
因为(A
，B ，
所以
11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=⋅-+⋅-
2
2
2
12126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-22
212
623k k
+++. 由已知得2
2
212
6823k k ++
=+，解得k =
已知椭圆22
22+=1(0)x y a b a b 的左焦点为F -c （,0）,，
点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆4
2
2
+4
b x y
截得
的线段的长为c ，|FM|=.
(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP
，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
【答案】； (II)22132x y += ；
(III)22,,⎛⎛-∞ ⎝. 【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线
FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直
线与椭圆方程联立，求出点M的坐标，
由FM=可求出c，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP：(1)
y t x
=+，与椭圆方
程联立，
求得t=>求出x的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围.
试题解析：(I) 由已知有2
21 3
c a =，又由222
a b c
=+，可得223
a c
=，
22
2
b c
=，
设直线FM的斜率为(0)
k k>，则直线FM的方程为()
y k x c
=+，由已知有
222
22
c b
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得k=
(II)由(I)得椭圆方程为22
22
1
32
x y
c c
+=，直线FM的方程为()
y k x c
=+，两个方程联立，消去y，整理得
22
3250
x cx c
+-=，解得5
3
x c
=-或x c=，因为点M在第一象限，可得M
的坐标为c⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
由FM==，解得1
c=，所以椭圆方程为
22
1
32
x y
+=
(III)设点P的坐标为(,)
x y，直线FP的斜率为t，得
1
y
t
x
=
+
，即(1)
y t x
=+(1)
x≠-,与椭圆方程联立22
(1)
1
32
y t x
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，消去y，整理得222
23(1)6
x t x
++=
，又由已知，得t=>
3
12
x -
<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x
=，即(0)y mx x =≠，与椭圆
方程联立，整理可得22223
m x =
-. ①当3,12
x ⎛⎫
∈--
⎪⎝⎭
时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是
m =
，得m ∈ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是
m =,m ⎛∈-∞ ⎝
综上，直线OP 的斜率的取值范围是22,,⎛⎛-∞ ⎝ 设椭圆22
21(3x y a a +=>的右焦点为
F,右顶点为 A.已知
113,||||||
e OF OA FA +=其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）),4
6[]46,(+∞--∞ .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由
113||||||e OF OA FA +=
，得113()c c a a a c +=-，再利用222a c b -=，可
解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：
MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，
再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.
试题解析：（I ）解：设(,0)F c ，由113||||
||
e OF OA FA +=，即
113()
c
c a a a c +=
-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此2
4a =，所以椭圆的方程为22
143
x y +=.
（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .
设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(1
34
2
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .
解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得3
46
822+-=k k x B ，从而
3
4122+-=
k k
y B .
由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，
2229412(,)4343
k k BF k k -=++.
由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343
H
ky k k k -+=++，解得
k
k y H 12492
-=
. 因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ，由方程组
⎪⎩
⎪⎨
⎧-=-+
-=)2(124912x k y k k x k y 消去
y
，解得
)
1(129
2022++=
k k x M . 设椭圆22
221x x a b
+=(a>b>0)的左焦点为
F ，上顶点为B.已知
椭圆的离心率为
3
，点A 的坐标为(,0)b ，
且FB AB ⋅=
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q.
若
4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点) ，求k 的值.
（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知225
9
c a =，又由
a2=b2+c2，可得2a=3b ．由已知可得，FB a =
，AB =，
由FB AB ⋅=ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为22
194x y +=．
（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x1，y1），点Q 的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故
12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为
2sin y AQ OAB
=
∠，而∠OAB=π
4，
故2AQ =．
由AQ AOQ PQ =∠，
可得5y1=9y2．
由方程组2
219
4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩，，消去
x
，可得1y =
AB
的方程为x+y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩
，
， 消去
x ，可得221
k
y k =
+．由5y1=9y2，可得5（k+1）
=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得1
2k =，或11
28k =．
所以，k 的值为1
11
228或．
已知
m ＞1，直线2
:02
m l x my --=，
椭圆2
22:1x C y m
+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，
12BF F 的重心分别为,G H
.若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（Ⅰ）解：因为直线:l 2
02
m x my --=
经过2F ，
2
2
m =
,得22m =，
又因为1m >，
所以2m =，
故直线l 的方程为2
2
20x -=。

（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。

由22
22
21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得
则由2
2
28(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <，
且有212121
,282
m m y y y y +=-=-。

由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO ==， 可知1121(,),(,),33
33
x y x y G h
设M 是GH 的中点，则1212(,)6
6
x x y y M ++，
由题意可知2,MO GH <
即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<
而22
12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++
所以21
082
m -<
即24m <
又因为1m >且0∆> 所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2)。

已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.
（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4
y =-所以
圆心M （0,4）到抛物线的距离是17,4
（Ⅱ）解：设P(x0, x02)，A （211,x x ）B （222,x x ），由题意得
0121,x x x ≠±≠设过点
P 的圆C2的切线方程为
y-x0=k(x- x0) 即200()y x k x x -=-， ① 2002
11k
=+
即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=
设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，
所以
20012202(4)1x x k k x -+=
-，2201220(4)1
1
x k k x --⋅=- 将①代入2y x =得22000x kx kx x -+-=，
由于0x 是此方程的根，故110220,,x k x x k x =-=-所以
由MP⊥AB,得2200002
00
2(4)4(2)()11AB MP
x x x k k x x x --⋅=-⋅=--，解得200
35x x =
即点P
的坐标为23
()5
，所以直线l
的方程为
4y x =+。

设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l
的距离d FA FB === 圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p F
点
,A B
关于点
F
对称得：
22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3(3,)2p
A ，直线3322:3023p p p p m y x x p -
=+⇔+
= 22
33
2233
x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点3)6p p P 直线333
:306p p n y x x p -
=-⇔-= 坐标原点到,m n 333p p
=。

如图，点(01)P -，是椭圆22
122:1x y C a b +=（0a b >>）的一个顶点，
1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直
的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．
（Ⅰ）由题意得12
b a =⎧⎨
=⎩
所以椭圆1C 的方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，
，22()B x y ，，00()D x y ，．由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．
又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l 的距离2
1
d k =
+
所以22
243
||2421
k AB d k +=-=+
又12l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=．。