高中数学 第1章 三角函数滚动训练 新人教A版必修4

第1章 三角函数
滚动训练一(§1.1～§1.6)
一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为4π的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin x
2
D ．y ＝cos 2x
考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 C
解析 A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正
周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π
ω
＝4π，故C 项符合
题意；D 项，y ＝cos 2x 的最小正周期为T ＝2π
ω
＝π，故D 项不符合题意．故选C.
2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只需将y ＝f (x )的图象上所有的点( ) A ．向左平移π
8个单位长度
B ．向右平移π
8个单位长度
C ．向左平移π
4个单位长度
D ．向右平移π
4
个单位长度
考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 A
解析 由T ＝π＝2π
ω
，得ω＝2，
g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2，
f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4
的图象向左平移π8
个单位长度，
得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝g (x )的图象．
3．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( ) A ．120° B．－120° C．－60° D．60° 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念 答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－4
12×360°＝－120°，故
选B.
4．给出下列各函数值：
①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan 5；④sin 7π
10
cos π
tan
17π9.
其中符号为负的是( ) A ．① B．② C．③ D．④ 考点 任意角的概念 题点 任意角的概念 答案 C
解析 因为－1 000°＝80°－3×360°， 所以sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
可知cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； 因为5∈⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π，所以tan 5<0，
sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π9＝－sin
7π
10
－tan π9>0.
故选C.
5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4
C.⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π2，2π
考点 和三角函数有关的几种复合函数 题点 和三角函数有关的几种复合函数 答案 C
解析 由y ＝|sin x |的图象，可得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，
当k ＝1时，得⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间．
6．若f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则( ) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1) C ．f (1)>f (0)>f (－1) D ．f (－1)>f (0)>f (1) 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 A
解析 当k π－π2<x ＋π4<k π＋π
2，k ∈Z ，
即k π－3π4<x <k π＋π
4，k ∈Z 时，f (x )是增函数，
而f (0)＝tan π
4
.
f (1)＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1＋π4＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋π
4－π＝tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－3π4，
f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4
－1.
所以f (0)>f (－1)>f (1)．
7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为( )
A ．f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
B ．f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 C
解析 由图象知，A ＝2，T ＝
7π8－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π8＝π， 所以ω＝2，又过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π8，0， 令－π8×2＋φ＝0，得φ＝π
4，
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
二、填空题
8．(2018·牌头中学月考)给出以下命题：
①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2
x －sin x
sin x －1是奇函数；
④函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x －12的最小正周期是2π. 其中正确命题的序号为________．
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题 答案 ④
9．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α＋cos α的值为________． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 答案 ±
6＋33
解析 在角α的终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝2x ， 当x >0时，r ＝x 2
＋y 2
＝3x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r
＝
2
3＋13
＝6＋33；
当x <0时，r ＝x 2＋y 2
＝－3x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r
＝－
23
－
13
＝－
6＋3
3
. 10．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递减区间是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z 解析 令2k π≤2x －π
4≤π＋2k π，k ∈Z ，
得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z )．
11．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等
腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫16的值为________．
考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案
34
解析 取K ，L 的中点N ，则|MN |＝12，因此A ＝1
2.
由T ＝2，得ω＝π.
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π
2，
∴f (x )＝1
2cos πx ，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.
三、解答题
12．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0<α<π，
0<β<π，求sin α和cos β的值． 考点 诱导公式的综合应用 题点 综合运用诱导公式求值
解 由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②
由①2
＋②2
，得sin 2
α＋3cos 2
α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2
α＝12.
又0<α<π，则sin α＝22
. 将sin α＝
22代入①，得sin β＝12
. 又0<β<π，故cos β＝±
3
2
. 13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为T ，且在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数g (x )＝f (mx )＋1(m >0)的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，且在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数，求m 的取值所构成的集合． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用
解 (1)由图象得最小正周期T ＝4π，∴ω＝2π4π＝1
2
.
又A >0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
f (x )max ＝A ＋B ＝2，
f (x )min ＝－A ＋B ＝－4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＝3，
B ＝－1，
∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋φ－1.
由f ⎝
⎛⎭⎪⎫4π3＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ－1＝2， 得sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝1，∴φ＝2k π－π6，k ∈Z ，
又－π2<φ<π2，∴φ＝－π6
，
∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6－1.
(2)g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2
x －π6. ∵g (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4π3，0对称，
∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2m π3－π6＝0.
∴
2m π3－π
6
＝k π，k ∈Z ， 又m >0，∴m ＝32k ＋1
4
，k ∈N .
当k ＝0时，m ＝14，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫18x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增；
当k ＝1时，m ＝74，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫78x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增； 当k ≥2时，m ≥134，g (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数． 综上可知，m 的取值构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪
⎪⎪
m ＝32k ＋1
4，k ∈N 且k ≥2
. 四、探究与拓展
14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，
x 2∈⎝
⎛⎭
⎪⎫－π6
，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )
A ．1 B.12 C.22 D.3
2
考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 答案 D
解析 由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π
2
，
解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．
点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0相当于y ＝sin x 中的(0,0)， 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，解得φ＝π3，
满足|φ|<π
2，符合题意，
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π12＋π3＝1，
∴图中点B 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫π12，1.
又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)， ∴x 1＋x 2＝π12×2＝π
6
，
∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32，故选D.
15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒
成立．且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦函数、余弦函数性质的综合应用
解 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立知，2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π
6(k ∈Z )．
∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－5π
6，
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴φ＝－5π6，
由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π
2
(k ∈Z )，
得f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．。