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在音符方面，小于全音符的诸音符由除法
确定，如二分音符为全音符的 1 ，四分音符为全
音符的 1 。
2
4
拍子是拍的分组，如
3 4
拍子是以全音符的
1 为1拍，每小节有3拍，即 3 1 3 ，而 6 拍子 可4 认为以全音符的 1 为一拍，4 每4小节有86拍，
即 61 6 。
8
88
43？？
6 8
乐曲结构与黄金分割
纯律取泛音列中第一、二泛音之间的纯 五度以及第三、四泛音间的大三度这两种音 程为繁衍新音的要素，由频率比为4:5:6的 几个大三和弦确定诸音高。
音乐与数学结合的起源
纯律的实际应用及乐谱记载在六世纪由我国梁
代丘明传谱的《碣石调幽兰》。直至十六世纪我国
在数学运算上有所突破，在算盘上用开两次平方和
乐器和自然界里所一有的次音都立有泛方音。的方法求出了十二次方根，这实际就是一
复杂，以利于在各个不同方位上形成不同长度的共鸣空气柱，
适合于不同高度音响的需要。如中央C音频率为261.63Hz， 波长1.3米，波长的 是0.325米14 ，为保证该音共鸣，则共 鸣箱的内空至少有一个方位为0.325米（或其2、4、8等倍
傅立叶还发现每种声音都有三种品质：
音调
音量
音色
与曲线的频率有关
与曲线的振幅有关
与周期函数的形状 有关
乐器中的数学奥妙
能与某音发生共鸣的空气柱长度为该音波波长的 1
、1
4
、1、2等倍。低音乐器发音低，声波长，所以要求共鸣
2
箱有较大体积；高音乐器则反之，发音高，声波短，所以共
鸣箱需较小体积。
由于一件乐器可以发出多个乐音，所以又要求其形状
作曲
对称
在数学上就是1:1， 由上下句构成的乐 段，由起承转合四 部分构成的作品， 由四个乐章构成的 交响曲，都体现了 造型的对称美
黄金分割
把线段L分成两段， 使其中较长段x为全 段与较短段（L-x） 的比例中项，即满 足等式L:x=x:（L-x ）.x=0.618034…倍 L
乐曲结构与黄金分割
音乐中的数学之美
目
录
音乐与数学结合的起源 乐理中的数学规律 乐曲结构与黄金分割 和声的傅立叶分析
乐器中的数学奥妙
音乐与数学结合的起源
最早将音乐与数学联系起来的研究要追溯至公元 前六世纪的毕达哥拉斯学派，他们用比例把二者有 机结合起来。
▪ 乐声的协调与所联系的整数之 间有着密切的关系，拨动一根 弦发出的声音取决于绷紧的弦 的长度
巴托克的顶峰之作 《弦乐、打击乐与
钢片琴的音乐》
乐 谱 结 构
这部作品第三乐章
89小节 55小节
A 34小节
B 34小节
A 21小节
34：55 13：21 21：34 8：13
一
二
21小节 13小节
高潮
黄Leabharlann 一二一二 金13小节 21小节 13小节 8小节 分
割
8、13、21、34、55、89等小节数数字本身，
▪ 基础音：发音体整体振动产生的最低的音是基础 音，是由一根弦或空气柱整体振动时产生的
▪ 泛音：以基础音为标准，其余1/2、1/3、1/4等 各部分也是同时振动，是泛音。泛音的组合决定 了特定的音色，并能使人明确地感到基音的响度。 乐器和自然界里所有的音都有泛音。
音乐与数学结合的起源
根据第一、二泛音间频率比为2：3的关 系进行音的繁衍，以此为纯五度，进行一系 列的五度相生，从而得到调中诸音。
▪ 协和音由长度与原弦长的比为 整数比的弦给出
▪ 被拨动弦的每一种和谐的结合， 都能表示为整数比，由增大成 整数比的弦的长度，能够产生 全部的音阶。
音乐与数学结合的起源
C
1
B
16 15
A
6 5
G
4 3
F
3 28
E
5
D
16 9
C.
2
音乐与数学结合的起源
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又 名毕达哥拉斯律
和声的傅立叶分析
一个音叉所发出的声音，其图像就是一个
正弦函数，如 xt0.00 si4 1n0 π0 。t 任何乐声
的图像都是周期性的图像，它有固定的音高和
频率。而傅立叶定理指出，任何一个周期函数
都可以表示为三角级数的形式，如任何一个周
期函数都可表示为
f( t) a 0 a n cn o b x s n sn i ， n xf( t) 即 A n si n n x n 。
则均含于黄金分割的另一种形式——斐波那契 数列（即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
89，144等，且从第三项起每项均为前两项之 和）。这个数列前两项之比1:1反映对称关系， 而自第三项起，每相邻两项之比如2:3、3:5、 5:8、8:13等均近似反映黄金分割的比例关系， 且愈往后精确度愈高。由此可认为，上述乐曲 的结构明显受斐波那契数列的制约。
五度相生律也是毕达哥拉斯的首创，故又名毕达哥拉斯律
《弦乐、打击乐与钢片琴的音乐》
乐器和自然界里所有的音都有泛音。
音程转位
乐理中的数学规律
音程：两个音之 间在音高上的关 系
单音程：八度以 内的音程
音程转位：将音 程的冠音和根音 相互颠倒位置
乐理中的数学规律
音程转位
对单音程而言，原音程及其转位音程的度 数之和为9。
2n 1
n 1
其中频率最低的一项为基本音，其余的为 泛音。由公式知，所有泛音的频率都是基本音 频率的整数倍，称为基本音的谐波。
和声的傅立叶分析
根据傅立叶定理，每个乐音都可以分解成一 次谐波与一系列整数倍频率谐波的叠加。假设do
的频率是 f ，那么它可以分解成频率 为 f ，2 f ，3 f ，4 f ，……的谐波的叠加，即
？基？础音：发音体整百体振多动产年生的后最低由的音德是基国础音人，是沃由一克根弦梅或空斯气柱特整体提振动出时产的生的十二平均律，
其频率由等比数列通项公式 确定，公比 音乐是心灵的算术练习。
这两列谐波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最和谐的。
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为1.05946，是2开12次方的算数根。 05946，是2开12次方的算数根。
f1 ( t) sx i s n 2 ix n sn i n x ；同理，高音do的频 率是 2 f ，同样可以分解为频率 为 2 f ，4 f ，6 f ，8 f ，……的谐波的叠加，即 f2 ( t ) s2 x i n s4 x i n s2 n i n x 。这两列谐 波的频率有一半是相同的，所以do和高音do是最 和谐的。