第七讲非线性拟合

上述方程组有两种解法：手工，Matlab,下面介 绍Matlab 解方程组的方法
[x,y]=solve('6.42*(2*a+b)=2','10.76*(16*a+b)=16')
y a(1 becx ) ln b cx ln( y / a 1)
取点：(2,6.42),(8,9.93),(10,10.49)代入上述方程
若计算函数在x=0:0.1:1上的函数值，由于此时x为矩阵， 只需将函数表达式中的某些量表示成向量有些*改成.* 即可.
在实际问题中，有时散点图作出后未必是多项式的 图形，可能像其他的曲线，这时可以猜测曲线类型， 然后利用如下命令：
[beta,r,J] = nlinfit(x,y,fun,beta0)
此时多项式在x处的函数值为： polyval(p,x) ans =1.7500 2.4500 3.8100 4.8000 7.0000 8.6000
通常，给出两点的坐标，我们可以得到一条直线； 若给出三点的坐标，我们可以得到一条抛物线；…，给 出n个点的坐标，我们可以得到一个n-1阶的多项式.
是否多项式的阶数越高越好呢？非也！在解决实际问 题时，只要达到所需的精度，应尽量选择简单的函数.
如果用二次函数进行拟合，则有： p=polyfit(x,y,2) p = 0.5614 0.8287 1.1560
即拟合函数为：y 0.5614x2 0.8287x 1polyval(p,x)-y).^2) =0.1781
根据误差平方和最小原则：二次函数优于线性函数
发现：这些点大致地位于某条直 线附近，故可考虑线性拟合：
p=polyfit(x,y,1) ans: p =2.7937 -0.1540 即拟合函数为：y=2.7937x-0.154
(图6.1)
上述函数的拟合效果如何？我们可以通过计算误差 平方和的大小进行考察（两种方法）：
(1)sum((2.7937*x-0.154-y).^2)=0.9136 (2)sum((polyval(p,x)-y).^2) )=0.9136
plot(k,y,'*')
根据右图，我们猜测曲线为：
y b1(1 - b2e-b3k )
现在利用最小二乘法确定最
佳参数：b1,b2,b3 b0=[43,0.6,0.1];
%初始参数值 (图6.3)
fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*k))','b','k');
的平方和达到最小.即求满足如下条件的函数f (x,

y
)
使得
n

( f (xi , y) yi )2 最小
i1
解决此类问题有以下几个步骤：（1）首先作出散点 图，确定函数的类别；（2）根据已知数据确定待定 参数的初始值，利用Matlab软件计算最佳参数；（3） 根据可决系数，比较拟合效果。
其中，x,y为原始数据，fun是在M文件中定义的函数， beta0是函数中参数的初始值；beta为参数的最优值，r 是各点处的拟合残差，J为雅克比矩阵的数值.
例2. 已知如下数据，求拟合曲线
k=[ 0,47,93,140,186,279,372,465,558,651];
y=[18.98,27.35,34.86,38.52,38.44,37.73,38.43,43.87,42.77,46.22];
可决系数的计算公式为
n
( yi yˆ i )2
R2
1
i1 n
(yi y)2
i1
其中 y

1 n
n i1
yi
R2越趋近于1表明拟合效果越好.
在Matlab中实现可决系数的命令：
R2=1-sum((y-y1).^2)/sum((y-mean(y)).^2)
如果是多项式函数，则称为多项式回归，此时
ax b
y a(1 becx )
b
y ae x
拟合钢包容积与使用次数的关系 ,在同一坐标系内
作出函数图形.
下面给出分式函数拟合程序：
x1=[2:16]; y1=[6.42,8.2,9.58,9.5,9.7,10,9.93,9.99,10.49,10.59,10.6,10.8 ,10.6,10.9,10.76]; b01=[0.1435,0.084]; %初始参数值 fun1=inline('x./(b(1)+b(2)*x)','b','x'); % 定义函数 [b1,r1,j1]=nlinfit(x1,y1,fun1,b01); y=x1./(0.1152+0.0845*x1); %根据b1写出具体函数 plot(x1,y1,'*',x1,y,'-or'); 可决系数计算：
例2. 某种合金中的主要成分为A,B两种金属，经过试 验发现：这两种金属成分之和x与合金的膨胀系数y有 如下关系，建立描述这种关系的数学表达式.
x 37 37.5 38 38.5 39 39.5 40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 y 3.4 3 3 2.27 2.1 1.83 1.53 1.7 1.8 1.9 2.35 2.54 2.9
一. 曲线拟合
已知离散点上的数据集[(x1,y1 ),(x2 ,y2 ),,(xn ,yn )]
求得一解析函数y=f(x)，使f(x)在原离散点xi上尽可能接
近给定yi的值，这一过程叫曲线拟合. 最常用的曲线拟合
是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最
小，即找出使下式最小的f(x) :
min
是否有误差等于零的多项式？有，那就是该数据点 的插值多项式（五次多项式）
p = -1.6000 13.7400 -44.0733 65.6650 -42.6317 11.3500
y -1.6x5 13.74x4 - 44.0733x3 65.665x2 - 42.6317x 11.35
的参数即多项式的系数；如果为指数函数、对数函 数、幂函数或三角函数等，则称为非线性拟合.下面 的图形给出了常见曲线与方程的对应关系：
幂函数
y axb
指数函数 y aebx
双曲线函数
y x ax b
对数函数 y a bln x
指数函数
b
y ae x
S形曲线
y 1 a bex
[b,r,j]=nlinfit(k,y,fun,b0);
b
%最佳参数
R=sum(r.^2)
%误差平方和
b = 42.6643，0.5483，0.0099 即拟合曲线为： y 42.6643(1-0.5483e-0.0099k )
拟合结果如右图 所示，红色为拟 合曲线图形，*为 原始散点图.
作图程序为：
[a,b,c]=solve('log(b)+c*2=log(6.42/a-1)','log(b)+c*10=log(10.49/a-1)','log(b)+c*8=log(9.93/a-1)')
注意：如果出现复数解，则只取实部
n
|
f (xi
)

yi
|2
i1
通常，在解决实际问题时先将已知数据的散点图
画出，然后设计拟合的曲线类型，最后根据某种准则 选定最佳的曲线.
1.多项式拟合
多项式拟合就是选择适当的多项式对数据集进行拟合， 其命令为：格式：p=polyfit(X,Y,n).
说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式f(x)按 降幂排列的系数p，X必须是单调的.
解：首先作出散点图: x=37:0.5:43; y=[3.4,3,3,2.27,2.1,1.83,1.53,1.7,1.8,1.9,2.35,2.54,2.9];
plot(x,y,’*’)
发现：有点像抛物线，故选 二次函数拟合.
p=polyfit(x,y,2)
p = 0.1660 -13.3866 271.6231
表4.2 钢包使用次数与增大容积
使用 2 3 4 5 6 7 8 9 次数
增大 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 容积
使用 10 11 12 13 14 15 16 次数
增大 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76 容积
分别选择函数 y x
50
45
40
35
30
25
20
15
0
100 200 300 400 500 600 700
(图6.4)
y1=42.6643*(1-0.5483*exp(-0.0099*k)); plot(k,y,'*',k,y1,'-or')
练习：计算可决系数
例3.炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐 火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希望找出使用次 数与增大容积之间的函数关系.实验数据如下：
例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合： (0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6)
解：x = [0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y)
(图6.2)
y 0.166x2 - 13.3866x 271.6231 即为所求拟合曲线
误差平方和：R=sum((polyval(p,x)-y).^2)= 0.2523
2.非线性拟合
设有实验数据
(xi ,
yi ), (i

1,2, , n)
,寻找函数

f (x, y)
使得函数在点 xi ,(i 1,2,, n) 处的函数值与观测数据偏差
初始参数b0的计算， 由于确定两个参数值，因此我 们选择已知数据中的两点（2,6.42）和（16,10.76）代 入方程，得到方程组：

6.42

10.76

2
2a b 16

16a b
6.42(2a b) 2 a 0.084 10.76(16a b) 16 b 0.1435
为了实现非线性拟合，首先要定义函数
1. inline 定义的函数：用于曲线拟合、数值计算 步骤：(1)建立M文件； (2)fun=inline('f(x) ', '参变量'，'x')
例1. 建立函数：y a(1 becx ) a,b,c为待定的参数 fun=inline('b(1)*(1-b(2)*exp(-b(3)*x))','b','x'); 此处，将b看成参变量，b(1),b(2),b(3)为其分量.
具有S形曲线的常见方程有：
罗杰斯蒂（logistic）模型：
y 1 e x
龚帕兹（Gomperty）模型： y exp( ekx )
理查德（Richards）模型： 威布尔(Weibull)模型：
y /[1 exp( x)]1/ y exp( t )
第六讲 曲线拟合
在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的函 数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在 若干个点的函数值或导数值. 当要求知道观测点之外的 函数值时，需要估计函数在该点的数值. 这就要根据观 测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使函数在 观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数 φ(x)，办法是很多的. 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值. ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合.